KÖZGAZDASÁGI MODELLEK 1.

Dr. Nagy Tamás



Tartalomjegyzék

Előszó

A közgazdasági modellek témakör meglehetősen sokrétű. Jelen tananyag keretében csak bizonyos modellekkel foglalkozunk. A tananyag 1. fejezetében a közgazdaságtanban, így a tananyagban is használt legfontosabb közgazdasági mutatószámokat ismertetjük. A 2. fejezetben a termelési folyamat (termelési modell) fogalmát tisztázzuk és röviden ismertetjük a legfontosabb alaptípusait, amelyeket a tananyag egyéb fejezeteiben részletesen tárgyalunk. A tananyag 3.-7. fejezeteiben a közgazdaságtani elemzésekben leginkább használt függvényekkel ismerkedünk meg. A 8. fejezetben a keresletelmélet két legfontosabb optimalizálási alapfeladatát (költségminimalizálási feladat, volumenmaximalizálási feladat) ismertetjük és részletesen elemezzük. Közgazdasági értelmet adunk az optimalizálási feladatokhoz tartozó Lagrange szorzóknak. A feladatok érzékenységvizsgálatát is elvégezzük, azaz választ adunk arra, hogy az optimalizálási feladatok paramétereinek megváltozása milyen módon befolyásolja az optimális megoldást. Rámutatunk a két feladat kapcsolatára is. Bemutatjuk a keresletfelbontást differenciális (Szluckij egyenlet) árváltozás esetén. Véges árváltozás esetében is megmutatjuk a keresletfelbontásnak a két leginkább használt módszerét (Hicks, Szluckij mérés). A 9. és a 10. fejezetekben egy-egy lineáris, többszektoros termelési modellt ismertetünk. A 9. fejezetben az input-output modell, míg a 10. fejezetben a lineáris tevékenységelemzési modell kerül bemutatásra.

Fontosnak tartom megjegyezni, hogy a tananyag gerincét Dr. Zalai Ernő professzor, akadémikus két könyve alkotja ([1], [2]).

A tananyagban, főleg az optimalizálási modellekben előforduló matematikai fogalmak, összefüggések többek között megtalálhatók az általam írt oktatási segédletekben, amelyeket az olvasó a honlapomról ([3]) letölthet. Ezek a fogalmak a következők: konvex, ill. konkáv függvény, kvázikonvex, ill. kvázikonkáv függvény, differenciálás, gradiens vektor, Hesse mátrix, láncszabály, implicit függvény tétel, feltételes optimalizálás, érzékenységvizsgálat.

A tananyag könnyebb megértése miatt a fogalmakat és a modelleket sok számpéldával illusztráltam. A gyakorlás kedvéért a tananyagban a számpéldák után feladatokat is közöltem. A példák és a feladatok saját munkáim.

1. Fontos közgazdasági mutatószámok

A közgazdasági elemzésekben nagyon fontos szerepet játszanak a különböző mutatószámok. Először ezeket ismertetjük egy-, ill. többváltozós függvények esetében.

1.1. Egyváltozós modell

Legyen adott az $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ egyváltozós valós függvény, amelyet jelöljünk az $ y=f(x)$ szimbólummal. Az $ x$ és az $ y$ mennyiség sokféle gazdasági fogalmat takarhat, pl. lehet költség, termékmennyiség, stb.

  1. Teljes mennyiség (T)

        $\displaystyle T=y=f(x)$

    A teljes mennyiség egy adott $ x$ mennyiséghez tartozó $ y$ függvényértéket adja meg.
    Geometriai jelentése: A $ y=f(x)$ függvény képének (görbéjének) az $ x$ ponthoz tartozó $ y$ ordináta értéket szolgáltatja.

  2. Átlagos mennyiség (A)

    (1.1) $\displaystyle A=\frac{y}{x}$

    Az átlagos mennyiség az $ x$ mennyiség egységnyi értékéhez tartozó függvényértéket adja meg.
    Geometriai jelentése: Az origót és az $ (x,y)$ pontot összekötő ún. sugár iránytényezője (iránytangense), vagyis a sugár és az $ x$ tengely által bezárt szög tangense. Legyen ez a szög $ \alpha _{s}$ , ekkor $ A=tg$ $ \alpha _{s}.$

  3. Növekmény ráta (N)

        $\displaystyle N=\frac{\triangle y}{\triangle x}$

    Változtassuk meg az $ x$ mennyiséget $ \triangle x$ értékkel, ekkor az $ y$ mennyiség is megváltozik, legyen ez a változás $ \triangle y$ . E két megváltozás hányadosát nevezzük növekmény rátának vagy hányadosnak. Más szóval a növekmény ráta az $ x$ mennyiség egységnyi megváltoztatásához tartozó függvényérték-változást adja. Természetesen a megváltozás nemcsak növekedést, hanem csökkenést is jelenthet.
    Geometriai jelentése: Az $ (x,y)$ és az $ (x+\triangle x,y+\triangle y)$ pontokat összekötő ún. szelő iránytényezője (iránytangense). Legyen ez a szög $ \alpha _{sz}$ , ekkor $ N=tg$ $ \alpha _{sz}.$

  4. Határráta (H)

    (1.2) $\displaystyle H=\underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\triangle y}{\triangle x}=
 \frac{dy}{dx}=y^{\prime }$

    A határráta a növekmény rátának a határértéke, midőn az $ x$ mennyiség megváltozása tart a zérushoz. Ezt a mennyiséget az $ f(x)$ függvény deriváltjának nevezzük és szokásosan $ y^{\prime }$ szimbólummal jelöljük. A határráta formulájából a jelentése is kiolvasható. Amennyiben a $ \triangle x$ elegendően kicsi, úgy a $ \triangle y$ függvényérték-változás megközelítőleg a határráta és a $ \triangle x$ megváltozás szorzata, képletben: $ \triangle y\approx H\cdot \triangle x$ , vagy másképpen írva $ H\approx \frac{\triangle y}{\triangle x}$ .
    Szokás azt is mondani, ha 1 egységgel megváltoztatjuk az $ x$ értéket, akkor a függvényérték megváltozása megközelítőleg a határrátával azonos. Itt azonban a ,,megközelítőleg'' nem minden esetben igaz.
    Gondoljunk az $ y=f(x)=x^{2}$ függvényre és legyen $ x=3$ . A határráta értéke itt $ H=y^{\prime }=2x=6$ . Egy egységgel megváltoztatva az $ x$ értéket, a függvényérték megváltozása $ \triangle y=4^{2}-3^{2}=7$ . Ez a megváltozás ($ 7$ ) pedig nem mondható, hogy megközelítőleg egyenlő a határráta értékével ($ 6$ ). Még rosszabb a helyzet magasabb kitevőjű hatványfüggvény esetén.
    Most gondoljunk az $ \ln x$ függvényre és legyen $ x=20$ . A határráta értéke itt $ \frac{1}{x}=\frac{1}{20}=0.05$ . Egy egységgel megváltoztatva az $ x$ értéket, a függvényérték megváltozása $ \triangle y=\ln 21-\ln 20=0.048797$ . Ez a megváltozás már megközelítőleg egyenlő a határráta értékével. Ezért is szokás mondani a fentebb említetteket, mert bizonyos esetekben a határráta valóban közel van a függvényváltozáshoz. Ha például $ x=2$ , akkor már elég gyenge a közelítés. Egy egységgel megváltoztatva az $ x$ értéket, a függvényérték megváltozása $ \triangle y=\ln 3-\ln 2=0.40547$ , a határráta értéke $ \frac{1}{x}=\frac{1}{2}=0.5$ , tehát $ x=2$ esetén már a közelítés nem megnyugtató.
    Mint láttuk ez a felfogás nagyon hibás eredményre vezethet, ezért csak azt mondhatjuk, hogy elegendően kicsi $ \triangle x$ megváltozás esetén a függvényérték megváltozása $ \triangle y\approx H\cdot \triangle x$ .
    A határráta előjele viszont egyértelműen jelzi azt, hogy a függvény milyen irányban változik. Pozitív értékű határráta esetén a függvény jobbra növekszik, balra pedig csökken. Negatív értékű határráta esetén a függvény jobbra csökken, balra pedig növekszik.
    Geometriai jelentése: Az $ (x,y)$ pontban az $ y=f(x)$ függvénygörbe érintőjének iránytényezője (iránytangense), a szelő határesetben ugyanis a függvény görbéjének az érintőjét adja. Legyen ez a szög $ \alpha _{\acute{e}}$ , ekkor $ H=tg$ $ \alpha _{\acute{e}}.$

  5. Rugalmasság ( $ \varepsilon $ )
    A közgazdasági elemzésekben a határráta helyett inkább a rugalmassági mutatószámot használják, mert ezzel az $ x,y$ mennyiségek mértékegységeinek a torzító hatását ki lehet küszöbölni. A rugalmasságot az elasticity angol szóból adódóan $ \varepsilon $ -nal jelöljük.
    Mint tudjuk, elegendően kicsi $ \triangle x$ esetén a határráta $ H\approx \frac{\triangle y}{\triangle x}$ . A rugalmasságot ehhez hasonlóan értelmezzük, de nem az abszolut megváltozások hányadosaként, hanem a relatív megváltozások hányadosaként.

    (1.3) $\displaystyle \varepsilon \approx \frac{\frac{\triangle y}{y}}{\frac{\triangle x}{x}}\ \ \
 \ \ \ $   vagy$\displaystyle \ \ \ \ \frac{\triangle y}{y}\approx \varepsilon \cdot 
 \frac{\triangle x}{x}$

    Az utóbbi összefüggésből tehát azt mondhatjuk, hogy elegendően kicsi $ \frac{\triangle x}{x}$ százalékos megváltozásra a függvényérték $ \frac{\triangle y}{y}$ százalékos megváltozása megközelítően $ \frac{\triangle y}{y}\approx \varepsilon \cdot \frac{\triangle x}{x}$ . Hasonlóan a határrátánál mondottakhoz, szokás azt is mondani, ha 1%-kal megváltoztatjuk az $ x$ értéket, akkor a függvényérték megközelítőleg $ \varepsilon $ %-kal változik meg.
    A rugalmasságot precízen az alábbi határértékkel definiáljuk:

    (1.4) $\displaystyle \varepsilon =\underset{\bigtriangleup x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\frac{\triangle y}{y}}{\frac{\triangle x}{x}}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{y}{x}}$

    Az (1.4) definíciós képletet vizsgálva írhatjuk, hogy

    (1.5) $\displaystyle \varepsilon =\frac{H}{A}$

    Az utóbbi (1.5) összefüggésből a rugalmasság, a határráta és az átlag között az alábbi összefüggések olvashatók ki:

        $\displaystyle \varepsilon =\frac{H}{A},\ \ \ \ \ \ \ \ H=\varepsilon \cdot A,\ \ \ \ \ \ \
 \ A=\frac{H}{\varepsilon }.$

    Geometriai jelentése: Az $ \varepsilon =\frac{H}{A}=\frac{tg\ \alpha _{\acute{e}}}{tg\ \alpha _{s}}$ , vagyis $ (x,y)$ pontban az érintő és a sugár iránytangensének a hányadosa.
    Tekintsük példaként az $ \ln x$ függvényt, legyen $ x=2$ . A rugalmasság értéke az (1.4) definíció szerint $ \varepsilon =\frac{\frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}=1.4427$ . Azt szokás mondani, hogy ha 1%-kal megváltoztatjuk az $ x$ értéket, a függvényérték megközelítőleg $ 1.4427$ %-kal változik meg. A valóságos 1%-os megváltozásnál ez az érték (1.3) alapján $ \varepsilon \approx \frac{\frac{0.70310-0.69315}{0.69315}}{\frac{0.02}{2}}=1.4355$ , amely elegendően közel van az (1.4) differenciális összefüggésből kapott $ \varepsilon $ értékhez. Még jobb a helyzet az $ x=20$ esetben. Itt $ \varepsilon =0.33381$ , a közelítéssel számolt rugalmasság is ekkora. Összevetve a rugalmasságot a határrátával, a példákból is láthatjuk, hogy a közelítés a rugalmasság esetén sokkal megnyugtatóbb eredményt szolgáltat.

  6. Görbület ($ \sigma $ )
    Tekintsük minden $ x$ pontban az $ A=g(H)$ függvényt, vagyis az átlagnak a határráta szerinti változását leíró függvényt. A görbületet ennek a függvénynek a rugalmasságaként definiáljuk. Írható tehát, hogy

        $\displaystyle \sigma \approx \frac{\frac{\triangle A}{A}}{\frac{\triangle H}{H}}\ \ \ \ \
 \ $   vagy$\displaystyle \ \ \ \ \frac{\triangle A}{A}\approx \sigma \cdot \frac{\triangle H}{H}$

    A fenti formulát átrendezve:

        $\displaystyle \sigma \approx \frac{\frac{\triangle A}{A}}{\frac{\triangle H}{H}}=\frac{H}{A}\cdot \frac{\triangle A}{\triangle H}=\varepsilon \cdot \frac{\frac{\triangle A}{\triangle x}}{\frac{\triangle H}{\triangle x}},$

    amelyből a görbület precíz definíciója az alábbi:

    (1.6) $\displaystyle \sigma =\varepsilon \cdot \underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\frac{\triangle A}{\triangle x}}{\frac{\triangle H}{\triangle x}}.$

    A határátmenetet az alábbiakban végezhetjük el (itt az $ A=\frac{y}{x}$ és a $ H=y^{\prime }$ jelölést használjuk)

        $\displaystyle \sigma =\varepsilon \cdot \frac{\underset{\triangle x\rightarrow 0}{\lim }
 \frac{\triangle (\frac{y}{x})}{\triangle x}}{\underset{\triangle
 x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\triangle y^{\prime }}{\triangle x}}=\varepsilon
 \cdot \frac{\frac{d(\frac{y}{x})}{dx}}{\frac{dy^{\prime }}{dx}}=\varepsilon
 \cdot \frac{\frac{y^{\prime }x-y}{x^{2}}}{y^{\prime \prime }}=\varepsilon
 \cdot \frac{y^{\prime }-\frac{y}{x}}{xy^{\prime \prime }}=\frac{1}{
 xy^{\prime \prime }}\cdot \frac{H}{A}\cdot (H-A).$

    Geometriai jelentése: A $ \sigma \approx \frac{\frac{\triangle A}{A}}{\frac{\triangle H}{H}}=\frac{\frac{\triangle (tg\ \alpha _{s})}{tg\ \alpha _{s}}}{\frac{\triangle (tg\ \alpha _{\acute{e}})}{tg\ \alpha _{\acute{e}}}}$ összefüggésből olvasható ki. 1%-os érintő iránytangens-változás megközelítőleg $ \sigma $ %-os sugár iránytangens-változást eredményez. A görbület a függvénygörbe hajlásának nagyságát méri, minél nagyobb a görbület annál jobban hajlik a függvény görbéje. Megjegyezzük, hogy a görbületet lineáris függvény esetén nem értelmezzük.

Példa:

Tekintsük a $ y=ax^{b}$ hatványfüggvényt. Határozzuk meg a mutatószámokat tetszőleges $ x$ helyen!

Megoldás:

    $\displaystyle T$ $\displaystyle =y=ax^{b},$
    $\displaystyle A$ $\displaystyle =\frac{y}{x}=ax^{b-1}=\frac{T}{x},$
    $\displaystyle N$ $\displaystyle =\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{a(x+\triangle x)^{b}-ax^{b}}{\triangle x},$
    $\displaystyle H$ $\displaystyle =y^{\prime }=abx^{b-1}=bA,$
    $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle =\frac{H}{A}=\frac{xy^{\prime }}{y}=\frac{xabx^{b-1}}{ax^{b}}=b,$
    $\displaystyle \sigma$ $\displaystyle =\frac{1}{xy^{\prime \prime }}\cdot \frac{H}{A}\cdot (H-A)=\frac{1}{xab(b-1)x^{b-2}}b(bA-A)=1.$

Látható, hogy a hatványfüggvény olyan függvény, amelynek se a rugalmassága, se a görbülete nem függ az $ x$ helytől, azaz a hatványfüggvény állandó rugalmasságú és állandó görbületű függvény. A hatványfüggvény rugalmassága a kitevővel azonos. Az $ \varepsilon =b$ azt jelenti, hogy minden $ x$ változó esetén az $ x$ 1%-os megváltozása megközelítőleg $ b$ %-os változást eredményez az $ y$ változóban. Az $ \sigma =1$ azt jelenti, hogy minden $ x$ pontban az érintő iránytangensének 1%-os megváltozása megközelítőleg ugyanakkora, azaz $ 1$ %-os változást eredményez a sugár iránytangensében.

Példa:

Az előző példában láttuk, hogy a hatványfüggvény rugalmassága állandó. Van-e másfajta függvény, aminek a rugalmassága állandó?

Megoldás:

Az $ \varepsilon =\frac{H}{A}$ alapösszefüggésből adódóan az $ \frac{xy^{\prime }}{y}=\varepsilon $ differenciálegyenletet kellene megoldani, ahol $ \varepsilon $ egy konstans szám. Az $ \int \frac{dy}{y}=\varepsilon
\int \frac{dx}{x}$ integrálás után adódik, hogy $ \ln y=\varepsilon \ln
x+C=\ln x^{\varepsilon }+\ln k=\ln kx^{\varepsilon }$ , amelyből $ y=kx^{\varepsilon }$ függvény adódik. Tehát csak a hatványfüggvénynek állandó a rugalmassága és annak értéke a kitevő.

Példa:

Igazoljuk, hogy az átlag egy adott $ x>0$ pontban pontosan akkor növekszik, ha a határráta az átlagnál nagyobb, azaz a rugalmasság 1-nél nagyobb!

Megoldás:

Legyen $ y=f(x)$ a vizsgált függvény. Az átlagfüggvény az $ x$ pontban $ A(x)=\frac{y(x)}{x}$ ez pontosan akkor növekszik, ha a deriváltja pozitív, azaz $ A^{\prime }(x)>0$ . Végezzük el a deriválást

    $\displaystyle A^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }x-y}{x^{2}}=\frac{y^{\prime }-\frac{y}{x}}{x}=\frac{H-A}{x},$

ez pedig valóban csak akkor lehet pozitív, ha a számláló pozitív (nevező a feltételezés miatt pozitív), azaz ha a határráta nagyobb mint az átlag. Az ismert $ \varepsilon =\frac{H}{A}$ összefüggésből pedig az is kiolvasható, hogy a rugalmasság 1-nél nagyobb.

Feladat:

Tekintsük a $ y=ab^{x}$ exponenciális függvényt. Határozzuk meg a mutatószámokat tetszőleges $ x$ helyen!

Feladat:

Tekintsük az

    $\displaystyle (A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta })^{-\frac{k}{\beta }}=C=$állandó

implicit függvényt, ahol $ A_{1},A_{2},k>0,\ \beta \neq 0$ . Határozzuk meg az $ x_{2}=g(x_{1})$ egyváltozós függvény mutatószámait!

1.2. Többváltozós modell

Legyen adott az $ f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ többváltozós ($ n$ -változós) függvény, amelyet jelöljünk az $ y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf{x})$ szimbólummal. A későbbiekben sokféle többváltozós függvénnyel fogunk dolgozni. Most tekintsük a következő esetet. Egy terméket termelünk és a termeléshez $ n$ -féle termelési tényezőt használunk fel. Az $ y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ függvény a termelési tényezők felhasznált mennyiségéhez $ (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ az általuk és a termelési technológia által megengedett (lehetővé tett) termékmennyiséget $ (y)$ rendeli. Ezt a függvényt termelési függvénynek nevezzük. A későbbiekben ezt is precízen meg fogjuk fogalmazni.

A mutatókat a többváltozós függvények esetében is ugyanúgy értelmezzük mint az egyváltozós esetben, de parciális jelzővel illetjük őket, mivel minden változó szerint értelmezhetjük. Két fontos mutatót a határrátát és a rugalmasságot ismertetjük, mivel a gyakorlatban ezek lesznek a leginkább használatosak.

  1. Határráták $ (H_{i})$

        $\displaystyle H_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\approx \frac{\triangle f}{\triangle
 x_{i}}=\frac{\triangle y}{\triangle x_{i}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ (i=1,2,\ldots
 ,n)$

    Minden termelési tényezőnek értelmezhetjük a határrátáját, amelyek tehát nem mások mint az $ f(x)$ függvény parciális deriváltjai. Ezeket a határráta mennyiségeket határtermékeknek szokás nevezni, pontosabban $ H_{i}$ az $ x_{i}$ termelési tényező határterméke. Az elnevezésben a termék szó azért szerepel, mert az említett példában az $ y$ termékmennyiséget jelentett. Ha az $ y$ költséget jelentett volna, akkor a határrátát a szakirodalom határköltségnek nevezi.

  2. Rugalmasságok

    a.
    Parciális volumenrugalmasságok $ (\varepsilon _{i})$

        $\displaystyle \varepsilon _{i}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}\approx \frac{\frac{\triangle f}{f}}{\frac{\triangle x_{i}}{x_{i}}}=\frac{\frac{\triangle y}{y}}{\frac{\triangle x_{i}}{x_{i}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \
 (i=1,2,\ldots ,n)$

    Ezeket a rugalmassági mennyiségeket az $ x_{i}$ termelési tényező parciális volumenrugalmasságának nevezzük.

    b.
    Teljes volumenrugalmasság $ (\varepsilon )$
    Szokás a parciális volumenrugalmasság mellett a teljes volumenrugalmasságot is definiálni, amely a következő. Legyen adott a termelési tényezők mennyiségének $ \mathbf{x}$ vektora, amely nem azonosan zérus $ (\mathbf{x}\neq \mathbf{0})$ . Tegyük fel, hogy a termelés mérete nő, mégpedig úgy, hogy a termelési tényezők egymáshoz viszonyított aránya változatlan, azaz mindegyik termelési tényezőnek $ v$ -szeresét vesszük. A $ v$ mennyiséget a termelési tényezők arányosan változó szintjének szokás nevezni. Tehát az $ \mathbf{x}$ megváltozik $ v\mathbf{x}$ -re. A $ v\mathbf{x}$ -hez tartozó termékkibocsátás $ v$ -től való függését az $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ pontban az

        $\displaystyle y=s(v)=f(v\mathbf{x})=f(vx_{1},vx_{2},\ldots ,vx_{n})$

    egyváltozós függvény írja le. Ezt a függvényt az $ \mathbf{x}$ ponthoz tartozó skálafüggvénynek vagy méretfüggvénynek nevezzük. Az $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ pontbeli teljes volumenrugalmasságnak vagy méretrugalmasságnak az $ y=s(v)$ egyváltozós függvény rugalmasságát nevezzük. Eszerint az $ \varepsilon $ érték a következőképpen számítható:

        $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle =\frac{\frac{df}{dv}}{\frac{f}{v}}=\frac{v}{f}\frac{df(vx_{1},vx_{2},\ldots ,vx_{n})}{dv}=\frac{v}{f}\left( \frac{\partial f}{\partial (vx_{1})}\frac{\partial (vx_{1})}{\partial v}+\ldots +\frac{\partial f}{\partial (vx_{n})}\frac{\partial (vx_{n})}{\partial v}\right) =$
          $\displaystyle =\frac{v}{f}\left( \frac{\partial f}{\partial (vx_{1})}x_{1}+\ldots +\frac{\partial f}{\partial (vx_{n})}x_{n}\right) =\frac{v}{f}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial (vx_{i})}x_{i}$

    Mivel az eredeti $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ pontban keressük a rugalmasságot, itt pedig $ v\mathbf{x}=\mathbf{x}$ miatt $ v=1$ . Ezt figyelembe véve

        $\displaystyle \varepsilon =\frac{1}{f}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial
 x_{i}}x_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}.$

    Tehát azt kaptuk, hogy a teljes volumenrugalmasság vagy méretrugalmasság megegyezik a parciális volumenrugalmasságok összegével. Ezért is nevezik teljes volumenrugalmasságnak.

Példa:

Tekintsük az

    $\displaystyle y=(A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta })^{-\frac{k}{\beta }}$

kétváltozós függvényt, ahol $ A_{1},A_{2},k>0,\ \beta \neq 0$ . Határozzuk meg a parciális volumenrugalmasságokat és a teljes volumenrugalmasságot!

Megoldás:

    $\displaystyle H_{1}$ $\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=-\frac{k}{\beta }(A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta })^{-\frac{k}{\beta }-1}A_{1}(-\beta )x_{1}^{-\beta -1}$
    $\displaystyle \varepsilon _{1}$ $\displaystyle =\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac{f}{x_{1}}}=\frac{-\frac{k}{\beta }(A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta })^{-\frac{k}{\beta }-1}A_{1}(-\beta )x_{1}^{-\beta -1}}{\frac{(A_{1}x_{1}^{-\beta
 }+A_{2}x_{2}^{-\beta })^{-\frac{k}{\beta }}}{x_{1}}}=k\frac{A_{1}x_{1}^{-\beta }}{A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }}$

A másik változó szerint hasonló eredmény adódik, így általánosan a parciális volumenrugalmasságok:

    $\displaystyle \varepsilon _{i}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=k\frac{A_{i}x_{i}^{-\beta }}{A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }},\ \ \
 \ \ (i=1,2)$

A teljes volumenrugalmasság (méretrugalmasság):

    $\displaystyle \varepsilon =\sum\limits_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=k\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{A_{i}x_{i}^{-\beta }}{A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }}=k$

Ennek a függvénynek a méretrugalmassága konstans, tehát minden $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ termelési tényezővektor esetén a függvény $ k$ paraméterével azonos.

Példa:

Tekintsük az

    $\displaystyle y=f(x_{1},x_{2})=\sqrt{x_{1}}x_{2}^{2}(x_{1}^{2}+x_{2})$

kétváltozós függvényt. Határozzuk meg a parciális volumenrugalmasságokat és a teljes volumenrugalmasságot az $ x_{1}=4,x_{2}=2$ pontban és értelmezzük ezeket!

Megoldás:

Az adott pontban a függvény értéke: $ f(4,2)=144$ . A számításhoz szükséges parciális deriváltak és azok pontbeli értéke:

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}$ $\displaystyle =\frac{5}{2}x_{1}^{\frac{3}{2}}x_{2}^{2}+\frac{x_{2}^{3}}{2\sqrt{x_{1}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial
 x_{1}}=82$
    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{2}}$ $\displaystyle =2x_{1}^{\frac{5}{2}}x_{2}+3\sqrt{x_{1}}x_{2}^{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x_{2}}=152$

A parciális volumenrugalmasságok és a teljes volumenrugalmasság:

    $\displaystyle \varepsilon _{1}$ $\displaystyle =\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac{f}{x_{1}}}=\frac{82}{\frac{144}{4}}=2.2778$
    $\displaystyle \varepsilon _{2}$ $\displaystyle =\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac{f}{x_{2}}}=\frac{152}{\frac{144}{2}}=2.1111$
    $\displaystyle \varepsilon$ $\displaystyle =\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}=2.2778+2.1111=4.3889$

A rugalmassági mutatószámok értelmezése:

Ha 1%-kal megváltoztatjuk az $ x_{1}$ értéket, akkor a függvényérték megközelítőleg 2.28%-kal változik meg.

Ha 1%-kal megváltoztatjuk az $ x_{2}$ értéket, akkor a függvényérték megközelítőleg 2.11%-kal változik meg.

Ha 1%-kal megváltoztatjuk az $ x_{1}$ és az $ x_{2}$ értéket, akkor a függvényérték megközelítőleg 4.38%-kal változik meg.

Most nézzük meg, hogy ezek a valódi %-os megváltozásokhoz milyen közel vannak. Ehhez az $ x_{1},x_{2}$ változók 1%-os megváltoztatásához tartozó függvényértékek az alábbiak:

    $\displaystyle f(4.04,2)=147.3,\ \ \ \ \ \ \ \ f(4,2.02)=147.06,\ \ \ \ \ \ \ \
 f(4.04,2.02)=150.43\ .$

A függvényértékek relatív megváltozása rendre:

    $\displaystyle \frac{147.3-144}{144}=0.022917,\ \ \ \ \ \frac{147.06-144}{144}=0.02125,\ \
 \ \ \ \frac{150.43-144}{144}=0.044653\ .$

Azt tapasztalhatjuk, hogy a differenciális rugalmasságok és az 1%-os megváltoztatásokhoz tartozó %-ok között eltérés van, ezért kell használnunk a megközelítőleg jelzőt. Az eltérések rendre: $ 2.28\%$ helyett $ 2.29\% $ , $ 2.11\%$ helyett $ 2.12\%$ , $ 4.38\%$ helyett $ 4.47\%$ .

Feladat:

Tekintsük az

    $\displaystyle y=Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}}$

háromváltozós függvényt, ahol $ A,a_{1},a_{2},a_{3}>0$ . Határozzuk meg a parciális volumenrugalmasságokat és a teljes volumenrugalmasságot tetszőleges $ \mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ vektor és az $ \mathbf{x}=(1,3,2)$ vektor esetén!

2. Temelési folyamat (tevékenység). Termelési modell

A termelési folyamatot egy transzformációs tevékenységnek tekinthetjük, amely valamilyen input mennyiségeket átalakít valamilyen output mennyiségekké. Sémája:

    \begin{displaymath}\begin{array}{|c|}
 \hline
 \text{input}\ \ \implies \ \ \text{Termelési\ folyamat\ (transzformáció)}\
 \ \implies \ \ \text{output} \\ \hline
 \end{array}\end{displaymath}

Az input mennyiségek a termelés során felhasznált javak vagy ráfordítások, hagyományos elnevezéssel termelési tényezők (TT).

Az output mennyiségek a termelés során előállított javak vagy kibocsátások, hagyományos elnevezéssel termékek (T).

Érdemes néhány elnevezést megemlíteni.

elsődleges erőforrás: csak ráfordításként szerepel egy adott termelési egységben

közbenső termék: termelik és fel is használják egy adott termelési egységben

végső termék: termelik, de nem használják fel egy adott termelési egységben

Nagyon fontos, hogy ezeket az elnevezéseket mindig egy adott termelési egységben (pl. üzem, vállalat, nemzetgazdaság, stb.) kell érteni. Például egy adott jószág lehet termék vagy közbenső termék is, attól függően, hogy milyen termelési egységben vizsgáljuk.

A termelési modell egy adott termelési egységnek a termelési lehetőségeit írja le. Három termelési alapmodell a következő (van több is, de ezek az általánosan használatosak):

  1. Termelési függvények
    A termelési tényezők és a termékek közötti kapcsolatokat, lehetséges kombinációkat függvényekkel írják le.

  2. Input-output modellek
    Olyan többszektoros termelési modell, amelyben a termékek és a szektorok (termelési ágak, termelési eljárások) között kölcsönös megfeleltetés van, azaz minden terméket csak egyetlen eljárással lehet előállítani és minden eljárás csak egy terméket állít elő.

  3. Liniáris tevékenységelemzési modellek
    Az input-output modellel ellentétben ugyanazt a terméket többféle eljárással is elő lehet állítani, ill. ugyanaz az eljárás többféle terméket is kibocsáthat. Szokásos az alábbi szóhasználat is: az előbbi esetben fennáll a technológiai választék lehetősége, az utóbbi esetben pedig fennáll az ikertermelés lehetősége.

3. Termelési és hasznossági függvények

Ebben a fejezetben a termelési és hasznossági függvények főbb típusait és néhány fontos alapfogalmat ismertetünk. Az alábbi fontos feltételezéssel élünk: Mindkét függvénynél feltesszük, hogy

- különböző javak

- együttes (közös) volumenét (használati értékét)
ki lehet fejezni egy valós értékű, analitikusan jól kezelhető függvénnyel. Az együttes (közös) használati értéket mindig valamilyen együttes (közös) használati cél szempontjából kell értelmezni.

Termelés esetén

az összemérendő javak a termelési tényezők, a közös használati értékük a termelési kapacitás. Ha a termelés során csak egyetlen terméket állítanak elő, akkor a termelési tényezők termelési kapacitása kifejezhető a termelési tényezők által előállítható termék mennyiségével.

Fogyasztás esetén

a javak együttes hasznossága a termékkombinációk által kielégíthető szükséglet vagy az általuk elérhető életszinvonal szintje.

Megjegyezzük, hogy a fogyasztás esetén az összemérés, a hasznosság nehezebben mérhető.

Az alábbi alfejezetekben külön részletezzük a két függvényt.

3.1. Termelési függvény

3.1.1. Egytermékes eset

A termelési függvény definíciója terén nem egységes a szakirodalom.

A hagyományos megközelítés szerint:

A hagyományos termelési függvény egy olyan $ f:\mathbb{R}_{\oplus }^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ hozzárendelés, amely a termelési tényezők rendelkezésre álló mennyiségéhez $ (\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{\oplus }^{n})$ - az általuk és az adott technológia által megengedett - legnagyobb előállítható termékmennyiséget $ (y)$ rendeli. A függvényt általában zárt, analitikus alakban adottnak feltételezzük, jelölése: $ y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf{x})$ .

Ha az $ f(\mathbf{x})$ függvényről feltesszük, hogy szigorún monoton növekvő (bármely termelési tényező felhasználásának növelése mindig nagyobb termékkibocsátást tesz lehetővé, akkor a rendelkezésre álló és a felhasznált mennyiség között nincs különbség. Azonban nem mindig tesszük fel a szigorúan monoton növekedést.

A nem hagyományos definíció szerint:

Az $ f_{0}(\mathbf{x})$ termelési függvény azt mutatja meg, hogy a felhasznált termelési tényezőkhöz mekkora $ y$ termékkibocsátás tartozik.

Az $ f(\mathbf{x})$ és az $ f_{0}(\mathbf{x})$ közötti kapcsolat az alábbi:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=\left\{ y:y=\underset{\mathbf{x}}{\max }f_{0}(\mathbf{z}),\ 
 \mathbf{0}\leqq \mathbf{z}\leqq \mathbf{x}\right\} ,$

ahol x a rendelkezésre álló termelési tényezők mennyisége.

A későbbiekben a hagyományos értelemben vett termelési függvény definícióját fogjuk használni, így általánosan az $ f(\mathbf{x})$ termelési függvényről a monoton növekvő tulajdonságot feltételezzük.

Az alábbiakban röviden szólunk a többváltozós függvények monotonitásáról:

- Az $ f(\mathbf{x})$ monoton növekvő (nem csökkenő), ha $ f(\mathbf{x})\geqq
f(\mathbf{z})$ , minden $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{z}\geq \mathbf{0}$ esetén.

- Az $ f(\mathbf{x})$ féligszigorúan monoton növekvő, ha $ f(\mathbf{x})>f(\mathbf{z})$ , minden $ \mathbf{x}>\mathbf{z}$ esetén.

- Az $ f(\mathbf{x})$ szigorúan monoton növekvő, ha $ f(\mathbf{x})>f(\mathbf{z})$ , minden $ \mathbf{x}\geq \mathbf{z}$ esetén.

A féligszigorú monotonitás azt fejezi ki, hogy ha minden termelési tényező mennyiségét növeljük ( $ \mathbf{x}>\mathbf{z}$ ), akkor a termékmennyiség is növekedik.

A szigorú monotonitás azt fejezi ki, hogy ha legalább egy termelési tényező mennyiségét növeljük ( $ \mathbf{x\geq z}$ ), akkor a termékmennyiség is növekedik.

Tehát a féligszigorú monoton növekedésnél, ha bármely termelési tényezőt egyedül növelünk, akkor nem biztos, hogy növekszik a termelés. (Az $ \mathbf{x\geq z}$ reláció jelentése: minden $ i$ indexre $ x_{i}\geqq z_{i}$ , de legalább egy $ i_{0}$ indexre $ x_{i_{0}}>z_{i_{0}}$ ).

A féligszigorú monotonitást könnyen kezelhetjük, ha az $ f(\mathbf{x})$ függvény differenciálható, azaz létezik az $ f$ függvény $ \mathbf{\nabla }f$ gradiens vektora. Ekkor $ f(\mathbf{x})$ féligszigorúan monoton növekvő, ha minden $ i$ indexre $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\geqq 0$ , de legalább egy $ i_{0}$ indexre $ \frac{\partial f}{\partial x_{i_{0}}}>0$ , azaz $ \mathbf{\nabla }f\geq \mathbf{0}$ , szavakban kifejezve a gradiens vektor féligpozitív.

A termelési függvényekről sok esetben felteszünk bizonyos jó tulajdonságok, mert ezek feltételezésével többek között a velük végzett optimalizálási feladatok könnyebben kezelhetők.

Egy termelési függvényt jól viselkedőnek nevezünk, ha

- legalább kétszer folytonosan differenciálható

- legalább féligszigorúan monoton növekvő, azaz $ \mathbf{\nabla }f\geqq
\mathbf{0}$ , de $ \mathbf{\nabla }f\neq \mathbf{0}$ , röviden $ \mathbf{\nabla }f\geq \mathbf{0}$

- konkáv

Egy termelési függvényt igazán jól viselkedőnek nevezünk, ha

- legalább kétszer folytonosan differenciálható

- szigorúan monoton növekvő

- szigorúan konkáv

- parciális deriváljai ( $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ ) 0 és $ +\infty
$ között minden értéket felvesznek, továbbá $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\rightarrow +\infty $ , ha $ x_{i}\rightarrow 0$ minden $ i$ -re és fordítva

A folytonosság, monotonitás és a konkávitás szükséges előírások.

Monotonitás: Ha több termelési tényező áll rendelkezésére, akkor több a maximálisan előállítható termékmennyiség (több a termelési kapacitás).

Konkáv jelleget az alábbiakkal mutatjuk be. Mint ismeretes egy $ f(\mathbf{x})$ függvényt akkor mondunk konkávnak, ha

    $\displaystyle f(\lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2})\geqq \lambda f(\mathbf{x}_{1})+(1-\lambda )f(\mathbf{x}_{2})$

bármely $ \mathbf{x}_{1},$ $ \mathbf{x}_{2}$ vektorra és minden $ \lambda \in
\left( 0,1\right) $ számra. Szavakban az alábbiakat jelenti.

A $ \lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2}$ termelési tényező kombináció az $ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}$ termelési tényező kombinációknak valamilyen számtani átlagát jelenti. Az $ f(\lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2})$ érték az átlagos termelési tényezőhöz tartozó termékmenyiséget jelenti.

A $ \lambda f(\mathbf{x}_{1})+(1-\lambda )f(\mathbf{x}_{2})$ érték pedig az $ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}$ termelési tényező kombinációkhoz tartozó termékmenyiségeknek a termelési tényező kombinációkéval azonos súlyozású számtani átlagát jelenti.

Tehát röviden a konkávitás azt mondja, hogy az átlagos helyzet jobb (legalábbis nem rosszabb), mint a szélső helyzetek átlaga.

Példa:

Legyen adott $ \mathbf{x}_{1}=(2,2),$ $ \mathbf{x}_{2}=(2,4),\ f(\mathbf{x}_{1})=3,\ f(\mathbf{x}_{2})=5$ és $ f(\mathbf{x})$ konkáv függvény. Mennyi az $ f(2,3)$ értéke? Nyilvánvaló, hogy pontosan nem tudjuk a választ, mivel a függvénynek csak a konkáv voltát ismerjük. Az $ \mathbf{x}=(2,3)$ esetén $ \lambda =\frac{1}{2}$ . Ebből azonban megállapítható, hogy $ f(2,3)=f(\frac{1}{2}\mathbf{x}_{1}+\frac{1}{2}\mathbf{x}_{2})\geqq \frac{1}{2}3+\frac{1}{2}5=4$ , tehát legalább 4. Ez a példánkban azt jelenti, hogy ha a második termelési tényezőből több áll rendelkezésünkre, akkor legalább az átlagos termékmennyiséget el tudjuk érni.

A termelési függvényeknél sok esetben a kvázikonkávitást tesszük fel. Mint ismeretes egy $ f(\mathbf{x})$ függvényt akkor mondunk kvázikonkávnak, ha

    $\displaystyle f(\lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2})\geqq \min \left\{ f(\mathbf{x}_{1}),f(\mathbf{x}_{2})\right\}$

bármely $ \mathbf{x}_{1},$ $ \mathbf{x}_{2}\in S$ vektorra és minden $ \lambda
\in (0,1)$ számra.

Tehát röviden a kvázikonkávitás azt mondja, hogy az átlagos helyzet jobb (legalábbis nem rosszabb), mint a szélső helyzet.

Példa:

Az előző példa adatainál maradva, de a függvényről a kvázikonkávitást tegyük fel. Ekkor $ f(2,3)=f(\frac{1}{2}\mathbf{x}_{1}+\frac{1}{2}\mathbf{x}_{2})\geqq \min \left\{ 3,5\right\} =3$ . Ez a példánkban azt jelenti, hogy ha a második termelési tényezőből több áll rendelkezésünkre, akkor legalább a korábban elérhető legkisebb termékmennyiséget el tudjuk érni.

Ha feltétel nélküli optimalizálásban a célfüggvény egy termelési függvény, akkor a konkávitási tulajdonság kell a jól viselkedéshez.

Ha feltételes optimalizálásban a célfüggvény egy termelési függvény, akkor a kvázikonkávitási tulajdonság kell a jól viselkedéshez.

3.1.2. Többtermékes eset

Az eddigi vizsgálatainkban olyan termelési folyamatot képzeltünk el, amelyben a termelési tényezők felhasználásával egyfajta terméket állítanak elő. Természetesen vannak olyan termelési folyamatok, amelyekben ugyanazokkal a termelési tényezőkkel többféle terméket bocsátanak ki. Erre az ún. ikertermelés esetére a termelési függvényeket ki kell terjeszteni. A szakirodalomban többféle általánosítással találkozunk. Jelölje továbbra is a termelési tényezők mennyiségét az $ \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ vektor, az $ \mathbf{y}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})$ vektor elemei pedig az egyes termékekből előállítható legnagyobb termékmennyiséget jelölje.

  1. Explicit forma
    Valamelyik terméket kinevezzük főterméknek (mondjuk az elsőt), a többit pedig mellékterméknek. A termelési függvény a főtermék mennyiségét fogja kifejezni a termelési tényezők és a többi termék mennyiségének függvényében, képletben

        $\displaystyle y_{1}=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};y_{2},y_{3},\ldots ,y_{m})=f(\mathbf{x},\mathbf{y}_{-1}).$

    A termelési függvényt így az egytermékes esethez hasonlóan értelmezzük, nevezetesen az $ f$ függvény értéke $ (y_{1})$ a főtermékből elérhető legnagyobb kibocsátást jelenti, ha a termelési tényezőkből legfeljebb $ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ lehet a felhasználás, a többi termékből pedig legalább $ y_{2},y_{3},\ldots ,y_{m}$ lehet a termékkibocsátás.

  2. Implicit forma
    Sajnos a fenti értelmezésben az egyes termékek nem nevezhetők egyenrangúnak, ezért az alábbi formulával adott termelési függvényt alkalmazzuk

        $\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n};y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})=F(\mathbf{x},\mathbf{y})=0.$

    Ha az $ F(\mathbf{x},\mathbf{y})$ függvény parciális deriváltjai nullától különbözők, akkor mindegyik termékre felírható az explicit forma.

  3. Szeparálás
    Amennyiben feltesszük, hogy a termelési tényezők és a termékek egymástól elkölöníthetők (szeparálhatók), valamint egy aggregáló és egy dezaggregáló függvénnyel leírhatók a termelési tényezők helyettesítési, ill. a termékek átváltási viszonya, akkor az alábbi alakú termelési függvényt alkalmazhatjuk

        $\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}).$

    A fenti formulában az $ f(\mathbf{x})$ függvény a termelési kapacitást adja meg az egymással helyettesítési viszonyban álló termelési tényezők rendelkezésére álló mennyiségének függvényében. A $ g(\mathbf{y})$ függvény pedig ezt a közös termelési kapacitást bontja szét az egyes termékek között, a különféle termékek közötti transzformációs (átváltási) lehetőségeket megengedve. A későbbi alfejezetben az itt leírt fogalmakat (aggregáló, dezaggregáló, hellyettesítési, átalakítási) részletesen ismertetjük.

3.2. Hasznossági függvény

A hasznossági függvény szintén egy $ u:\mathbb{R}_{\oplus }^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ hozzárendelés, ahol termékek egy adott mennyiségéhez $ (\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{\oplus }^{n})$ - az általuk és az adott piaci és társadalmi viszonyok által lehetséges - legnagyobb elérhető életszínvonal szintet (kielégíthető szükségletet) $ (y)$ rendeli.

Legyen $ \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ egy vektor, amely a termékek mennyiségét mutatja, szokás ezt jószágkosárnak is nevezni. Az $ y=u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=u(\mathbf{x})$ hasznossági függvény megmutatja, hogy az $ \mathbf{x}$ jószágkosár elfogyasztása (felhasználása) milyen mértékű szükségletet $ (y)$ elégít ki. Ha az $ \mathbf{x}$ jószágkosár nagyobb szükségletet elégít ki, mint a $ \mathbf{z}$ jószágkosár, akkor $ u(\mathbf{x})>u(\mathbf{z})$ . Azt, hogy mennyivel nagyobb, sok esetben nem tudjuk, ezért ekkor csak ordinális skálán tudjuk mérni a hasznosságot (szükségletkielégítés mértékét).

Tehát a hasznossági függvény hasonló a termelési függvényhez, de legtöbbször csak ordinális mértékben adott.

Egy hasznossági függvényt jól viselkedőnek nevezünk, ha

- legalább kétszer folytonosan differenciálható

- legalább féligszigorúan monoton növekvő, azaz $ \mathbf{\nabla }f\geqq
\mathbf{0}$ , de $ \mathbf{\nabla }f\neq \mathbf{0}$ , röviden $ \mathbf{\nabla }f\geq \mathbf{0}$

- kvázikonkáv

Egy hasznossági függvényt igazán jól viselkedőnek nevezünk, ha

- legalább kétszer folytonosan differenciálható

- szigorúan monoton növekvő

- szigorúan kvázikonkáv

Monotonitás: Nagyobb fogyasztói kosár elfogyasztásával nagyobb a szükségletkielégítés.

A kvázikonkáv jelleget az alábbiakkal mutatjuk be. Az átlagos jószágkosárral legalább akkora szükségletet lehet kielégíteni, mint a korábban elérhető legkisebb szükségletkielégítés.

Példa:

Egy élelmiszer fogyasztási esettel világítjuk meg a kvázikonkávitást. Álljon a jószágkosár három termékből: kenyér, szalámi és vaj. Legyen adott $ \mathbf{x}_{1}=(4,0,2),$ $ \mathbf{x}_{2}=(4,2,0)$ , azaz az első jószágkosár egy vajas kenyeret, a második pedig egy szalámis kenyeret jelent. Legyen a hasznosság (szükségletkielégítés mértéke): $ u(\mathbf{x}_{1})=6,\ u(\mathbf{x}_{2})=10$ . Tegyük fel, hogy $ u(\mathbf{x})$ kvázikonkáv függvény. Most készítsünk egy vajas-szalámis kenyeret, úgy hogy $ \mathbf{x}=(4,1,1)$ , ekkor $ \lambda =0.5$ . Mekkora az új szendvics hasznossága, azaz mennyi $ u(4,1,1)$ értéke? Nyilván pontosan nem tudjuk a válasz, mivel a függvénynek csak a kvázikonkáv voltát ismerjük. Ebből azonban megállapítható, hogy $ u(4,1,1)=u(\frac{1}{2}\mathbf{x}_{1}+\frac{1}{2}\mathbf{x}_{2})\geqq \min \left\{
5,8\right\} $ , tehát legalább 5. Ez a példánkban azt jelenti, hogy ha átlagosan (itt vegyesen) fogyasztunk, akkor legalább elérjük a gyengébb szendvics hasznosságát.

Néhány esetben a hasznossági függvényről kvázikonkávitás helyett konkávitást teszünk fel.

Példa:

Az előző példát követve itt $ u(4,1,1)=u(\frac{1}{2}\mathbf{x}_{1}+\frac{1}{2}\mathbf{x}_{2})\geqq \frac{1}{2}6+\frac{1}{2}10=8$ . Ez a példánkban azt jelenti, hogy ha átlagosan (itt vegyesen) fogyasztunk, akkor legalább az átlagos hasznosságot elérhetjük.

Ha feltétel nélküli optimalizálásban a célfüggvény egy hasznossági függvény, akkor a konkávitási tulajdonság kell a jól viselkedéshez.

Ha feltételes optimalizálásban a célfüggvény egy hasznossági függvény, akkor a kvázikonkávitási tulajdonság kell a jól viselkedéshez.

4. Aggregáló, dezaggregáló függvények

4.1. Aggregáló függvény

A $ g(\mathbf{x})$ $ (\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{\oplus }^{n})$ aggregáló függvény heterogén (különnemű) gazdasági javak együttes mennyiségét egyetlen valós számmal fejezi ki.

Az aggregáló függvényeket a közgazdaságtanban egymással helyettesítési viszonyban lévő javak együttes hasznos volumenének mérésére használjuk. Tehát az egy termékes termelési függvény és a hasznossági függvény egyfajta aggregáló függvény, így általában a termelési és a hasznossági függvényre megismert tulajdonságok érvényesek rá.

A $ g(\mathbf{x})$ aggregáló függvénnyel tulajdonképpen egy sajátos összetett (kompozit) jószágot definiálunk, amelynek egy megadott hasznos volumenét (mennyiségét) az őt alkotó javak eltérő összetétele mellett lehet elérni.

4.2. Dezaggregáló függvény

A termelési függvény tárgyalásánál láttuk, hogy a termelési tényezők $ \mathbf{x}$ mennyisége által képviselt $ y$ termelői kapacitást kifejezhetjük egy $ y=f(\mathbf{x})$ függvénnyel, amely valójában egy aggregáló függvény. Hasonlóan ehhez, az együttesen előállított termékek ( $ \mathbf{y}$ ) teljes kapacitásigényét ($ k$ ) is előállíthatjuk egy $ k=g(\mathbf{y})$ ún. dezaggregáló függvénnyel. A dezaggregáló függvény a termelési kapacitást bontja szét az egyes termékek között, tehát megmutatja, hogy egy adott kapacitással milyen termék-összetétel állítható elő (bocsátható ki).

A termelési függvénynél a termelési tényezők helyettesítési viszonyban állnak, a dezaggregáló függvénynél pedig a termékek állnak hasonló viszonyban, amit transzformációs vagy átváltási (átalakítási) viszonynak nevezünk.

A dezaggregáló függvény alaptulajdonságai:

- folytonos

- monoton növekvő

- kvázikonvex

Monotonitás: Valamely termék előállított mennyiségének növeléséhez növelni kell a termelési kapacitást.

A kvázikonvex jelleget az alábbiakkal mutatjuk be. Mint ismeretes egy $ f(\mathbf{x})$ függvényt akkor mondunk kvázikonvexnek, ha

    $\displaystyle f(\lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2})\leqq \max \left\{ f(\mathbf{x}_{1}),f(\mathbf{x}_{2})\right\}$

bármely $ \mathbf{x}_{1},$ $ \mathbf{x}_{2}\in S$ vektorra és minden $ \lambda
\in (0,1)$ számra.

A $ \lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2}$ termékösszetétel az $ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}$ termékösszetétel valamilyen számtani átlagát jelenti. Az $ f(\lambda \mathbf{x}_{1}+(1-\lambda )\mathbf{x}_{2})$ érték az átlagos termékösszetételhez tartozó termelési kapacitást jelenti.

A $ \max \left\{ f(\mathbf{x}_{1}),f(\mathbf{x}_{2})\right\} $ érték pedig az $ \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}$ termékösszetételhez tartozó nagyobb termelési kapacitást jelenti.

Tehát röviden a kvázikonvexitás azt mondja, hogy az átlagos helyzet nem lehet nagyobb, mint a szélső helyzet.

Példa:

Legyen adott $ \mathbf{x}_{1}=(2,3),$ $ \mathbf{x}_{2}=(2,5),\ f(\mathbf{x}_{1})=5,\ f(\mathbf{x}_{2})=7$ és $ f(\mathbf{x})$ kvázikonvex függvény. Mennyi az $ f(2,4)$ értéke? Nyilvánvaló, hogy pontosan nem tudjuk a választ, mivel a függvénynek csak a kvázikonvex voltát ismerjük. Ebből azonban megállapítható, hogy $ f(2,4)\leqq \max \left\{ 5,7\right\} =7$ , tehát legfeljebb 7. Ez a példánkban azt jelenti, hogy ha a második termékből több a termékkibocsátás, akkor az átlagos termékösszetételhez tartozó termelési kapacitás nem lehet több, mint a két termékösszetételhez tartozó nagyobb termelési kapacitás.

5. Hozadékok

5.1. Hozadék fogalma

A hozadék általában egy ,,feláldozott'' hasznos dolog és egy ennek fejében ,,nyert'' hasznos dolog (,,jóság'') mennyiségi viszonya. A mennyiségi viszonyt a

    $\displaystyle \frac{\text{,,nyert'' mennyiség}}{\text{,,feláldozott'' mennyiség}}$

hányadossal mérjük. A hasznos dolgok (javak) lehetnek ráfordított vagy kibocsátott gazdasági javak. A hozadék csak akkor mérhető egyértelműen, ha a két vizsgált ,,jóság'' mennyisége között függvénykapcsolat van vagy létesíthető. Csak ekkor lehet egyértelműen megmondani, hogy az egyik adott mennyiségről való lemondásnak mekkora a másik mennyiségben mért hozadéka. A függvénykapcsolatot hozadékfüggvénynek nevezzük. Ez egy egyváltozós valós függvény. Az alábbiakban néhány példát mutatunk a hozadékfüggvényre.

Példa:

Legyen $ f$ egy $ n$ -változós aggregáló vagy dezaggregáló függvény, képletben

    $\displaystyle y=f(\mathbf{x})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})$

Legyen adott egy $ \mathbf{x}^{0}$ pont. Rögzítsük le az $ x_{j}^{0}$ $ (j=1,\ldots ,n;j\neq i)$ tényező értékeket, de az $ x_{i}$ tényező értékét változtathatjuk, ekkor egy

    $\displaystyle y=f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n}^{0})=g(x_{i})$

egyváltozós függvényt kapunk, ez a hozadékfüggvény.

Egy termelési függvénynél azt fejezi ki, hogy mi a kapcsolat az $ i$ -edik termelési tényező ($ x_{i}$ ) és a termékmennyiség ($ y$ ) között, ha a többi termelési tényezőt nem változtatjuk. A $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ mennyiséget határhozadéknak is nevezzük, amely valójában a $ \frac{dg(x_{i})}{dx_{i}}$ mennyiségnek, azaz a hozadékfüggvény deriváltjának felel meg. Szokás a hozadék határrátájának is nevezni.

Példa:

Legyen $ f$ egy $ n$ -változós aggregáló vagy dezaggregáló függvény, képletben

    $\displaystyle y=f(\mathbf{x})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Legyen adott egy lehetséges $ (\mathbf{x}^{0},y^{0})$ pont. Keressük azokat az $ x_{i},x_{j}$ tényezőkombinációkat, amelyek a többi tényező rögzített szintje mellett ugyanazt az $ y^{0}$ függvényértéket eredményezik. Ezt az alábbi függvénykapcsolattal írhatjuk le:

    $\displaystyle y^{0}=f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{n}^{0}).$

Ez is egy hozadékfüggvény, de implicit formában van megadva. Az implicit függvény tétel értelmében, ha $ \frac{\partial f}{\partial x_{j}}\neq 0$ az $ \mathbf{x}^{0}$ pontban, akkor az $ x_{i},x_{j}$ tényezők kapcsolata leírható az $ \mathbf{x}^{0}$ pont környezetében egy $ x_{j}(x_{i})$ folytonos, differenciálható függvénnyel. Az $ x_{j}=x_{j}(x_{i})$ egyváltozós függvény is hozadékfüggvény, de ez már explicit formában van megadva.

Példa:

Legyen $ f$ egy $ n$ -változós aggregáló vagy dezaggregáló függvény, képletben

    $\displaystyle y=f(\mathbf{x})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Legyen adott egy $ \mathbf{x}^{0}\neq \mathbf{0}$ pont. Változtassuk meg az összes $ x_{i}$ tényezőt, de azonos arányban. Jelölje $ \lambda $ ezt az arányt, így $ \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}^{0}$ . Vizsgáljuk meg az $ y$ -t a $ \lambda $ függvényében. Ezt a kapcsolatot az

    $\displaystyle y=f(\lambda x_{1}^{0},\lambda x_{2}^{0},\ldots ,\lambda x_{n}^{0})=s(\lambda
 )$

egyváltozós függvény írja le, amelyet skálafüggvénynek nevezünk. Ez is hozadékfüggvény, skálahozadék vagy mérethozadék elnevezések is használatosak.

5.2. Helyettesítés és átváltási határráta

Legyen $ y=f(\mathbf{x})$ aggregáló vagy dezaggregáló folytonos és differenciálható függvény. Legyen adott egy lehetséges $ (\mathbf{x}^{0},y^{0})$ pont. Vizsgáljuk meg hogyan változik az $ x_{i},x_{j}$ tényezők értéke, ha a többi $ x$ tényező és az $ y$ értéke az adott szinten marad.

Nézzünk néhány példát, az első kettőben az $ f$ aggregáló, a harmadikban dezaggregáló függvény:

Ha $ f$ termelési függvény, akkor az $ i$ -edik és a $ j$ -edik termelési tényezők azon mennyiségeit $ (x_{i},x_{j})$ keressük (a többit rögzítve), amelyeknél ugyanazt az $ y^{0}$ termékmennyiséget kapjuk.

Ha $ f$ hasznossági függvény, akkor az $ i$ -edik és a $ j$ -edik termékek azon mennyiségeit $ (x_{i},x_{j})$ keressük (a többit rögzítve), amelyeknél ugyanazt az $ y^{0}$ hasznosságot tudjuk biztosítani.

Ha $ f$ dezaggregáló függvény, akkor az $ i$ -edik és a $ j$ -edik termékek azon mennyiségeit $ (x_{i},x_{j})$ keressük (a többit rögzítve), amelyeknél a termelési tényezők által együttesen létrehozott termékeknek ugyanaz a kapacitás igénye ($ y^{0}$ ).

A fentebb elmondottakat az alábbi implicit függvénykapcsolattal írhatjuk le:

    $\displaystyle f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{n}^{0})=y^{0}.$

Ezt a függvénykapcsolat az $ (x_{i},x_{j})$ koordinátarendszerben ábrázolhatjuk és szintgörbének nevezzük, mivel a görbe minden pontjában az $ y$ értéke azonos értékű (szintű). Ha $ f$ aggregáló függvény, akkor a szintgörbe megmutatja, hogy a két tényező között milyen a helyettesíthetőség, ezért ezt a görbét az $ \mathbf{x}^{0}$ pontot tartalmazó helyettesítési görbének nevezik. Ha $ f$ dezaggregáló függvény, akkor a szintgörbe megmutatja, hogy a két tényező között milyen az átválthatóság, ezért ezt a görbét az $ \mathbf{x}^{0}$ pontot tartalmazó átváltási görbének nevezik. Megjegyezzük, hogy a szintgörbéknek több elnevezése is van attól függően, hogy mit ír le az $ f$ függvény.

Izokvant: termelési függvény esetén (azonos termékmennyiség).

Közömbösségi (indifferencia) görbe: hasznossági függvény esetén.

Az implicit függvény tétel értelmében, ha $ \frac{\partial f}{\partial x_{j}}\neq 0$ az $ \mathbf{x}^{0}$ pontban, akkor az $ x_{i},x_{j}$ tényezők kapcsolata leírható az $ \mathbf{x}^{0}$ pont környezetében egy $ x_{j}(x_{i})$ folytonos, differenciálható függvénnyel, amely már explicit formájú. A példákból látjuk, hogy a $ x_{j}(x_{i})$ egy hozadékfüggvény.

Deriváljuk a fenti implicit függvényt az $ x_{i}$ változó szerint, ekkor kapjuk, hogy

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=0\ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \frac{dx_{j}}{dx_{i}}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}$

Vezessük be a $ h_{ji}$ mennyiséget az alábbiak szerint.

(5.1) $\displaystyle h_{ji}=-\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}$

Ha $ f$ aggregáló függvény, akkor a $ h_{ji}$ mennyiséget a helyettesítés határrátájának (helyettesítési határrátának) nevezzük.

Ha $ f$ dezaggregáló függvény, akkor a $ h_{ji}$ mennyiséget az átváltás (transzformáció) határrátájának (átváltási (transzformációs) határrátának) nevezzük.

Értelmezzük ezt a $ h_{ji}$ mennyiséget:

a) $ h_{ji}=-\frac{dx_{j}}{dx_{i}}$ , az $ x_{j}(x_{i})$ hozadékfüggvény $ x_{i}$ szerinti $ x_{j}^{\prime }$ deriváltjának $ (-1)$ -szerese, a hozadékfüggvény érintőjével kapcsolatos, nevezetesen az érintő iránytényezőjének $ (-1)$ -szerese.

b) $ h_{ji}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}$ , a határtermékek vagy határhasznok hányadosa, attól függően, hogy az $ f$ termelési vagy hasznossági függvény. Határhozadékok hányadosának is nevezhetjük, mivel a határtermékek, határhasznok is egyfajta határhozadékok.

c) $ h_{ji}\approx \frac{-\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}=\frac{\text{,,nyert''
mennyiség}}{\text{,,feláldozott'' mennyiség}}$ , határhozadék.

5.3. Csökkenő hozadékok tétele

Legyen adott egy $ f$ aggregáló vagy dezaggregáló függvény. Legyen a hozadékfüggvény $ x_{j}(x_{i})$ , a helyettesítési vagy átváltási (transzformációs) határráta $ h_{ji}=-\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}.$

1. Ha az $ f$ aggregáló vagy dezaggregáló függvény monoton növekvő, akkor $ h_{ji}\geqq 0$ , azaz a helyettesítési, ill. átváltási határráta nemnegatív, (ha $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ is pozitív, akkor pozitív).

2.a) Ha az $ f$ aggregáló függvény kvázikonkáv, akkor $ \frac{dh_{ji}}{dx_{i}}\leqq 0$ , azaz a helyettesítési határráta nem növekedő.

2.b) Ha az $ f$ dezaggregáló függvény kvázikonvex, akkor $ \frac{dh_{ji}}{dx_{i}}\geqq 0$ , azaz az átváltási határráta nem csökkenő.

Bizonyítás:

A bizonyításban az $ f_{i}^{\ \prime }=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ és az $ f_{j}^{\ \prime }=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ jelöléseket használjuk.

1. a monotonitás miatt $ f_{i}^{\ \prime }\geqq 0,\ f_{j}^{\ \prime }>0$ , így $ h_{ji}=\frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}\geqq 0.$

2. a láncszabályt alkalmazva:

    $\displaystyle \frac{dh_{ji}}{dx_{i}}$ $\displaystyle =\frac{dh_{ji}(x_{i},x_{j}(x_{i}))}{dx_{i}}=\frac{\partial h_{ji}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial h_{ji}}{\partial x_{j}}\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=\frac{\partial \left( \frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\
 \prime }}\right) }{\partial x_{i}}-\frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}\cdot \frac{\partial \left( \frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}\right) }{\partial x_{j}}=$
      $\displaystyle =\frac{f_{ii}^{\ \prime \prime }f_{j}^{\ \prime }-f_{i}^{\ \prime
 }f_{ij}^{\ \prime \prime }}{\left( f_{j}^{\ \prime }\right) ^{2}}-\frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}\cdot \frac{f_{ij}^{\ \prime \prime
 }f_{j}^{\ \prime }-f_{i}^{\ \prime }f_{jj}^{\ \prime \prime }}{\left(
 f_{j}^{\ \prime }\right) ^{2}}=\frac{f_{ii}^{\ \prime \prime }\left(
 f_{j}^{\ \prime }\right) ^{2}-2f_{i}^{\ \prime }f_{j}^{\ \prime }f_{ij}^{\
 \prime \prime }+\left( f_{i}^{\ \prime }\right) ^{2}f_{jj}^{\ \prime \prime }}{\left( f_{j}^{\ \prime }\right) ^{3}}$

Jelölje $ \mathbf{H}$ az $ f$ függvény Hesse mátrixát, definiáljuk a $ \mathbf{d}=(0,\ldots ,-f_{j}^{\ \prime },\ldots ,f_{i}^{\ \prime },\ldots ,0)$ vektort, ahol $ -f_{j}^{\ \prime }$ az $ i$ -edik, $ f_{i}^{\ \prime }$ a $ j$ -edik koordináta. Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti formulában a legutolsó tört számlálója $ \mathbf{dHd}$ , az is egyszerűen látható, hogy $ \mathbf{\nabla }f\cdot \mathbf{d}=0$ . Ekkor írható, hogy

    $\displaystyle \frac{dh_{ji}}{dx_{i}}=\frac{1}{\left( f_{j}^{\ \prime }\right) ^{3}}\mathbf{dHd.}$

Ismert, hogy ha $ f$ kvázikonkáv (kvázikonvex), akkor $ \mathbf{dHd}\leqq 0\ (\mathbf{dHd}\geqq 0)$ , minden olyan $ \mathbf{d}\neq \mathbf{0}$ vektorra, amelyre $ \mathbf{\nabla }f\cdot \mathbf{d}=0.$

Ebből a tényből következik a tétel 2.a) és 2.b) állításának helyessége.

5.4. Csökkenő hozadékok tételének szemléltetése

a) A helyettesítési, ill. átváltási görbe alakja:

A tétel 1. részéből $ x_{j}^{\prime }=\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=-h_{ji}\leqq 0$ , amely szerint a szintgörbe nem növekvő (általában csökkenő).

A tétel 2. részéből pedig az $ x_{j}^{\prime \prime }=-h_{ji}^{\prime }$ alapján azt mondhatjuk, hogy

ha $ f$ kvázikonkáv (aggregáló), akkor $ x_{j}^{\prime \prime
}\geqq 0$ , tehát a szintgörbe (helyettesítési görbe) konvex,

ha $ f$ kvázikonvex (dezaggregáló), akkor $ x_{j}^{\prime
\prime }\leqq 0$ , tehát a szintgörbe (átváltási görbe) konkáv.

Tehát a szintgörbére csökkenő konvex, ill. csökkenő konkáv görbét kapunk. Az alábbi ábra szemlélteti a tételnek az állítását.

Image konv_konk__1

b) Most vizsgáljuk meg a tételt a hozadék fogalmának összefüggésében. Röviden: a hozadék egy ,,feláldozott'' hasznos dolog és egy ennek fejében ,,nyert'' hasznos dolog (,,jóság'') mennyiségi viszonya. Mindkét mennyiség pozitív. A mennyiségi viszonyt a $ \frac{\text{,,nyert''}}{\text{,,feláldozott''}}$ hányados méri.

Ennek szemléltetésére nézzünk egy példát.

Példa:

Legyen $ y=f(x)$ egyváltozós függvény, ahol $ x$ a termelési tényező mennyiségét (TT), $ y$ termékmennyiséget (T) jelenti.

b1) Ha ,,feláldozunk'' $ x$ mennyiségű TT-t (ennyit használunk fel a termelés során), akkor ennek fejében $ y$ mennyiségű T-t ,,nyerünk''. Az $ x$ hozadéka $ y$ , az $ \frac{y}{x}$ hányados, azaz az átlag mutatja a viszonyt.

b2) Tegyük fel, hogy $ x$ mennyiségű TT-t használunk. Ha most ,,feláldozunk'' további $ \Delta x$ mennyiségű TT-t, akkor ennek fejében $ \Delta y$ mennyiségű T-t ,,nyerünk''. A $ \Delta x$ hozadéka $ \Delta y$ , a $ \frac{\Delta y}{\Delta x}
$ hányados, azaz a növekmény ráta mutatja a viszonyt. Ez a viszony elegendően kicsi $ \Delta x$ esetén $ \frac{\Delta y}{\Delta x}\approx \frac{dy}{dx}$ , azaz a határrátával azonosnak vehető. Ez utóbbi értelmezés szerint a viszonyt tehát a határráta mutatja, a $ \frac{dy}{dx}$ elnevezése pedig a hozadék határrátája vagy más szóval határhozadék.

A csökkenő hozadékok tétele a határhozadék csökkenő voltát, nem magának a hozadéknak a csökkenő voltát jelenti.

Ilyen értelemben vizsgáljuk tovább a tételt.

A) Tegyük fel, hogy $ f$ kvázikonkáv (aggregáló: termelési vagy hasznossági) függvény. Ekkor a tétel szerint $ h_{ji}^{\prime }\leqq 0$ miatt a helyettesítési határráta csökken (legalább is nem növekszik). A

    $\displaystyle h_{ji}=-\frac{dx_{j}}{dx_{i}}\approx \frac{-\Delta x_{j}}{\Delta x_{i}}$

csökkenő voltából pedig az alábbiak olvashatók ki. Az alábbi ábrán is szemléltetjük a leírtakat.
Image aggr__2

Ha egy adott $ x_{i}$ esetén (A pont) a TT$ _{i}$ -ből ,,feláldozunk'' $ \Delta
x_{i}>0$ mennyiséget ( $ \Delta x_{i}$ -vel többet használunk fel az $ i$ -edik termelési tényezőből), akkor ennek hozadéka, hogy a TT$ _{j}$ -ből ($ j$ -edik termelési tényezőből) kevesebbet ( $ \Delta x_{j}<0$ ) kell felhasználni, hogy ugyanazt a termékmennyiséget ($ y$ -t) érjük el. A ,,nyert'' pozitív mennyiség ekkor $ -\Delta x_{j}$ . Mivel $ h_{ji}\approx \frac{-\Delta
x_{j}}{\Delta x_{i}}$ csökkenő ($ x_{i}$ növekedésével csökken), így ha nagyobb volumenű $ x_{i}$ -nél (B pont) történik ugyanakkora $ \Delta x_{i}$ ,,feláldozás'', akkor a $ -\Delta x_{j}$ ,,nyert'' mennyiség kisebb lesz. Tehát a hozadékráta, a $ \frac{\text{,,nyert''}}{\text{,,feláldozott''}}$ hányados csökkenést mutat.

Az olvasóra bízzuk annak az esetnek a vizsgálatát, amikor az $ f$ hasznossági függvény, azaz az $ x_{i},x_{j}$ elfogyasztott termékek mennyiségét, $ y$ pedig a hasznosságot jelenti.

B) Tegyük fel, hogy $ f$ kvázikonvex (dezaggregáló) függvény. Ebben az esetben az $ x_{i},x_{j}$ termékmennyiségeket, $ y$ pedig az előállításukhoz szükséges termelési tényezők kapacitását jelenti. Ekkor a tétel szerint $ h_{ji}^{\prime }\geqq 0$ miatt az átváltási határráta növekszik (legalább is nem csökken). A $ h_{ji}$ növekvő voltából pedig az alábbiak olvashatók ki. Az alábbi két ábrán is szemléltetjük a leírtakat.

 Image dezaggr_1__3 Image dezaggr_2__4  

Ha egy adott $ x_{i}$ esetén (A pont) a T$ _{i}$ termékből többet ( $ \Delta
x_{i}>0$ ) termelünk, akkor ennek hozadéka, hogy a T$ _{j}$ termékből kevesebbet ( $ \Delta x_{j}<0$ ) tudunk termelni ugyanolyan termelési kapacitás mellett. Más szóval le kell mondanunk $ -\Delta x_{j}$ mennyiségű T$ _{j}$ termék termeléséről. Mivel $ h_{ji}$ növekvő ($ x_{i}$ növekedésével nő), így ha nagyobb volumenű $ x_{i}$ -nél (B pont) történik ugyanakkora $ \Delta x_{i}$ többlettermelés, akkor nagyobb mennyiségű T$ _{j}$ termék termeléséről kell lemondanunk. Tehát most $ -\Delta x_{j}$ a ,,feláldozott'' dolog, ennek fejében ,,nyerünk'' $ \Delta x_{i}$ mennyiséggel több T$ _{i}$ terméket. Ezt mutatja a fenti ábra baloldali része. Összefoglalva azt mondhatjuk: ahhoz hogy a T$ _{j}$ termékből további egységgel többről mondjunk le egyre kevesebb lesz a T$ _{i}$ termékből nyert többlettermelés. Ezt mutatja a fenti ábra jobboldali része. Tehát a hozadékráta, a $ \frac{\text{,,nyert''}}{\text{,,feláldozott''}}$ hányados ez esetben is csökkenést mutat.

5.5. Közvetlen helyettesítési rugalmasság

Az előző alfejezetben a helyettesítés (átváltás) határrátáját, ill. annak deriváltját vizsgáltuk (csökkenő hozadékok tétele), ebben az alfejezetben pedig azt vizsgáljuk, hogy a helyettesítési, ill. átváltási viszony milyen szoros, ennek mértékét közvetlen helyettesítési, ill. átváltási rugalmasságnak nevezzük és $ \sigma _{ji}$ szimbólummal jelöljük. Továbbiakban csak közvetlen helyettesítési rugalmasságot mondunk. A $ \sigma _{ji}$ mennyiséget az $ s_{ji}=\frac{x_{j}}{x_{i}}$ tényezőaránynak a $ h_{ji}=\frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}$ helyettesítési határrátára vonatkoztatott rugalmasságaként definiáljuk. Tehát az $ s_{ji}=g(h_{ji})$ függvény rugalmasságát kell meghatározni, amely valójában a görbület meghatározását jelenti. A görbület közelítőleg

    $\displaystyle \sigma _{ji}\approx \frac{\frac{\Delta s_{ji}}{s_{ji}}}{\frac{\Delta h_{ji}}{h_{ji}}}=\frac{h_{ji}}{s_{ji}}\cdot \frac{\frac{\Delta s_{ji}}{\Delta x_{i}}}{\frac{\Delta h_{ji}}{\Delta x_{i}}},$

a $ \Delta x_{i}\rightarrow 0$ határátmenetből kapjuk a görbületet, amely az alábbi:

    $\displaystyle \sigma _{ji}=\frac{h_{ji}}{s_{ji}}\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\frac{\frac{\Delta s_{ji}}{\Delta x_{i}}}{\frac{\Delta h_{ji}}{\Delta x_{i}}}=\frac{h_{ji}}{s_{ji}}\cdot \frac{\frac{ds_{ji}}{dx_{i}}}{\frac{dh_{ji}}{dx_{i}}}.$

Külön számolva: a számláló

    $\displaystyle \frac{ds_{ji}}{dx_{i}}=\frac{d\left( \frac{x_{j}}{x_{i}}\right) }{dx_{i}}=\frac{\frac{dx_{j}}{dx_{i}}x_{i}-x_{j}}{x_{i}^{2}}=\frac{-\frac{f_{i}^{\
 \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}x_{i}-x_{j}}{x_{i}^{2}}=-\frac{f_{i}^{\ \prime
 }x_{i}+f_{j}^{\ \prime }x_{j}}{x_{i}^{2}f_{j}^{\ \prime }}$

a nevező: ezt már kiszámoltuk a csökkenő hozadékok tételének bizonyítása során

    $\displaystyle \frac{dh_{ji}}{dx_{i}}=\frac{1}{\left( f_{j}^{\ \prime }\right) ^{3}}\mathbf{dHd.}$

Ezeket felhasználva

    $\displaystyle \sigma _{ji}=\frac{h_{ji}}{s_{ji}}\cdot \frac{\frac{ds_{ji}}{dx_{i}}}{\frac{dh_{ji}}{dx_{i}}}=\frac{\frac{f_{i}^{\ \prime }}{f_{j}^{\ \prime }}}{\frac{x_{j}}{x_{i}}}\cdot \frac{-\frac{f_{i}^{\ \prime }x_{i}+f_{j}^{\ \prime
 }x_{j}}{x_{i}^{2}f_{j}^{\ \prime }}}{\frac{1}{\left( f_{j}^{\ \prime
 }\right) ^{3}}\mathbf{dHd}}=-\frac{f_{i}^{\ \prime }\cdot f_{j}^{\ \prime
 }\cdot \left( f_{i}^{\ \prime }x_{i}+f_{j}^{\ \prime }x_{j}\right) }{x_{i}\cdot x_{j}\cdot \mathbf{dHd}}$

ahol $ \mathbf{H}$ az $ f$ függvény Hesse mátrixa, $ \mathbf{d}=(0,\ldots ,-f_{j}^{\ \prime },\ldots ,f_{i}^{\ \prime },\ldots ,0)$ vektor, amelyben $ -f_{j}^{\ \prime }$ az $ i$ -edik, $ f_{i}^{\ \prime }$ a $ j$ -edik koordináta, így $ \mathbf{\nabla }f\cdot \mathbf{d}=0$ .

A $ \sigma _{ji}$ képletében a $ \mathbf{dHd}$ mennyiségen kívül minden adat pozitív. Mivel $ \mathbf{dHd}$ a nevezőben van, így az $ f$ függvényre a kvázikonkáv (kvázikonvex) definíció mellett az erősen kvázikonkáv (kvázikonvex) fogalmakat is be kell vezetni.

Az olyan kvázikonkáv (kvázikonvex) $ f$ függvényt, amelynél $ \mathbf{dHd<(>)}0 $ minden olyan $ \mathbf{d}\neq \mathbf{0}$ vektorra, amelyre igaz, hogy $ \mathbf{\nabla }f\cdot \mathbf{d}=0$ erősen kvázikonkáv (kvázikonvex) függvénynek nevezünk.

A $ \sigma _{ji}$ közvetlen helyettesítési rugalmasságról a fentiek alapján elmondható, hogy

$ \sigma _{ji}>0$ , ha $ f$ erősen kvázikonkáv (aggregáló) függvény.

$ \sigma _{ji}<0$ , ha $ f$ erősen kvázikonvex (dezaggregáló) függvény.

$ \sigma _{ji}=0$ , ha a helyettesítési görbe egyenes, hiszen ekkor $ h_{ji}=-\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=\ $ állandó.

6. Homogén függvények

6.1. Homogén függvények fogalma

A közgazdaságtani vizsgálatok során gyakran alkalmaznak homogén függvényeket a kedvező tulajdonságaik miatt. Legyen $ f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ többváltozós ($ n$ -változós) függvény.

Ha $ f(\lambda \mathbf{x})=\lambda ^{k}f(\mathbf{x}),\ \lambda >0$ és $ k\geqq
0$ mellett, akkor az $ f(\mathbf{x})$ függvényt $ k$ -ad fokon homogén függvénynek nevezzük. A $ k$ értéket a homogenitás fokának nevezzük.

6.2. A homogén függvények tulajdonságai

TÉTEL:

Legyen $ f(\mathbf{x})$ $ k$ -ad fokon homogén függvény, ekkor

  1. érvényes az Euler-tétel [Leonhard Euler (1707 - 1783) svájci matematikus], azaz

        $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}x_{i}=kf(\mathbf{x})\
 \ \ \ $   vagy más formában  $\displaystyle \mathbf{\nabla }f\cdot \mathbf{x}=kf(\mathbf{x})$

  2. a parciális deriváltak (határráták) szintén homogének, a homogenitás foka: $ (k-1)$ ,

  3. a parciális deriváltak (határráták) arányai csak a tényezők arányaitól függenek,

  4. a teljes volumenrugalmasság megegyezik a homogenitás fokával, azaz $ \varepsilon =k.$

Bizonyítás: Az első két tulajdonságot bizonyítjuk, ehhez induljunk ki a homogén függvény definíciójából:

    $\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots ,\lambda
 x_{n})=\lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n}).$

  1. Deriváljuk a definíciós összefüggést $ \lambda $ szerint:

        $\displaystyle \frac{\partial }{\partial \lambda }\left[ f(\lambda x_{1},\lambda
 x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots ,\lambda x_{n})\right] =\frac{\partial }{\partial \lambda }\left[ \lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots
 ,x_{n})\right] .$

    a baloldal:

        $\displaystyle \frac{\partial f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots
 ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1})}\cdot \underset{=x_{1}}{\underbrace{\frac{\partial (\lambda x_{1})}{\partial \lambda }}}+\ldots +\frac{\partial f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots
 ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n})}\underset{=x_{n}}{\cdot 
 \underbrace{\frac{\partial (\lambda x_{n})}{\partial \lambda }}}$

    a jobboldal:

        $\displaystyle k\lambda ^{k-1}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})$

    A két oldal megegyezik minden $ \lambda >0$ esetén, így a $ \lambda =1$ esetben is, amelyből azonnal adódik az Euler összefüggés.

  2. Deriváljuk a definíciós összefüggést $ x_{i}$ szerint:

        $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_{i}}\left[ f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots
 ,\lambda x_{i},\ldots ,\lambda x_{n})\right] =\frac{\partial }{\partial x_{i}}\left[ \lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})\right] .$

    a baloldal:

        $\displaystyle \frac{\partial f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots
 ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{i})}\underset{=\lambda }{\cdot 
 \underbrace{\frac{\partial \lambda x_{i}}{\partial x_{i}}},}$

    amelynek első tényezője a $ \frac{\partial f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots
,x_{n})}{\partial x_{i}}$ ($ i$ -edik parciális deriváltnak) a
    $ (\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{i},\ldots ,\lambda
x_{n})=\lambda \mathbf{x}$ helyen vett értéke, azaz $ \frac{\partial f}{
\partial x_{i}}(\lambda \mathbf{x})$

a jobboldal:

    $\displaystyle \lambda ^{k}\frac{\partial f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{i}}$

így

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\lambda \mathbf{x})=\lambda ^{k-1}\frac{
 \partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x}).$

Példa:

Tekintsük az alábbi kétváltozós függvényt:

    $\displaystyle y=2x_{1}^{3}x_{2}^{4}+3x_{1}^{5}x_{2}^{2}$

a) Homogén függvény-e? Ha igen, akkor mennyi a homogenitás foka?

b) Ellenőrizzük a homogén függvényre vonatkozó négy tulajdonságot!

Megoldás:

a)
a homogenitás vizsgálata:
$ f(\lambda \mathbf{x})=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2})=2(\lambda
x_{1})^{3}(\lambda x_{2})^{4}+3(\lambda x_{1})^{5}(\lambda
x_{2})^{2}=2\lambda ^{3}x_{1}^{3}\lambda ^{4}x_{2}^{4}+3\lambda
^{5}x_{1}^{5}\lambda ^{2}x_{2}^{2}=\lambda
^{7}(2x_{1}^{3}x_{2}^{4}+3x_{1}^{5}x_{2}^{2})=\lambda ^{7}f(\mathbf{x})$
Mivel $ f(\lambda \mathbf{x})=\lambda ^{k}f(\mathbf{x})$ definíciós összefüggés fennáll, így az $ f(\mathbf{x})$ függvény homogén. A $ \lambda $ szorzó kitevője mutatja a homogenitás fokát, tehát $ 7$ -edfokú homogén függvényről van szó $ (k=7)$ .

b)
a tulajdonságok vizsgálata:

1.
Euler tétel:
parciális deriváltak (határráták):
$ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}=2\cdot 3\cdot x_{1}^{2}x_{2}^{4}+3\cdot
5\cdot x_{1}^{4}x_{2}^{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x_{2}}=2\cdot 4\cdot x_{1}^{3}x_{2}^{3}+3\cdot 2\cdot x_{1}^{5}x_{2},$
Az Euler tétel baloldala: $ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}x_{2}=(6x_{1}^{3}x_{2}^{4}+15x_{1}^{5}x_{2}^{2})+(8x_{1}^{3}x_{2}^{4}+6x_{1}^{5}x_{2}^{2})=14x_{1}^{3}x_{2}^{4}+21x_{1}^{5}x_{2}^{2}=7(2x_{1}^{3}x_{2}^{4}+3x_{1}^{5}x_{2}^{2}),
$
ez valóban megegyezik az Euler tétel jobboldalával, a $ kf(\mathbf{x})$ értékkel.

2.
$ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\mathbf{x})=6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2},$
$ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\lambda \mathbf{x})=6\lambda
^{6}x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15\lambda ^{6}x_{1}^{4}x_{2}^{2}=\lambda
^{6}(6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2})=\lambda ^{6}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}),$
tehát az első parciális derivált is homogén, a homogenitás foka eggyel kisebb, azaz értéke $ 6$ . Hasonlóan igazolható a második parciális derivált is.

3.
$ \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{2}}}=\frac{6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2}}{8x_{1}^{3}x_{2}^{3}+6x_{1}^{5}x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}x_{2}^{2}(6x_{2}^{2}+15x_{1}^{2})}{x_{1}^{3}x_{2}(8x_{2}^{2}+6x_{1}^{2})}=\frac{x_{2}}{x_{1}}\frac{x_{1}^{2}\left( 6(\frac{x_{2}}{x_{1}})^{2}+15\right) }{x_{1}^{2}\left( 8(\frac{x_{2}}{x_{1}})^{2}+6\right) }=g(\frac{x_{2}}{x_{1}})$
valóban csak a változók arányától függ.

4.
a többváltozós függvények teljes volumenrugalmasságának (méretrugalmasság) ismertetésénél láttuk, hogy ennek értéke megegyezik a parciális volumenrugalmasságok összegével. A parciális volumenrugalmasságok pedig az alábbiak szerint számíthatók:
$ \varepsilon _{1}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac{f}{x_{1}}}=\frac{6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2}}{\frac{2x_{1}^{3}x_{2}^{4}+3x_{1}^{5}x_{2}^{2}}{x_{1}}}=\frac{6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2}}{2x_{1}^{2}x_{2}^{4}+3x_{1}^{4}x_{2}^{2}},$
$ \varepsilon _{2}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac{f}{x_{2}}}=\frac{8x_{1}^{3}x_{2}^{3}+6x_{1}^{5}x_{2}}{\frac{2x_{1}^{3}x_{2}^{4}+3x_{1}^{5}x_{2}^{2}}{x_{2}}}=\frac{8x_{1}^{3}x_{2}^{3}+6x_{1}^{5}x_{2}}{2x_{1}^{3}x_{2}^{3}+3x_{1}^{5}x_{2}},$
$ \varepsilon =\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}=\frac{6x_{1}^{2}x_{2}^{4}+15x_{1}^{4}x_{2}^{2}}{2x_{1}^{2}x_{2}^{4}+3x_{1}^{4}x_{2}^{2}}+\frac{8x_{1}^{3}x_{2}^{3}+6x_{1}^{5}x_{2}}{2x_{1}^{3}x_{2}^{3}+3x_{1}^{5}x_{2}}=7$ . Közös nevezőre hozás és egyszerűsítés után látszik, hogy a teljes volumenrugalmasság valóban megegyezik a homogenitás fokával.

Feladat:

Tekintsük az alábbi háromváltozós függvényt:

    $\displaystyle y=6x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}^{4}$

a) Homogén függvény-e? Ha igen, akkor mennyi a homogenitás foka?

b) Ellenőrizze a homogén függvényre vonatkozó négy tulajdonságot!

Példa:

Vizsgáljuk meg a homogén függvények helyettesítési görbéit. Azt állíthatjuk, hogy ha az $ f(\mathbf{x})$ aggregáló függvény homogén, akkor a helyettesítési görbék sugarasan párhuzamosak. Legyen adott egy lehetséges $ (\mathbf{x}^{0},y^{0})$ pont, azaz $ y^{0}=f(\mathbf{x}^{0})$ . Ehhez az ( $ x_{i},x_{j}$ ) koordinátarendszerben tartozik egy helyettesítési görbe. Ha megváltoztatjuk az $ \mathbf{x}^{0}$ vektort az $ \mathbf{x}^{1}=\lambda \mathbf{x}^{0}$ vektorra, akkor $ y^{1}=f(\mathbf{x}^{1})=f(\lambda \mathbf{x}^{0})=\lambda ^{k}f(\mathbf{x}^{0})=\lambda
^{k}y^{0}$ . Minden $ \lambda >0$ értékhez, azaz minden függvényszinthez tartozik egy-egy helyettesítési görbe. A helyettesítési görbére igaz, hogy

    $\displaystyle -\frac{dx_{j}}{dx_{i}}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}$

A homogén függvények 3. tulajdonsága szerint a parciális deriváltak arányai csak a tényezők arányaitól függenek, így a $ \frac{dx_{j}}{dx_{i}}$ mennyiség csak az $ \frac{x_{j}}{x_{i}}$ aránytól függ. Ez az arány pedig az origóból kiinduló sugáron azonos értékű. A $ \frac{dx_{j}}{dx_{i}}$ mennyiség (a helyettesítési görbe érintőjének iránytényezője) tehát a sugár minden pontjában azonos, így az érintők párhuzamosak. Ezt szemlélteti az alábbi ábra.
Image homogen__5

Amennyiben elsőfokon homogén egy függvény, úgy a sugár mentén az $ f(\mathbf{x})$ függvény parciális deriváltjai is állandók. A homogén függvények 2. tulajdonsága szerint a parciális deriváltak ez esetben nulladfokon homogének, azaz $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\lambda \mathbf{x}^{0})=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x}^{0})$ , tehát a sugár minden pontjában az $ f$ függvény parciális deriváltjai azonos értékűek.

7. Állandó helyettesítési rugalmasságú (CES, CET) függvények

A hozadékok fejezet utolsó alfejezetében definiáltuk a helyettesítési, ill. az átváltási viszony szorosságát, ennek mértékét közvetlen helyettesítési, ill. átváltási rugalmasságnak neveztük és $ \sigma _{ji}$ szimbólummal jelöltük. Tulajdonképpen ez a mutatószám a helyettesítési, ill. átváltási görbe görbületét méri. Ebben a fejezetben azokat az aggregáló, ill. dezaggregáló függvényeket vizsgáljuk, amelyek homogének és konstans helyettesítési (átváltási) rugalmasságúak. Amennyiben a közvetlen helyettesítési rugalmasság pozitív mennyiség, akkor CES-függvényről (Constant Elasticity of Substitution), ha a közvetlen átváltási rugalmasság negatív, akkor CET-függvényről (Constant Elasicity of Transformation) beszélünk.

7.1. Cobb-Douglas-típusú helyettesítési függvény

A függvénytípust Charles W. Cobb [Charles Wiggins Cobb (1875 - 1949) amerikai matematikus és közgazdász] és Paul H. Douglas [Paul Howard Douglas (1892 - 1976) amerikai közgazdász és politikus] után nevezték el, akik 1928-ban, elsőként alkalmaztak CES-függvényként egyszerű hatványfüggvényt. Az első fejezetből is ismert tény, hogy a hatványfüggvény görbülete minden pontban azonos, értéke 1. A Cobb-Douglas-típusú függvény ezzel a jó tulajdonsággal rendelkező hatványfüggvények szorzata, általános alakja a következő:

(7.1) $\displaystyle y=Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots
 x_{n}^{a_{n}}=A\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}}.$

A függvényben szereplő paraméterek jelentése:

$ A\ $ : szinttényező, $ A>0$ ,

$ a_{i}\ $ : az egyes tényezőknek a parciális volumenrugalmassága $ (\varepsilon _{i})$ , amelyekre igaz, hogy: minden $ a_{i}>0$ , összegük $ \left( \sum a_{i}\right) $ a teljes volumenrugalmasságot $ (\varepsilon )$ adja és ez a függvény homogenitás fokával egyenlő.

A Cobb-Douglas-típusú függvény esetén a közvetlen helyettesítési rugalmasság értéke, $ \sigma _{ji}=1$ , állandó.

7.2. Lineáris helyettesítési függvény

A legegyszerűbb függvény, amelynek alakja:

(7.2) $\displaystyle y=A\left( a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}\right)
 =A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\ldots +A_{n}x_{n}.$

A függvényben szereplő paraméterek jelentése:

$ A\ $ : szinttényező, amely $ A>0$ ,

$ A_{i}\ $ : megmutatja, hogy az $ i$ -edik termelési tényező egy egysége önmagában mennyi termék előállítását teszi lehetővé, ugyanakkor az $ i$ -edik termelési tényező határterméke is, amely állandó $ (A_{i}=Aa_{i}).$

A lineáris függvény esetén a közvetlen helyettesítési rugalmasság értéke, $ \sigma _{ji}=+\infty $ .

7.3. Leontief-féle helyettesítési függvény

Leontief-féle [Wassily Leontief (1906 - 1999) orosz-amerikai közgazdász, Nobel díj: 1973] helyettesítési függvénynél $ \sigma _{ji}=0$ . A függvény általános alakja a következő:

(7.3) $\displaystyle y=A\min \left\{ x_{1}^{k},x_{2}^{k},\ldots ,x_{n}^{k}\right\} .$

7.4. Általános CES-CET típusú függvény (ACMS függvény)

A CES-típusú függvényekkel kapcsolatos kutatásokban fontos szerepet játszott Arrow [Kenneth Joseph Arrow (1921 -) amerikai közgazdász, Nobel díj: 1972]-Chenery [Hollis Burnley Chenery (1918 - 1994) amerikai közgazdász]-Minhas [Bagicha Singh Minhas (1929 - 2005) indiai közgazdász]-Solow [Robert Merton Solow (1924 -) amerikai közgazdász, Nobel díj: 1987] (1961) szerzőnégyes. Az ő nevükhöz fűződik az állandó helyettesítési rugalmasságú termelési függvény általános alakja, melyet a szerzők neveinek kezdőbetűiből ACMS függvénynek is szokás nevezni. A függvény általános alakja:

(7.4) $\displaystyle y=A\left( a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +a_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}=A\left(
 \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}.$

A függvényben szereplő paraméterek jelentése:

$ A\ $ : szinttényező, $ A>0$ ,

$ a_{i}\ $ : részesedési paraméterek, amelyek pozitívok és összegük $ 1$ , $ (a_{i}>0,\ \sum a_{i}=1),$

$ \beta \ $ : az állandó helyettesítési rugalmasságot meghatározó tényező, amely $ \sigma =\sigma _{ji}=\frac{1}{1+\beta },$

$ k$ : a homogenitás foka, tehát a teljes volumenrugalmasság értéke.

A $ \beta =0$ esetén az ACMS függvény nem értelmezett. Ha $ \beta \geqq -1\
(\sigma >0)$ , akkor a felhasznált tényezők közötti helyettesítési lehetőségeket leíró CES-függvényről beszélünk, ha $ \beta <-1\ (\sigma <0)$ , akkor átváltási lehetőségeket leíró CET-függvényről van szó.

Feladat:

Igazolja, hogy az ACMS függvény homogén és a homogenitás foka $ k$ !

Példa:

Igazoljuk, hogy az ACMS függvény esetén $ \sigma _{ji}=\frac{1}{1+\beta }!$

Megoldás:

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=A\left( -\frac{k}{\beta }\right) \left(
 a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta
 }\right) ^{-\frac{k}{\beta }-1}a_{i}(-\beta )x_{i}^{-\beta -1}$

    $\displaystyle h_{ji}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial
 x_{j}}}=\frac{A\left( -\frac{k}{\beta }\right) \left( a_{1}x_{1}^{-\beta
 }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta 
 }-1}a_{i}(-\beta )x_{i}^{-\beta -1}}{A\left( -\frac{k}{\beta }\right) \left(
 a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta
 }\right) ^{-\frac{k}{\beta }-1}a_{j}(-\beta )x_{j}^{-\beta -1}}=\frac{a_{i}}{a_{j}}\left( \frac{x_{i}}{x_{j}}\right) ^{-\beta -1}$

Ez az eredmény várható volt, mivel a homogén függvény 3. tulajdonsága szerint a parciális deriváltak arányai csak a tényezők arányaitól függenek. A tényezőarányokra korábban bevezettük az $ s_{ji}=\frac{x_{j}}{x_{i}}$ jelölést, így a fenti képlet az alábbiak szerint is írható:

    $\displaystyle h_{ji}=\frac{a_{i}}{a_{j}}\left( s_{ji}\right) ^{1+\beta }\ \ \
 \Longrightarrow \ \ \ s_{ji}=\left( \frac{a_{j}}{a_{i}}\right) ^{\frac{1}{1+\beta }}h_{ji}^{\frac{1}{1+\beta }}$

Ismert, hogy a $ \sigma $ görbületet az $ s=g(h)$ függvény rugalmassági mutatójaként definiáltuk, ez a függvény pedig esetünkben egy hatványfüggvény, amelynek rugalmassága a kitevő, így $ \sigma _{ji}=\frac{1}{1+\beta }$ . Ez pedig egy állandó, konstans érték.

A $ \beta \ $ tényező különböző értékei más-más helyettesítési, ill. átváltási függvényeket adnak. Az ACMS függvényt azért is neveztük általánosnak, mert sokféle függvényt foglal magába, többek között a fejezet elején ismertetett három speciális függvényt is, mégpedig a következőképpen:

Ha $ \beta \rightarrow 0\ (\sigma =1)$ , akkor a Cobb-Douglas-típusú helyettesítési függvényt kapjuk.

Ha $ \beta \rightarrow +\infty \ (\sigma =0)$ , akkor a Leontief-típusú helyettesítési függvényt kapjuk.

Ha $ \beta =-1$ és $ k=1$ , akkor a lineáris helyettesítési függvényt kapjuk.

Feladat:

Igazolja, hogy az ACMS függvény $ \beta =-1$ és $ k=1$ esetén lineáris helyettesítési függvény!

Példa:

Igazoljuk, hogy az ACMS függvény $ \beta \rightarrow 0$ esetén Cobb-Douglas-típusú helyettesítési függvény!

Megoldás:

    $\displaystyle \underset{\beta \rightarrow 0}{\lim }A\underset{=q}{\underbrace{\left(
 a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta
 }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}}}=A(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{\infty
 }=A(1^{\infty })$

A határérték határozatlan alak. Az egyszerűbb számolás végett az $ \ln q$ határértékét számítsuk ki, alkalmazva a Bernoulli-L'Hospital szabályt:

    $\displaystyle \underset{\beta \rightarrow 0}{\lim }(\ln q)$ $\displaystyle =\underset{\beta \rightarrow 0}{\lim }(-\frac{k}{\beta })\ln (\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta }}})=\left( \frac{0}{0}\right) =$
      $\displaystyle =\underset{\beta \rightarrow 0}{\lim }(-k)\frac{\frac{-a_{1}x_{1}^{-\beta
 }\ln x_{1}-a_{2}x_{2}^{-\beta }\ln x_{2}-\ldots -a_{n}x_{n}^{-\beta }\ln
 x_{n}}{a_{1}x_{1}^{-\beta }+a_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +a_{n}x_{n}^{-\beta }}}{1}=\ln x_{1}^{ka_{1}}+\ln x_{2}^{ka_{2}}+\ldots +\ln x_{n}^{ka_{n}}=$
      $\displaystyle =\ln \prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{ka_{i}}$

Ez a határérték az $ \ln q$ mennyiség határértéke, ebből az $ y=Aq$ határértékre az $ \ln q=\ln \frac{y}{A}$ összefüggésből az $ y=A\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{ka_{i}}$ adódik, azaz a (7.1) Cobb-Douglas-típusú helyettesítési függvényt (7.1) kaptuk. A kitevők összege $ \sum ka_{i}=k\underset{=1}{\underbrace{\sum a_{i}}}\ =k$ , tehát a kitevők összege valóban a homogenitás fokát adja.

Példa:

Igazoljuk, hogy az ACMS függvény $ \beta \rightarrow +\infty $ esetén Leontief-típusú helyettesítési függvény!

Megoldás:

Tegyük fel, hogy $ x_{1}<x_{i}$ minden $ i\neq 1$ indexre, azaz $ x_{1}$ a legkisebb. Írjuk át az ACMS függvényt az alábbi alakra:

    $\displaystyle y$ $\displaystyle =A\left[ x_{1}^{-\beta }\left( a_{1}+a_{2}\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) ^{-\beta }+\ldots +a_{n}\left( \frac{x_{n}}{x_{1}}\right) ^{-\beta
 }\right) \right] ^{-\frac{k}{\beta }}=$
      $\displaystyle =Ax_{1}^{k}\left( a_{1}+a_{2}\left( \frac{x_{2}}{x_{1}}\right) ^{-\beta
 }+\ldots +a_{n}\left( \frac{x_{n}}{x_{1}}\right) ^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}$

Most képezve a $ \beta \rightarrow +\infty $ határértéket, tudva, hogy $ \frac{x_{i}}{x_{1}}>0$ minden $ i\neq 1$ indexre, emiatt $ \left( \frac{x_{i}}{x_{1}}\right) ^{-\beta }\rightarrow 0$ , kapjuk, hogy

    $\displaystyle \underset{\beta \rightarrow 0}{\lim }Ax_{1}^{k}(\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{a_{1}^{-\frac{k}{\beta }}}})=Ax_{1}^{k}$

Ha például az $ x_{j}$ a legkisebb, akkor a határérték $ Ax_{j}^{k}$ . Összefoglalásképpen megállapítható, hogy a $ \beta \rightarrow +\infty $ határesetben

    $\displaystyle y=A\min \left\{ x_{1}^{k},x_{2}^{k},\ldots ,x_{n}^{k}\right\} ,$

azaz a (7.3) Leontief-típusú helyettesítési függvény adódik.

Feladat:

Igazolja, hogy az ACMS függvény $ \beta \rightarrow -\infty $ esetén $ y=A\max
\left\{ x_{1}^{k},x_{2}^{k},\ldots ,x_{n}^{k}\right\} $ alakú!

7.5. Helyettesítési, ill. átváltási görbék általános vizsgálata

Az előzőekből ismeretes, hogy

$ \beta >-1$ $ (\sigma >0)$ esetben helyettesítésről van szó, a függvény aggregáló (termelési vagy hasznossági függvény).

$ \beta <-1$ $ (\sigma <0)$ esetben átváltásról van szó, a függvény dezaggregáló.

A $ \beta \ $ paraméter és a $ \sigma $ közvetlen helyettesítési, ill. átváltási rugalmasság között a $ \sigma =\frac{1}{1+\beta }$ , ill. a $ \beta =\frac{1}{\sigma }-1=\frac{1-\sigma }{\sigma }$ kapcsolat van. Ezt mutatja a következő ábra:

Image beta_szigma

Mindkét ábrában a görbék asszimptotája a $ \beta \ $ tengely, ill. a $ \beta =-1$ egyenes.

A következőkben a helyettesítési, ill. az átváltási viszonyokat vizsgáljuk meg, megmutatjuk a különböző esetekben kapott helyettesítési, ill. átváltási görbék alakját. Legyen adott egy lehetséges $ (\mathbf{x}^{0},y^{0})$ pont. A helyettesítési, ill. átváltási görbe mutatja meg, hogyan változik az $ x_{i},x_{j}$ tényezők értéke, ha a többi $ x$ tényező és az $ y$ értéke az adott szinten marad. Ehhez az

    $\displaystyle y^{0}=A\left( a_{1}\left( x_{1}^{0}\right) ^{-\beta }+\ldots
 +a_{i}x_{i}^{-\beta }+\ldots +a_{j}x_{j}^{-\beta }+\ldots +a_{n}\left(
 x_{n}^{0}\right) ^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}$

implicit alakban kapott függvényt kell vizsgálni. Jelölje a zárójelben lévő megadott mennyiségek összegét $ b$ , ekkor az alábbi, szintén implicit formát kapjuk:

    $\displaystyle \left( \frac{y^{0}}{A}\right) ^{-\frac{\beta }{k}}-b=a_{i}x_{i}^{-\beta
 }+a_{j}x_{j}^{-\beta }\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \left( a_{i}x_{i}^{-\beta
 }+a_{j}x_{j}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}=\left( \left( \frac{y^{0}}{A}\right) ^{-\frac{\beta }{k}}-b\right) ^{-\frac{k}{\beta }}.$

Ezt az egyszerű levezetést annak érzékeltetése miatt tettük, hogy a vizsgálatainkat elegendő két tényező esetére megmutatni. Az itt leírt megállapításokat egyszerűen kiterjeszthetjük a többtényezős esetre. A Cobb-Douglas szerzőpáros által 1928-ban felírt termelési függvény is két termelési tényezőt tartalmazott, az egyik a tőke, a másik a munka volt, képletben: $ Q=f(K,L)$ .

Még egyszerűbb lesz a vizsgálat, ha bevezetjük az $ A\ $ és az $ a_{i}\ $ paraméterek helyett az $ A_{i}=a_{i}A^{-\frac{\beta }{k}}$ paramétereket, ekkor az ACMS függvényre a következő egyszerűbb alakot nyerjük:

(7.5) $\displaystyle y=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}=\left(
 \sum\limits_{i=1}^{n}A_{i}x_{i}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}.$

Az $ A_{i}\ $ paramétert hatékonysági tényezőnek is szokták nevezni. Ilyen módon a későbbiekben a helyettesítési, ill. az átváltási görbéket az

    $\displaystyle y=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}$

implicit alakban adhatjuk meg. Az egyszerűség kedvéért a formuláinkban az $ y^{0}$ helyett egy adott értéket képviselő $ y$ -t fogunk használni, amit a legutolsó képletben is alkalmaztunk. A görbéket az $ (x_{1},x_{2})$ síkon ábrázoljuk.

7.5.1. Helyettesítési görbék részletes vizsgálata

Tökéletes helyettesítés $ (\protect\beta =-1)$

Ebben az esetben a közvetlen helyettesítési rugalmasság $ (\sigma )$ nem értelmezhető $ (\sigma =+\infty )$ . A helyettesítési görbét az

    $\displaystyle y=\left( A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}\right) ^{k}$

implicit függvény írja le, amelyből látható, hogy a helyettesítési görbék egyenesek. Az alábbi ábra mutatja az egyenest a tengelymetszeteivel:
Image beta_1__8

Az is látható, hogy mindegyik termelési tényező önmagában (másik értéke 0 ) is képes az adott termék $ y$ mennyiségének előállítására, ill. egyetlen jószág fogyasztásával is elérhető egy adott $ y$ hasznossági szint. Mivel a termelésben felhasznált termelési tényezők, illetve az elfogyasztott termékek egymást tökéletesen helyettesíteni tudják, ezért ezt az esetet tökéletes helyettesítés esetének szokták nevezni. Itt a függvény aggregáló függvény (termelési, hasznossági). Ha a függvényt dezaggregálónak tekintjük, akkor az is igaz, hogy egyetlen termék termelésére lehet átcsoportosítani az összes termelői kapacitást. Tehát a $ \beta =-1$ eset az aggregáló függvény (termelési, hasznossági) $ (\beta >-1)$ és a dezaggregáló függvény $ (\beta <-1)$ közös esete.

Megjegyezzük, hogy $ k=1$ esetben (elsőfokon homogén függvénynél) a lineáris helyettesítési függvényhez jutunk.

Tökéletlen helyettesítés $ (-1<\protect\beta <0,\ 1<\protect\sigma <+\infty )$

Ebben az esetben a helyettesítési görbét az

    $\displaystyle y=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}$

implicit függvény írja le, amelyből látható, hogy a helyettesítési görbék nem egyenesek, hanem valódi görbék, amelyet az alábbi ábra mutat a tengelyen lévő pontjaival:
Image beta_1_0__9

Ebben az esetben is helyettesíthetők az egyes termelési tényezők, ill. az egyes termékek, de ezt a helyettesítést nem lineáris kapcsolat írja le, ezért nevezzük ezt az esetet tökéletlen helyettesítésnek. Itt is igaz, hogy bármelyik termelési tényezővel egyedül is előállítható az adott $ y$ termékmennyiség, ill. bármelyik termék egyedüli fogyasztásával is elérhető az adott $ y$ hasznosság. Ha például rögzített $ y$ esetén csökkentjük az $ x_{2}$ értékét, akkor az $ x_{1}$ mennyiség növekszik, de a növekedésnek van egy felső korlátja. Ha tehát valamelyik tényező zérus ( $ x_{i}^{-\beta }=0$ , mert $ -\beta >0$ ), akkor egyszerűen kiszámítható, hogy a másik tényezőből mennyire lenne szükség az adott $ y$ eléréséhez. Ezt a mennyiséget abszorpciós kapacitásnak nevezzük, értéke:

(7.6) $\displaystyle x_{i}=A_{i}^{\frac{1}{\beta }}y^{\frac{1}{k}},\ \ i=1,2.$

Könnyen igazolható az is, hogy a helyettesítési görbe a tengelyeken lévő pontokban hozzásimul a koordinátatengelyekhez.

Semleges eset $ (\protect\beta \rightarrow 0,\ \protect\sigma =1)$ , Cobb-Douglas függvény

Igazoltuk, hogy az általános CES-függvénynél, ha $ \beta \rightarrow 0$ , akkor a Cobb-Douglas-féle függvény általános alakjához jutunk. Ebben az esetben a közvetlen helyettesítési rugalmasság értéke $ 1$ . A helyettesítési görbét az

    $\displaystyle y=Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}$

implicit függvény írja le, amelynek képét az alábbi ábra mutatja:
Image beta_0__10

Látható, hogy egyik tényező sem lehet zérus, tehát egyedül egyik tényező sem tudja biztosítani az adott $ y$ mennyiséget, szükség van mindkét tényezőre. A görbék a koordinátatengelyeket érintik. Ezt az esetet a tökéletlen helyettesítés és tökéletlen kiegészítés közötti semleges esetnek vagy határesetnek nevezik.

Tökéletlen kiegészítés $ (0<\protect\beta <+\infty ,\ 0<\protect\sigma <1)$

A görbét az

    $\displaystyle y=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }\right) ^{-\frac{k}{\beta }}$

implicit függvény írja le, amelynek képét az alábbi ábra mutatja az asszimptotákkal együtt:
Image beta_poz__11

Látható, hogy egyik tényező sem lehet zérus, tehát egyedül egyik tényező sem tudja biztosítani az adott $ y$ mennyiséget, szükség van mindkét tényezőre. Ha valamelyik tényező értékét minden határon túl növeljük, például $ x_{1}\rightarrow +\infty $ , akkor az $ x_{1}^{-\beta }$ mennyiség $ \beta >0$ miatt $ \rightarrow 0$ , ami azt jelenti, hogy az $ x_{2}$ tényező mennyisége fokozatosan csökken, de nem zérushoz tart, hanem az $ x_{2}=A_{2}^{\frac{1}{\beta }}y^{\frac{1}{k}}$ értékhez. Általánosan, ha az egyik tényező értékét minden határon túl növeljük, akkor a másik tényező az

(7.7) $\displaystyle x_{i}=A_{i}^{\frac{1}{\beta }}y^{\frac{1}{k}},\ \ i=1,2$

értékhez tart. A görbék ebben az esetben is egyeneseket érintenek, de nem a koordinátatengelyeket, hanem azokkal párhuzamos, a fenti képlet által meghatározott egyeneseket. Ugyanaz a képlet adódott, mint az abszorpciós kapacitásra (7.6). Az abszorpciós kapacitás azt adta meg, hogy egy adott $ y$ szintnél maximálisan mennyi termelési tényezőt lehet felhasználni, ill. maximálisan mennyi jószágot lehet elfogyasztani. Itt ugyanazzal a képlettel számított mennyiség azt adja meg, hogy egy adott $ y$ szint eléréséhez minimálisan mennyi termelési tényezőt kell felhasználni, ill. minimálisan mennyi jószágot kell elfogyasztani. Ha a (7.7) képletből kifejezzük az $ y$ mennyiséget, akkor az

    $\displaystyle y=x_{i}^{k}A_{i}^{-\frac{k}{\beta }}$

képlettel számolt mennyiség az $ y$ kibocsátásnak, ill. hasznosságnak a legnagyobb szintjét adja meg. Hiába növeljük a többi tényező mennyiségét minden határon túl, ennél nagyobb szintet nem lehet elérni. Ezt az esetet tökéletlen kiegészítésnek nevezzük, mert már nem helyettesíthetők teljes mértékben egymással, inkább a kiegészítő (komplementer) viszony dominál.

Tökéletes kiegészítés $ (\protect\beta \rightarrow +\infty ,\
\protect\sigma =0)$

Igazoltuk, hogy az általános CES-függvény esetén, ha $ \beta \rightarrow +\infty $ , akkor a Leontief-féle függvény általános alakjához jutunk. Ebben az esetben a közvetlen helyettesítési rugalmasság értéke 0 . A helyettesítési görbét az

    $\displaystyle y=A\min \left\{ x_{1}^{k},x_{2}^{k}\right\} .$

implicit függvény írja le, amelynek képét az alábbi ábra mutatja:
Image beta_vegt__12

Itt már teljesen megszűnik a tényezők egymással való helyettesíthetősége, a tényezők egymás tökéletes kiegészítőivé válnak.

Összefoglalásképpen egyetlen ábrába felrajzoljuk a $ \beta \geqq -1,\ (\sigma
>0)$ eseteket. Legyen $ A=1$ és $ y=1$ , ekkor az $ x_{1}=x_{2}=1$ esetén $ y=A$ és minden $ \beta \ $ esetén az $ (1,1)$ ponton átmennek az izokvantok.

Image beta_osszes__13

7.5.2. Átváltási görbék részletes vizsgálata

Ekkor az $ f$ függvény dezaggregáló. A $ -\infty <\beta <-1$ és a $ \beta \rightarrow -\infty $ esetekben adódó átváltási görbék felrajzolását és az elemzést az olvasóra bízzuk.

8. Keresletelmélet alapjai

Az előző fejezetekben megismerkedtünk a közgazdaságtanban használatos termelési és hasznossági függvényekkel (aggregáló függvényekkel), megmutattuk ezek tulajdonságait és fontosabb típusait. Ebben a fejezetben pedig ezekkel a függvényekkel végzett optimalizálási feladatokat vizsgáljuk meg. Két leggyakoribb feladattípust ismertetünk, az egyik a költségminimalizálási, a másik a volumenmaximalizálási feladat. Mindkettő központi szerepet játszik a termeléselméletben és a fogyasztáselméletben is.

Az optimalizálási modellekben az aggregáló függvényt a szokásos módon $ f(\mathbf{x})$ szimbólummal jelöljük és feltesszük, hogy a nemnegatív $ \mathbf{x}$ vektorok felett mindenhol értelmezettek, folytonosak, nemnegatívok, a zérusvektor helyén értékük nulla, azaz $ \mathbf{x\in \mathbb{R}}_{\oplus }^{n},\ f(\mathbf{x})\geqq 0,\ \ f(\mathbf{0})=0$ . Sok esetben azt is feltesszük, hogy $ f(\mathbf{x})$ legalább kétszer folytonosan differenciálható, legalább féligszigorúan monoton növekedő és legalább féligszigorúan kvázikonkáv. Gyakori feltevés a szigorúan monoton növekedő tulajdonság is.

Mindegyik modellben az $ \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ keresletnek az optimális értékét keressük. A keresletnek és az aggregáló függvény értékének az elnevezése attól függ, hogy termeléselméletben vagy fogyasztáselméletben fogalmazzuk meg az optimalizálási feladatokat.

Az optimalizálási feladatok elemzésében szükségünk lesz a feltételes optimalizálás érzékenységvizsgálatában szerepet játszó ismeretekre. Ezeket itt a bevezetőben ismertetjük, de részleteiben megtalálhatók a ,,Feltételes optimalizálás'' c. oktatási segédletemben is (www.uni-miskolc.hu/~matente).

Burkolótétel (célfüggvény érzékenységvizsgálata): azt mondja ki, hogy a feltételes optimalizálási feladat célfüggvényének $ (M)$ valamely $ p$ paraméter szerinti deriváltja megegyezik a Lagrange függvény $ p$ paraméter szerinti parciális deriváltjával, képletben:

(8.1) $\displaystyle \frac{dM}{dp}=\frac{\partial L}{\partial p}$

A döntési változók és a Lagrange szorzó érzékenységvizsgálata: azt mondja ki, hogy a döntési változók $ (\mathbf{x})$ és a Lagrange szorzó $ (\lambda )$ valamely $ p$ paraméter szerinti deriváltvektora egyenlő a Lagrange függvény Hesse mátrixa $ (\mathbf{\nabla }^{2}L)$ inverzének $ (-1)$ -szerese szorozva a Lagrange függvény gradiensvektorának $ (\mathbf{\nabla }L) $ $ p$ paraméter szerinti parciális deriváltjával, képletben:

(8.2) $\displaystyle \frac{d}{dp}\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x}(p) \\ 
 \lambda (p)
 \end{array}
 \right] =-\left( \mathbf{\nabla }^{2}L\right) ^{-1}\cdot \frac{\partial }{\partial p}\mathbf{\nabla }L.$

Mindkét formulában a jobboldali mennyiségeket az optimumhelyen vett értékekkel kell figyelembe venni. A $ \mathbf{\nabla }L$ és a $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ számításánál a Lagrange függvény összes változója szerint kell képezni a deriváltakat.

A fejezetben előforduló elemzésekben az optimalizálási feladatok megoldásán kívül azt vizsgáljuk, hogy az optimalizálási modellben az adatok megváltozása milyen módon befolyásolja az optimális megoldást. Ezt az optimalizálásban érzékenységvizsgálatnak nevezzük. A közgazdaságtanban ezeknek az érzékenységi vizsgálatoknak az elnevezése komparatív statika. Itt jegyezzük meg, hogy mindig olyan megváltozásokról fogunk beszélni, amikor csak egyetlen egy adat változik meg, a többi adat változatlan. Ezt ceteris paribus (minden más változatlansága mellett, a többi változatlanul hagyásával) elvnek nevezzük.

8.1. Költségminimalizálási feladat

8.1.1. A költségminimalizálási feladat megfogalmazása

Mielőtt a költségminimum-feladatot matematikai programozási feladatként leírnánk, szavakban megfogalmazzuk a feladatot mind a termelés, mind a fogyasztás oldaláról.

Termeléselméleti oldalról:

Adott az $ f(\mathbf{x})$ termelési függvény, amely megadja a különböző termelési tényező kombinációkhoz tartozó termékmennyiséget. Adottak a termelési tényezők árai és az elérendő termékkibocsátás. Jelölje ezeket rendre a $ \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})$ vektor és az $ u$ szám. A termelési tényezők azon kombinációját keressük, amellyel legalább az adott termékkibocsátást biztosítani tudjuk, úgy, hogy a termelésben igénybevett termelési tényezők költsége minimális.

Fogyasztáselméleti oldalról:

Adott az $ f(\mathbf{x})$ hasznossági függvény, amely megadja a különböző termékkosár elfogyasztásához tartozó hasznossági szintet. Adottak a termékek árai és az elérendő hasznossági szint. Jelölje ezeket rendre a $ \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})$ vektor és az $ u$ szám. Azt a jószágkosarat (termékek azon kombinációit) keressük, amellyel legalább az adott hasznossági szintet biztosítani tudjuk, úgy, hogy az elfogyasztott termékek költsége minimális.

A költségminimalizálásai feladat matematikai megfogalmazása:

Az optimalizálási feladat célfüggvénye a költség, amelyet a $ w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}$ lineáris függvény ír le, vektoros jelöléssel a $ \mathbf{w}$ és az $ \mathbf{x}$ vektor $ \mathbf{wx}$ skaláris szorzata. A feltételek: egyrészt a keresletre vonatkozó nemnegativitás, másrészt az, hogy az előírt $ u$ szintet legalább elérjük. A feladat matematikai alakja:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})$ $\displaystyle \geqq u$
    $\displaystyle \mathbf{x}$ $\displaystyle \geqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle \mathbf{wx}$ $\displaystyle \rightarrow \min !$

Feltesszük, hogy az árvektor és az előírt szint pozitív, azaz $ \mathbf{w}>\mathbf{0}$ és $ u>0$ .

A feladat optimális megoldását jelölje az áraktól és a volumenszinttől függő $ \mathbf{x}(\mathbf{w},u)$ keresleti függvény, ill. $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvény.

A közgazdaságtani terminológia szerint az $ \mathbf{x}(\mathbf{w},u)$ függvényt

        - a termeléselméletben feltételes keresleti függvénynek,

        - a fogyasztáselméletben kompenzált vagy Hicks-féle [John Richard Hicks (1904 - 1989) angol közgazdász, Nobel díj: 1972] keresleti függvénynek,

a $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvényt

        - a termeléselméletben feltételes költségfüggvénynek,

        - a fogyasztáselméletben feltételes kiadásfüggvénynek nevezzük.

8.1.2. Megoldás speciális aggregáló függvényekkel

A) Lineáris aggregáló függvény

A lineáris aggregáló függvény általános alakja:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+\ldots +A_{n}x_{n}.$

Tegyük fel, hogy két jószágunk van, ekkor az optimalizálási feladat az alábbi

    $\displaystyle A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}$ $\displaystyle \geqq u$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$ $\displaystyle \rightarrow \min !$

Az optimális megoldás meghatározását az alábbi ábrán szemléltetjük.
Image Kmin_linearis__14

A megengedett megoldások halmazát a szürke árnyalatú, nem korlátos tartomány mutatja. Ha az AB szakasz párhuzamos a szintvonallal $ (\frac{w_{1}}{A_{1}}=\frac{w_{2}}{A_{2}})$ , akkor az AB szakasz bármely pontja optimális.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ha az AB szakasz nem párhuzamos a szintvonallal, akkor vagy az A pont vagy a B pont adja az optimális megoldást. Az AB szakaszhoz tartozó $ \beta \ $ szög tangense, $ tg\ \beta =\frac{A_{1}}{A_{2}}$ , a célfüggvény szintvonalaihoz tartozó $ \alpha $ szög tangense, $ tg\ \alpha =\frac{w_{1}}{w_{2}}$ .

Ha $ tg\ \alpha >tg\ \beta \ (\frac{w_{1}}{w_{2}}>\frac{A_{1}}{A_{2}})$ , akkor az A pont az optimális, azaz az optimális megoldás: $ x_{1}=0,x_{2}=\frac{u}{A_{2}}$ .

Ha $ tg\ \alpha <tg\ \beta \ (\frac{w_{1}}{w_{2}}<\frac{A_{1}}{A_{2}})$ , akkor a B pont az optimális, azaz az optimális megoldás: $ x_{1}=\frac{u}{A_{1}},x_{2}=0$ .

Ezeket úgy is fogalmazhatjuk, hogy a $ \frac{w_{1}}{A_{1}}$ és a $ \frac{w_{2}}{A_{2}}$ nagysága dönti el a megoldást. A $ \frac{w_{1}}{A_{1}}>\frac{w_{2}}{A_{2}}$ esetén az A, $ \frac{w_{1}}{A_{1}}<\frac{w_{2}}{A_{2}}$ esetén a B az optimális megoldás. A $ k(w_{1},w_{2},u)$ költségfüggvény optimális értéke $ k=w_{1}\frac{u}{A_{1}}$ vagy $ k=w_{2}\frac{u}{A_{2}}$ . A minimum függvény segítségével ezt egyetlen képlettel is felírhatjuk: $ k=u\cdot \min \left\{ \frac{w_{1}}{A_{1}},\frac{w_{2}}{A_{2}}\right\} $ .

A költségfüggvény általános alakja:

    $\displaystyle k(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},u)=k(\mathbf{w},u)=u\cdot \min \left\{ \frac{w_{1}}{A_{1}},\frac{w_{2}}{A_{2}},\ldots ,\frac{w_{n}}{A_{n}}\right\} .$

Tehát arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy lineáris aggregáló függvény esetén a költségfüggvény Leontief típusú.

B) Leontief-típusú aggregáló függvény

A Leontief-típusú aggregáló függvény általános alakja:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=\min \left\{ \frac{x_{1}}{A_{1}},\frac{x_{2}}{A_{2}},\ldots ,\frac{x_{n}}{A_{n}}\right\} .$

Tegyük fel, hogy két jószágunk van, ekkor az optimalizálási feladat az alábbi

    $\displaystyle \min \left\{ \frac{x_{1}}{A_{1}},\frac{x_{2}}{A_{2}}\right\}$ $\displaystyle \geqq u$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$ $\displaystyle \rightarrow \min !$

A megengedett tartományt a $ \min \left\{ \frac{x_{1}}{A_{1}},\frac{x_{2}}{A_{2}}\right\} \geqq u$ egyenlőtlenség határozza meg. Legyen $ z$ a minimumnak az értéke, ekkor írható, hogy $ \frac{x_{1}}{A_{1}}\geqq z\geqq u$ és $ \frac{x_{2}}{A_{2}}\geqq z\geqq u$ , amelyből $ x_{1}\geqq uA_{1}$ és $ x_{2}\geqq uA_{2}$ . Az optimális megoldás meghatározását az alábbi ábrán szemléltetjük. A megengedett megoldások halmaza a szürke árnyalatú, nem korlátos tartomány.
Image Kmin_Leontief__15

Mivel $ \mathbf{w}>\mathbf{0}$ , így a szintvonal nem lehet párhuzamos a tengelyekkel, tehát az optimális megoldást minden $ \mathbf{w}>\mathbf{0}$ árvektor esetén a C pont adja. Az optimális megoldás $ x_{1}=A_{1}u,\
x_{2}=A_{2}u$ . A költségfüggvény optimális értéke $ k=w_{1}A_{1}u+w_{2}A_{2}u$ .

A költségfüggvény általános alakja:

    $\displaystyle k(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},u)=k(\mathbf{w},u)=u\cdot
 (A_{1}w_{1}+A_{2}w_{2}+\ldots +A_{n}w_{n}).$

Most pedig arra az érdekes eredményre jutottunk, hogy Leontief-féle aggregáló függvény esetén a költségfüggvény lineáris.

8.1.3. A költségminimalizálási feladat KKT feltételei

A feladat Lagrange függvénye

    $\displaystyle L(\mathbf{x},\lambda )=\mathbf{wx}+\lambda \left[ u-f(\mathbf{x})\right] .$

A $ \lambda $ mennyiséget Lagrange-szorzónak nevezzük. Ha az $ f(\mathbf{x})$ függvény differenciálható, akkor a Lagrange függvény segítségével könnyen felírhatók az optimalitás szükséges feltételei, amelyet Karush-Kuhn-Tucker (KKT) feltételeknek nevezünk:

    $\displaystyle \mathbf{w}-\lambda \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})$ $\displaystyle \geqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle \left[ \mathbf{w}-\lambda \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})\right] \mathbf{x}$ $\displaystyle =0$
(8.3) $\displaystyle u-f(\mathbf{x})$ $\displaystyle \leqq 0$
    $\displaystyle \left[ u-f(\mathbf{x})\right] \lambda$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle \mathbf{x}$ $\displaystyle \geqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle \lambda$ $\displaystyle \geqq 0$

Az optimalitás szükséges feltételei leegyszerűsödnek, amennyiben az $ f(\mathbf{x})$ függvényről feltesszük, hogy igazán jól viselkedő függvény. A feltevések a következők:

  1. $ f(\mathbf{0})=0$

  2. $ f(\mathbf{x})$ minden változójában szigorúan monoton nő, azaz $ \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})>\mathbf{0}$ , minden $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
$ vektorra

  3. $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ minden $ i$ indexre a $ (0,\infty )$ intervallumban minden értéket felvesz

  4. $ f(\mathbf{x})$ szigorúan kvázikonkáv

Ekkor érvényes az alábbi tétel.

TÉTEL:

Ha az $ f(\mathbf{x})$ függvény igazán jól viselkedő függvény, akkor a KKT feladat megoldása egyértelmű és határozottan pozitív, azaz $ \mathbf{x}>\mathbf{0},\lambda >0$ . Továbbá igaz, hogy az optimális megoldást a

(8.4) $\displaystyle \mathbf{w}$ $\displaystyle =\lambda \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})$
(8.5) $\displaystyle u$ $\displaystyle =f(\mathbf{x})$

egyenletrendszer megoldása szolgáltatja, azaz a KKT feladat leegyszerűsödik a fenti egyenletrendszerre. A szigorú kvázikonkávitás biztosítja, hogy ezek a szükséges feltételek egyben elégségesek is.

8.1.4. A Lagrange-szorzó közgazdaságtani értelmezése

Tegyük fel, hogy a $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvény differenciálható az $ u$ paraméter szerint, ekkor a burkolótétel (8.1) alapján írható, hogy

    $\displaystyle \frac{\partial k(\mathbf{w},u)}{\partial u}=\frac{\partial L}{\partial u}=\frac{\partial \left( \mathbf{wx}+\lambda \left[ u-f(\mathbf{x})\right]
 \right) }{\partial u}=\lambda ,$

azaz

(8.6) $\displaystyle \frac{\partial k(\mathbf{w},u)}{\partial u}=\lambda .$

Tehát a $ \lambda $ Lagrange-szorzó az $ u$ korlátnak a minimális költségre gyakorolt differenciális hatását mutatja. Emiatt a Lagrange-szorzót határköltségnek nevezzük.

A $ \lambda $ pozitivitása miatt a $ k(\mathbf{w},u)$ feltételes költségfüggvény, ill. kiadásfüggvény az $ u$ korlát-paraméterben szigorúan monoton növekedő. Tehát a korlátváltozás és a költségváltozás iránya azonos.

Ha a $ \Delta u$ korlátváltozás elegendően kicsi, akkor a $ \Delta k$ költségváltozás megközelítően $ \Delta k\approx \lambda \cdot \Delta u$ . Tehát termeléselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az előírt termékvolumen-korlátot, akkor a minimális költség megváltozása megközelítően arányos a volumenkorlát változással. Fogyasztáselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az előírt hasznossági szintet, akkor a minimális kiadás megváltozása megközelítően arányos a hasznossági szint változással. Az arányossági tényező a $ \lambda $ Lagrange-szorzó.

A $ \lambda $ reciproka is értelmezhető, termelésnél a termelési tényezők beszerzésére fordított pénz határterméke, fogyasztásnál pedig a jószágkosárra fordított pénz határhaszna.

8.1.5. Shephard lemma

Tegyük fel, hogy a $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvény differenciálható az árak, mint paraméterek szerint. Ekkor, a bevezetőben ismertetett burkolótétel (8.1) alapján írható, hogy

    $\displaystyle \frac{\partial k(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}=\frac{\partial L}{\partial
 w_{i}}=\frac{\partial \left( \mathbf{wx}+\lambda \left[ u-f(\mathbf{x})\right] \right) }{\partial w_{i}}=x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ $   minden $\displaystyle i$ indexre,

azaz

(8.7) $\displaystyle \frac{\partial k(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}=x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ $   minden $\displaystyle i$ indexre.

Ezt az összefüggést a közgazdaságtanban Shephard lemmának [Ronald William Shephard (1912 -1982) amerikai közgazdász] nevezzük, amely azt mondja ki, hogy a $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvény árak szerint vett parciális deriváltjai megegyeznek a javak keresleteivel.

Mivel $ x_{i}>0$ , így a $ k(\mathbf{w},u)$ feltételes költség-, ill. kiadásfüggvény az árakban szigorúan monoton növekvő. Tehát a költségváltozás és az árváltozás iránya azonos.

Ha a $ \Delta w_{i}$ árváltozás elegendően kicsi, akkor a $ \Delta k$ költségváltozás megközelítően $ \Delta k\approx x_{i}\cdot \Delta w_{i}$ . Tehát termeléselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az egyes termelési tényezők árait, akkor a költségváltozás megközelítően arányos az adott termelési tényező keresletével. Fogyasztáselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az egyes termékek árait, akkor a kiadásváltozás megközelítően arányos a termék keresletével.

A Shephard lemma szerint a $ k(\mathbf{w},u)$ függvény az árakban szigorúan monoton növekvő. Most (szintén a Shephard lemma segítségével) azt mutatjuk meg, hogy a $ k(\mathbf{w},u)$ függvény az árakban konkáv függvény. Tudjuk, hogy a konkáv függvényre differenciálhatóság esetén igaz, hogy egy adott pontban vett elsőrendű Taylor polinomjának függvényértéke minden pontban nagyobb vagy egyenlő, mint a függvényérték (egyváltozós esetben ez azt jelenti, hogy a görbe az érintője alatt halad). Legyen az adott pont az optimalizálási feladatban szereplő $ \mathbf{w}$ , $ u$ adatokhoz tartozó $ \left[ \mathbf{w},u\right] $ vektor, a tetszőleges pontot pedig jelölje a $ \left( \mathbf{\bar{w}},u\right) $ vektor, ekkor a $ k(\mathbf{w},u)$ függvény konkávitása szerint

(8.8) $\displaystyle k(\mathbf{\bar{w}},u)\leqq k(\mathbf{w},u)+\mathbf{\nabla }k(\mathbf{w},u)\cdot \left( \left[ \mathbf{\bar{w}},u\right] -\left[ \mathbf{w},u\right]
 \right) .$

Legyen $ \mathbf{x}$ vektor a $ \mathbf{w}$ árakhoz tartozó optimális keresletvektor. A $ \mathbf{\nabla }k(\mathbf{w},u)$ vektor első $ n$ eleme a Shephard lemmában lévő baloldali parciális deriváltakat tartalmazza, a Shephard lemma (8.7) szerint ezek az $ x_{i}$ optimális keresletekkel egyenlőek. A $ \mathbf{\nabla }k(\mathbf{w},u)$ vektor utolsó eleme $ \frac{\partial k}{\partial u}$ . A $ \left[ \mathbf{\bar{w}},u\right] -\left[ \mathbf{w},u\right] $ vektor pedig $ (\bar{w}_{1}-w_{1},\ldots ,\bar{w}_{n}-w_{n},0)$ , így a (8.8) konkavitási összefüggésben a skaláris szorzás eredménye $ \mathbf{\bar{w}x}-\mathbf{wx}$ . Ha figyelembe vesszük, hogy $ k(\mathbf{w},u)=\mathbf{wx}$ , akkor a (8.8) konkavitási összefüggésből a következő egyszerű összefüggést kapjuk:

    $\displaystyle k(\mathbf{\bar{w}},u)\leqq \mathbf{\bar{w}x}.$

A jobboldalon egy tetszőleges $ \mathbf{\bar{w}}$ vektorhoz tartozó költség van, a baloldalon pedig ugyanehhez a $ \mathbf{\bar{w}}$ vektorhoz tartozó minimális költség szerepel. Ez pedig a minimum definíciójából következőleg biztosan igaz, tehát a $ k(\mathbf{w},u)$ minimális költségfüggvény valóban konkáv függvény.

Ismert tény, hogy ha egy függvény konkáv, akkor a Hesse mátrixa szükségképpen negatív szemidefinit. Ezt alkalmazva a konkáv $ k(\mathbf{w},u)$ költségfüggvényre, ekkor az alábbi $ \mathbf{S}$ mátrix negatív szemidefinit

    $\displaystyle \mathbf{S}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{1}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{1}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{1}\partial w_{n}} \\ 
 \frac{\partial k}{\partial w_{2}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{2}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{2}\partial w_{n}} \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{n}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{n}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{n}\partial w_{n}}\end{array}
 \right] .$

A fenti $ \mathbf{S}$ mátrixot Szluckij-féle helyettesítési mátrixnak [Jevgenyij Szluckij (1880 - 1948) orosz közgazdász] nevezzük. A Shephard lemma (8.7) alapján az $ \mathbf{S}$ mátrix elemei a Hicks-féle keresleti függvény parciális deriváltjai, tehát igaz az alábbi mátrixegyenlőség:

(8.9) $\displaystyle \mathbf{S}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{1}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{1}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{1}\partial w_{n}} \\ 
 \frac{\partial k}{\partial w_{2}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{2}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{2}\partial w_{n}} \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{n}\partial w_{1}} & \frac{\partial ^{2}k}{\partial w_{n}\partial w_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}k}{\partial
 w_{n}\partial w_{n}}\end{array}\right] =\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{2}}
 & \ldots & \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{n}} \\ 
 \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{2}}
 & \ldots & \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{n}} \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
 \frac{\partial x_{n}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial w_{2}}
 & \ldots & \frac{\partial x_{n}}{\partial w_{n}}\end{array}\right]$

Az $ \mathbf{S}$ mátrix egyrészt szimmetrikus (mivel Hesse mátrix), másrészt a negatív szemidefinitsége miatt a főátlójában nem lehetnek pozitív elemek. A (8.9) mátrixegyenlőség miatt a Hicks-féle keresleti függvény parciális deriváltjaira is igazak ezek az állítások. Ezekre a későbbiekben visszatérünk.

8.1.6. Parciális és teljes volumenrugalmasság

Induljunk ki az egyszerűsített KKT feladat (8.4) egyenlőségének koordinátás alakjából.

    $\displaystyle w_{i}=\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n.$

Szorozzuk be mindkét oldalt az $ x_{i}$ optimális kereslettel. A KKT feladat (8.5) egyenlősége szerint az $ u$ volumenkorlát megegyezik az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimális megoldásbeli értékével. Osszuk el ezzel a közös értékkel az egyenletet, a baloldalt $ u$ -val, a jobboldalt $ f$ -el, ekkor egy kis rendezés után az alábbi összefüggést kapjuk

    $\displaystyle \frac{w_{i}x_{i}}{u}=\lambda \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n.$

A jobboldal második tényezője nem más, mint az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimumpontbeli parciális volumenrugalmassága $ (\varepsilon _{i})$ , így a képlet

(8.10) $\displaystyle \frac{w_{i}x_{i}}{u}=\lambda \varepsilon _{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n$

alakra egyszerűsödik. Szummázzuk mindkét oldalt, felhasználva, hogy $ \sum $ $ w_{i}x_{i}=k(\mathbf{w},u)$ és azt, hogy a parciális volumenrugalmasságok összege az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimumpontbeli teljes volumenrugalmasságát $ (\varepsilon )$ adja, kapjuk, hogy

(8.11) $\displaystyle \frac{k(\mathbf{w},u)}{u}=\lambda \varepsilon .$

Osszuk el a (8.10) egyenleteket a (8.11) egyenlettel, az alábbi eredmény adódik

(8.12) $\displaystyle \frac{w_{i}x_{i}}{k(\mathbf{w},u)}=\frac{\varepsilon _{i}}{\varepsilon }\ \
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$

A baloldal nem más, mint az $ i$ -edik jószág optimális megoldásbeli költségrészesedési aránya $ (s_{i})$ . A (8.12) egyenlőség azt fejezi ki, hogy optimális esetben a költségrészesedési arány megegyezik a parciális és a teljes volumenrugalmasság arányával.

Még egy hasonló összefüggésre is rámutatunk. A (8.10) egyenletben szereplő $ x_{i}$ helyébe írjuk be a Shephard lemma (8.7) képletének baloldalát és osszuk el a módosított (8.10) egyenletet a (8.11) egyenletettel, akkor rendezés után az alábbi adódik

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial k(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}}{\frac{k(\mathbf{w},u)}{w_{i}}}=\frac{\varepsilon _{i}}{\varepsilon }=s_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 \ \ i=1,\ldots ,n.$

Eszerint a költségfüggvény árak szerinti parciális rugalmasságai megegyeznek az optimális költségrészesedési arányokkal.

8.1.7. Helyettesítési határráta

A $ \mathbf{w}=\lambda \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})$ egyszerű KKT feltételből (8.4) az olvasható ki, hogy minden $ i$ indexre $ w_{i}=\lambda
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ . Osszuk el két különböző index esetén ezeket, akkor azt kapjuk, hogy

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}.$

Ebből az összefüggésből az olvasható ki, hogy belsőponti $ (\mathbf{x}>\mathbf{0})$ optimális megoldásban

- termelés esetén a határtermékek úgy aránylanak egymáshoz, mint a termelési tényezők árai, ill.

- fogyasztás esetén a határhasznok úgy aránylanak egymáshoz, mint a termékek árai.

A korábban megismert $ h_{ji}$ helyettesítési határrátát (5.1) a határtemékek és a határhasznok hányadosaként definiáltuk, így az optimális esetben a $ h_{ji}$ helyettesítési határráta a $ \frac{w_{i}}{w_{j}}$ árarányokkal azonos.

8.1.8. Megoldás grafikusan

Kétváltozós esetben az optimális megoldást grafikusan is meghatározhatjuk. Ekkor az optimalizálási feladat:

    $\displaystyle f(x_{1},x_{2})$ $\displaystyle \geqq u$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$ $\displaystyle \rightarrow \min !$

Az alábbi ábrából leolvashatjuk a megoldás menetét.
Image Kmin_altalanos__16

A megengedett megoldások halmaza a szürke, nem korlátos tartomány. Az $ f(x_{1},x_{2})=u$ görbe a függvény szigorú kvázikonkávitása miatt konvex és a szürke tartományrészben mindenhol nagyobb a függvény értéke $ u$ -nál. A $ \mathbf{wx}$ célfüggvény lineáris, így a szintvonalai (azonos költséget adó pontjai) egyenesek, a nyíl irányába csökken a célfüggvény értéke. Az optimális megoldás a megengedett tartománynak abban a pontjában van, ahol valamelyik szintvonal érinti a megengedett tartomány határát.

8.1.9. Megoldás igazán jól viselkedő aggregáló függvényekkel

A) Cobb-Douglas-féle aggregáló függvény

A Cobb-Douglas-féle aggregáló függvény általános alakja (7.1):

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.$

Az egyszerűsített KKT feladat (8.4-8.5):

    $\displaystyle w_{i}$ $\displaystyle =\lambda \cdot A\frac{a_{i}}{x_{i}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots
 x_{n}^{a_{n}}\ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
    $\displaystyle u$ $\displaystyle =Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}$

Ezt az $ n+1$ egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani az $ x_{i}\
(i=1,\ldots ,n)$ és a$ \lambda $ ismeretlenekre. A keresleti függvény, a Lagrange-szorzó és a költségfüggvény $ \mathbf{w},u$ paraméterektől függő optimális értékei az alábbiak:

    $\displaystyle x_{i}(\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =\left( \frac{u}{A}\right) ^{\frac{1}{a}}\frac{a_{i}}{w_{i}}\prod\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{w_{j}}{a_{j}}\right) ^{\frac{a_{j}}{a}}\ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
(8.13) $\displaystyle \lambda (\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =\frac{u^{\frac{1}{a}-1}}{A^{\frac{1}{a}}}\prod\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{w_{j}}{a_{j}}\right) ^{\frac{a_{j}}{a}}$
    $\displaystyle k(\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =a\left( \frac{u}{A}\right) ^{\frac{1}{a}}\prod\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{w_{j}}{a_{j}}\right) ^{\frac{a_{j}}{a}}$

ahol $ a$ az $ f(\mathbf{x})$ függvényben szereplő kitevők összege $ (a=\sum
a_{j})$ , azaz a Cobb-Douglas-féle függvény homogenitásának a foka.

B) Általános CES aggregáló függvény

Mivel a $ k$ jelölést az optimalizálásban költségre használtuk, ezért az aggregáló függvény homogenitási fokát a $ k$ helyett a $ \kappa $ szimbólummal jelöljük. A CES aggregáló függvény általános alakja (7.5):

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{\kappa }{\beta }}.$

Az egyszerűsített KKT feladat (8.4-8.5):

    $\displaystyle w_{i}$ $\displaystyle =\lambda \cdot \kappa A_{i}\frac{\left( A_{1}x_{1}^{-\beta
 }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{\kappa }{\beta }-1}}{x_{i}^{1+\beta }}\ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
    $\displaystyle u$ $\displaystyle =\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{\kappa }{\beta }}$

Ezt az $ n+1$ egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani az $ x_{i}\
(i=1,\ldots ,n)$ és a$ \lambda $ ismeretlenekre. A keresleti függvény, a Lagrange-szorzó és a költségfüggvény $ \mathbf{w},u$ paraméterektől függő optimális értékei az alábbiak:

    $\displaystyle x_{i}(\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =u^{\frac{1}{\kappa }}\left( \frac{\sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma }}{A_{i}^{\sigma
 -1}w_{i}^{1-\sigma }}\right) ^{\frac{\sigma }{1-\sigma }}\ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n$
(8.14) $\displaystyle \lambda (\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =\frac{1}{\kappa }u^{\frac{1}{\kappa }-1}\left(
 \sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma }\right) ^{\frac{1}{1-\sigma }}$
    $\displaystyle k(\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =u^{\frac{1}{\kappa }}\left(
 \sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma }\right) ^{\frac{1}{1-\sigma }}$

ahol $ \sigma =\frac{1}{1+\beta }$ .

8.1.10. Érzékenységvizsgálat

Arra keressük a választ, hogy a költségminimalizálási probléma paramétereinek $ (w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},u)$ megváltozása milyen módon befolyásolja az optimális megoldást.

Ennek megválaszolására a Keresletelmélet alapjai c. fejezet bevezetőjében ismertetett összefüggést (8.2) fogjuk alkalmazni. Szükségünk van a Lagrange függvény gradiensvektorára $ (\mathbf{\nabla }L) $ és Hesse mátrixára $ (\mathbf{\nabla }^{2}L)$ . Ezeket az alábbiak szerint határozzuk meg.

A költségminimalizálási probléma Lagrange függvénye: $ L(\mathbf{x},\lambda )=\mathbf{wx}+\lambda \left[ u-f(\mathbf{x})\right] $ .

A $ \mathbf{\nabla }L$ vektor számítása:

    $\displaystyle \mathbf{\nabla }L=\left[ 
 \begin{array}{c}
 \frac{\partial L}{\partial x_{1}} \\ 
 \frac{\partial L}{\partial x_{2}} \\ 
 \vdots \\ 
 \frac{\partial L}{\partial x_{n}} \\ 
 \frac{\partial L}{\partial \lambda }\end{array}\right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 w_{1}-\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \\ 
 w_{2}-\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \\ 
 \vdots \\ 
 w_{n}-\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \\ 
 u-f(\mathbf{x})\end{array}\right] .$

A $ \mathbf{\nabla }L$ vektor deriváltjai rendre a $ w_{1},w_{2},\ldots
,w_{n},u$ paraméterek szerint:

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{c}
 1 \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 1 \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ldots \ldots ,\left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 1 \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 1
 \end{array}
 \right] ,$

amelyek blokkosított formában az egységvektorokkal leírva az alábbiak

(8.15) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{e}_{1} \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{e}_{2} \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ldots ,\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{e}_{n} \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{0} \\ 
 1
 \end{array}
 \right] .$

A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ mátrix számítása: Egyszerűen elvégezhető, a $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ mátrix $ i$ -edik sorában a $ \mathbf{\nabla }L$ vektor $ i$ -edik elemének a gradiense szerepel.

(8.16) $\displaystyle \mathbf{\nabla }^{2}L=\left[ 
 \begin{array}{ccccc}
 -\lambda \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}} & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \ldots & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}} & -\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \\ 
 -\lambda \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{2}} & \ldots & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}} & -\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
 -\lambda \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \ldots & -\lambda 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{n}} & -\frac{\partial f}{\partial x_{n}} \\ 
 -\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & -\frac{\partial f}{\partial x_{2}} & 
 \ldots & -\frac{\partial f}{\partial x_{n}} & 0\end{array}\right] .$

A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ Hesse mátrix utolsó oszlopában és alsó sorában az első $ n$ helyen az aggregáló függvény gradiens vektorának $ (-1)$ -szerese $ (-\mathbf{\nabla }f)$ szerepel, a bal felső részében az első $ n$ sorban és oszlopban pedig az aggregáló függvény Hesse mátrixának $ (-\lambda )$ -szorosa szerepel. Ezt jelölhetjük $ \mathbf{\nabla }^{2}f$ vagy $ \mathbf{H}_{f}$ szimbólummal. A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ mátrix tehát felírható az alábbi blokkosított formában

    $\displaystyle -\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0
 \end{array}
 \right] .$

Ezek figyelembevételével a költségminimalizálási feladat érzékenységvizsgálata a bevezetőben említett (8.2) formula alapján az alábbi összefüggéssel írható le.

    $\displaystyle \frac{d}{dw_{i}}\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x} \\ 
 \lambda
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =-\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0
 \end{array}
 \right] ^{-1}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{e}_{i} \\ 
 0
 \end{array}
 \right] \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
    $\displaystyle \frac{d}{du}\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x} \\ 
 \lambda
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =-\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0
 \end{array}
 \right] ^{-1}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{0} \\ 
 1
 \end{array}
 \right] .$

Az egyszerűbb jelölés miatt vezessük be az $ \genfrac{[}{]}{0pt}{0}{\mathbf{x}}{\lambda}$ különböző deriváltjaira a $ \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime }=\left[
\frac{\partial x_{i}}{\partial w_{j}}\right] $ mátrixot, az $ \mathbf{x}_{u}^{\prime }=\left[ \frac{\partial x_{i}}{\partial u}\right] ,$ $ \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime }=\left[ \frac{\partial \lambda }{\partial w_{j}}\right]
$ vektorokat és a $ \lambda _{u}^{\prime }=\left[ \frac{\partial \lambda }{\partial u}\right] $ skalárt. Ekkor egyetlen mátrixban felírhatjuk az érzékenységvizsgálati képletben szereplő $ \genfrac{[}{]}{0pt}{0}{\mathbf{x}}{\lambda}$ vektor összes paraméter szerinti deriváltját, ez a mátrix az alábbi blokkosított mátrix lesz

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime } & \mathbf{x}_{u}^{\prime } \\ 
 \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \lambda _{u}^{\prime }\end{array}\right] .$

Tehát ezen mátrix első $ n$ oszlopában az $ \genfrac{[}{]}{0pt}{0}{\mathbf{x}}{\lambda}$ vektornak a $ w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}$ szerinti deriváltjai, az utolsó oszlopában pedig az $ u$ szerinti deriváltjai szerepelnek.

Hasonlóan egyetlen mátrixba foglaljuk az érzékenységvizsgálati képletben szereplő $ \mathbf{\nabla }L$ vektor összes paraméter szerinti deriváltját (8.15), ez a mátrix pedig az $ (n+1)$ -ed rendű egységmátrix $ (\mathbf{E}_{n+1})$ lesz. Ezek figyelembevételével a költségminimalizálási feladat érzékenységvizsgálata az alábbi összefüggéssel írható le.

(8.17) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime } & \mathbf{x}_{u}^{\prime } \\ 
 \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \lambda _{u}^{\prime }\end{array}\right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0\end{array}\right] ^{-1}\cdot \underset{=\ \mathbf{E}_{n+1}}{\underbrace{\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{0}^{T} & 1\end{array}
 \right] }}=\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0
 \end{array}
 \right] ^{-1}.$

8.1.11. Példamegoldás. Feladat

Példa:

Legyen két termelési tényező, amelyek egységára rendre $ 3,4$ pénzegység. Legyen adott továbbá az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ termelési függvény, amely a termelési tényezőkkel előállítható termékmennyiséget fejezi ki a termelési tényezők mennyiségének függvényében. Határozzuk meg a termelési tényezők azon optimális mennyiségét, amellyel a legkevesebb költséggel legalább $ 8$ termékmennyiség állítható elő!

Legyen két termék, amelyek egységára rendre $ 3,4$ pénzegység. Legyen adott továbbá az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ hasznossági függvény, amely a termékek mennyiségének függvényében azt fejezi ki, hogy a termékek elfogyasztása mekkora szükségletet elégít ki. Határozzuk meg azt az optimális jószágkosarat, amelyet a legkevesebb költséggel vásárolhatunk meg, úgy, hogy a jószágkosár hasznossága legalább $ 8$ egység legyen!

Végezzünk érzékenységvizsgálatot és értelmezzük a kapott eredményeket!

Megoldás:

Mindkét feladatot ugyanaz az optimalizálási modell írja le csak a terminológiában van eltérés. Az alapadatok: $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2},\
w_{1}=3,\ w_{2}=4,\ u=8$ .

A matematikai modell:

    $\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ $\displaystyle \geqq 8$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle 3x_{1}+4x_{2}$ $\displaystyle \rightarrow \min !$

A Lagrange függvény:

(8.18) $\displaystyle L(x_{1},x_{2},\lambda )=3x_{1}+4x_{2}+\lambda (8-x_{1}^{3}x_{2}^{2})$

A számításokhoz szükséges lesz az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ függvény gradiensére és a Hesse mátrixára, ezek a következők:

(8.19) $\displaystyle \mathbf{\nabla }f=\left[ 
 \begin{array}{c}
 3x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ 
 2x_{1}^{3}x_{2}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{H}_{f}=\mathbf{\nabla }^{2}f=\left[ 
 \begin{array}{cc}
 6x_{1}x_{2}^{2} & 6x_{1}^{2}x_{2} \\ 
 6x_{1}^{2}x_{2} & 2x_{1}^{3}
 \end{array}
 \right] .$

A KKT feladat (8.3):

    $\displaystyle 3-\lambda 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle 4-\lambda 2x_{1}^{3}x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle \left( 3-\lambda 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}\right) x_{1}$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle \left( 4-2x_{1}^{3}x_{2}\right) x_{2}$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle 8-x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ $\displaystyle \leqq 0$
    $\displaystyle \left( 8-x_{1}^{3}x_{2}^{2}\right) \lambda$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle x_{1},x_{2},\lambda$ $\displaystyle \geqq 0$

Mivel az $ f(x_{1},x_{2})$ függvény Cobb-Douglas típusú, így igazán jól viselkedő függvényről van szó, tehát az optimalizálási feladat megoldását az egyszerűsített KKT feladat (8.4-8.5) megoldása adja:

    $\displaystyle 3$ $\displaystyle =\lambda 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
    $\displaystyle 4$ $\displaystyle =\lambda 2x_{1}^{3}x_{2}$
    $\displaystyle 8$ $\displaystyle =x_{1}^{3}x_{2}^{2}$

Vagy megoldjuk a fenti egyenletrendszert, vagy egyszerűen behelyettesítünk a korábban általánosan felírt (8.13) megoldásfüggvényekbe: $ A=1,a_{1}=3,a_{2}=2,a=5.$

Az optimális megoldás: $ x_{1}=2,x_{2}=1,\lambda =0.25,k_{\min }=10.$

Most elvégezzük az érzékenységvizsgálatot, amely a keresletnek és a Lagrange szorzónak a differenciális változásait mutatja a $ w_{1},w_{2},u$ paraméterek elemi megváltozása esetén. A (8.17) összefüggés adja meg a szükséges deriváltakat:

(8.20) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{2}}
 & \frac{\partial x_{1}}{\partial u} \\ 
 \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{2}}
 & \frac{\partial x_{2}}{\partial u} \\ 
 \frac{\partial \lambda }{\partial w_{1}} & \frac{\partial \lambda }{\partial
 w_{2}} & \frac{\partial \lambda }{\partial u}\end{array}\right] =\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 3 & 6 & 12 \\ 
 6 & 4 & 16 \\ 
 12 & 16 & 0\end{array}
 \right] ^{-1}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 -\frac{4}{15} & \frac{1}{5} & \frac{1}{20} \\ 
 \frac{1}{5} & -\frac{3}{20} & \frac{1}{40} \\ 
 \frac{1}{20} & \frac{1}{40} & -\frac{1}{40}\end{array}
 \right]$

Az alábbiakban néhány érzékenységvizsgálati eredményt értelmezünk fogyasztás oldali terminológiával:

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=-\frac{4}{15}$ jelentése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor az első termék keresletének optimális értéke $ 2$ -ről megközelítőleg $ 2-\frac{4}{15}\Delta w_{1}$ értékre változik. Az ár- és a keresletváltozás ellentétes hatású.

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{2}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=\frac{1}{5}$ jelentése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor a második termék keresletének optimális értéke $ 1$ -ről megközelítőleg $ 1+\frac{1}{5}\Delta w_{1}$ értékre változik. Az ár- és a keresletváltozás azonos hatású.

A (8.20) mátrix szimmetrikus, a bal felső $ 2\times 2$ -es főminormátrix a (8.9) összefüggés miatt, az utolsó sor és utolsó oszlop pedig a Lagrange szorzó értelmezése és a Shephard lemma miatt. A $ \frac{\mathbf{\partial }\lambda }{\mathbf{\partial }w_{1}}=\frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }u}$ egyenlőség fennáll, alkalmazva ugyanis a (8.6) és (8.7) összefüggéseket, a $ \frac{\mathbf{\partial }^{2}k}{\mathbf{\partial }w_{1}\partial u}=\frac{\mathbf{\partial }^{2}k}{\mathbf{\partial }u\partial w_{1}}$ vegyes másodrendű deriváltak pedig megegyeznek. Az is mindig igaz a (8.9) miatt, hogy a főminormátrix főátlójában nem lehetnek pozitív elemek.

A $ \frac{\mathbf{\partial }\lambda }{\mathbf{\partial }w_{1}}=\frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }u}=\frac{1}{20}$ jelentése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor a Lagrange szorzó optimális értéke $ \frac{1}{4}$ -ről megközelítőleg $ \frac{1}{4}+\frac{1}{20}\Delta w_{1}$ értékre változik. A Lagrange szorzó (8.6) értelmezése szerint ez azt jelenti, hogy a $ k_{\min }=10$ optimális kiadás megközelítőleg $ 10+\frac{1}{4}\Delta u$ értékre változik, ha az $ u$ paraméter $ \Delta u$ val változik. Ezeket összefoglalva a következőket mondhatjuk: Az eredeti árakhoz tartozó optimalizálási feladatban, ha az $ u$ megváltozik $ \Delta u$ -val, akkor az optimális kiadás optimális értéke megközelítőleg $ 10+\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{20}\Delta w_{1}\right) \Delta u$ értékre változik.

Ne feledkezzünk meg arról, hogy az elmondottak csak elegendően kicsi változások esetén érvényesek. Most nézzük meg, hogy egy véges, kis változásra milyen eredményeket kapunk. Változzon meg csak az első termék ára $ 3$ -ról $ 3.01$ értékre. Ennek a feladatnak az optimális megoldása: $ x_{1}=1.9973,x_{2}=1.0020,\lambda =0.2505,k_{\min }=10.020$

A véges változásra a különbség hányados: $ \frac{\Delta x_{1}}{\Delta w_{1}}=\frac{1.9973-2}{0.01}=-0.27$ , amelyet összevetve a $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=-\frac{4}{15}=-0.26667$ értékkel, valóban közeli megoldást kaptunk, mivel a $ \Delta w_{1}=0.01$ elegendően kicsi érték.

A véges változásra a különbség hányados: $ \frac{\Delta x_{2}}{\Delta w_{1}}=\frac{1.0020-1}{0.01}=0.2$ , amelyet összevetve a $ \frac{\mathbf{\partial }x_{2}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=\frac{1}{5}=0.2$ értékkel, itt valóban közeli megoldást kaptunk.

A $ \frac{\mathbf{\partial }\lambda }{\mathbf{\partial }w_{1}}=\frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }u}=\frac{1}{20}$ értelmezéséhez a $ \Delta
u=0.005$ legyen a régi árakkal. Ekkor az optimális megoldás: $ x_{1}=2.0002,x_{2}=1.0001,\lambda =0.24988,k_{\min }=10.001$ . A költség közelítő megváltozása: $ \ \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{20}0.01\right)
0.005=0.0012525$ , amely a tényleges $ 0.001$ változást elég jól megközelíti.

Végezetül vizsgáljuk meg a Shephard lemmát (8.7): A $ \frac{\Delta
k}{\Delta w_{1}}=\frac{10.020-10}{0.01}=2$ , amely valóban közelítőleg $ \frac{\mathbf{\partial }k}{\mathbf{\partial }w_{1}}=x_{1}.$

Feladat:

Tekintsük azt a költségminimalizálási feladatot, amelynek alapadatai a következők: $ f(x_{1},x_{2})=(\sqrt{x_{1}}+2\sqrt{x_{2}})^{2}$ , $ w_{1}=6$ , $ w_{2}=24$ , $ u=16$ .

Végezze el azokat a lépéseket ezen a feladaton is, amelyeket a fenti példamegoldásban elvégeztünk. A függvény igazán jól viselkedő, nevezetesen ACMS függvény az $ A_{1}=1,A_{2}=2,\beta =-\frac{1}{2},k=1$ paraméterekkel. A megoldást a (8.14) képletek segítségével is végezheti.

8.2. Volumenmaximmalizálási feladat

Ez a feladat sokban hasonlít a költségminimalizálási feladathoz, a tárgyalását is ugyanolyan lépésekben végezzük el.

8.2.1. A volumenmaximalizálási feladat megfogalmazása

Mielőtt a volumenmaximum-feladatot matematikai programozási feladatként leírnánk, szavakban megfogalmazzuk a feladatot mind a termelés, mind a fogyasztás oldaláról.

Termeléselméleti oldalról

Adott az $ f(\mathbf{x})$ termelési függvény, amely megadja a különböző termelési tényező kombinációkhoz tartozó termékmennyiséget. Adottak a termelési tényezők árai és a beszerzésükre fordítható pénzmennyiség. Jelölje ezeket rendre a $ \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})$ vektor és az $ e$ szám. A termelési tényezők azon kombinációját keressük, amellyek felhasználásával maximális termékvolumen érhető el, úgy, hogy a termelési tényezők beszerzésére legfeljebb $ e$ pénzmennyiséget költünk.

Fogyasztáselméleti oldalról

Adott az $ f(\mathbf{x})$ hasznossági függvény, amely megadja a különböző termékkosár elfogyasztásához tartozó hasznossági szintet. Adottak a termékek árai és a beszerzésükre fordítható pénz mennyisége, jelölje ezeket rendre a $ \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})$ vektor és az $ e$ szám. Azt a jószágkosarat (termékek azon kombinációit) keressük, amely elfogyasztásával maximális hasznosság érhető el, feltéve, hogy a jószágkosár beszerzésére legfeljebb $ e$ pénzmennyiséget költünk.

A volumenmaximalizálási feladat matematikai megfogalmazása

Az optimalizálási feladat célfüggvénye az $ f(\mathbf{x})$ aggregáló függvény. A feltételek: egyrészt a keresletre vonatkozó nemnegativitás, másrészt az, hogy a legfeljebb a megszabott $ e$ pénzmennyiséget költhetjük el. A feladat matematikai alakja:

    $\displaystyle \mathbf{wx}$ $\displaystyle \leqq e$
    $\displaystyle \mathbf{x}$ $\displaystyle \geqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle f(\mathbf{x})$ $\displaystyle \rightarrow \max !$

Feltesszük, hogy az árak és a pénzmennyiség pozitív, azaz $ \mathbf{w}>\mathbf{0}$ és $ e>0$ . Az $ e$ mennyiséget elkölthető jövedelemnek is szokás nevezni. A $ \mathbf{wx}\leqq e$ feltételt költségvetési korlátnak is nevezik.

A feladat optimális megoldását jelölje az áraktól és az elkölthető jövedelemtől függő $ \mathbf{x}(\mathbf{w},e)$ keresleti függvény, ill. $ v(\mathbf{w},e) $ optimális célfüggvény-érték függvény.

A közgazdaságtani terminológia szerint az $ \mathbf{x}(\mathbf{w},e)$ függvényt

        Marshall-féle keresleti függvénynek [Alfred Marshall (1842 - 1924) angol közgazdász],

a $ v(\mathbf{w},u)$ függvényt

        közvetett használatiérték-volumen függvénynek (közvetett hasznossági, közvetett termelési függvénynek) nevezzük.

Itt most nem teszünk különbséget a termelésbeli és a fogyasztásbeli terminológia között.

8.2.2. A volumenmaximalizálási feladat KKT feltételei

A feladat Lagrange függvénye

    $\displaystyle L(\mathbf{x},\mu )=f(\mathbf{x})+\mu \left( e-\mathbf{wx}\right) .$

A $ \mu $ mennyiséget Lagrange-szorzónak nevezzük. Ha az $ f(\mathbf{x})$ függvény differenciálható, akkor a Lagrange függvény segítségével könnyen felírhatók az optimalitás szükséges feltételei, amelyet Karush-Kuhn-Tucker (KKT) feltételeknek nevezünk:

    $\displaystyle \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})-\mu \mathbf{w}$ $\displaystyle \leqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle \left[ \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})-\mu \mathbf{w}\right] \mathbf{x}$ $\displaystyle =0$
(8.21) $\displaystyle e-\mathbf{wx}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle \left( e-\mathbf{wx}\right) \mu$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle \mathbf{x}$ $\displaystyle \geqq \mathbf{0}$
    $\displaystyle \mu$ $\displaystyle \geqq 0$

Az optimalitás szükséges feltételei leegyszerűsödnek, amennyiben az $ f(\mathbf{x})$ függvényről feltesszük, hogy igazán jól viselkedő függvény. A feltevések a következők:

  1. $ f(\mathbf{0})=0$

  2. $ f(\mathbf{x})$ minden változójában szigorúan monoton nő, azaz $ \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})>\mathbf{0}$ , minden $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
$ vektorra

  3. $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}$ minden $ i$ indexre a $ (0,\infty )$ intervallumban minden értéket felvesz

  4. $ f(\mathbf{x})$ szigorúan kvázikonkáv

Ekkor érvényes az alábbi tétel.

TÉTEL:

Ha az $ f(\mathbf{x})$ függvény igazán jól viselkedő függvény, akkor a KKT feladat megoldása egyértelmű és határozottan pozitív, azaz $ \mathbf{x}>\mathbf{0},\mu >0$ . Továbbá igaz, hogy az optimális megoldást az

(8.22) $\displaystyle \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})$ $\displaystyle =\mu \mathbf{w}$
(8.23) $\displaystyle e$ $\displaystyle =\mathbf{wx}$

egyenletrendszer megoldása szolgáltatja, azaz a KKT feladat leegyszerűsödik a fenti egyenletrendszerre. A szigorú kvázikonkávitás biztosítja, hogy ezek a szükséges feltételek egyben elégségesek is.

8.2.3. A Lagrange-szorzó közgazdaságtani értelmezése

Tegyük fel, hogy a $ v(\mathbf{w},e) $ vvolumenfüggvény diferenciálható $ e$ szerint, ekkor a bevezetőben ismertetett burkolótétel (8.1) alapján írható, hogy

    $\displaystyle \frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}=\frac{\partial L}{\partial e}=\frac{\partial \left[ f(\mathbf{x})+\mu \left( e-\mathbf{wx}\right) \right] 
 }{\partial e}=\mu ,$

azaz

(8.24) $\displaystyle \frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}=\mu .$

Tehát a $ \mu $ Lagrange-szorzó az $ e$ elkölthető jövedelemnek a közvetett volumenfüggvényre gyakorolt differenciális hatását mutatja. Emiatt a Lagrange-szorzót termelésnél a termelési tényezők beszerzésére fordított pénz határtermékének, fogyasztásnál pedig a jószágkosárra fordított pénz határhasznának nevezzük.

A $ \mu $ pozitivitása miatt a $ v(\mathbf{w},e) $ közvetett használatiérték-volumen függvény az $ e$ elkölthető jövedelemben szigorúan monoton növekedő. Tehát a volumenváltozás és az elkölthető jövedelem változás iránya azonos.

Ha a $ \Delta e$ elkölthető jövedelemváltozás elegendően kicsi, akkor a $ \Delta v$ volumenváltozás megközelítően $ \Delta v\approx \mu \cdot \Delta e$ . Tehát termeléselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az elkölthető jövedelmet, akkor a maximálisan előállítható termékmennyiség megváltozása megközelítően arányos az elkölthető jövedelem megváltozásával. Fogyasztáselméleti vonatkozásban, ha elegendően kicsivel változtatjuk meg az elkölthető jövedelmet, akkor a maximálisan elérhető hasznosság megváltozása megközelítően arányos az elkölthető jövedelem megváltozásával. Az arányossági tényező a $ \mu $ Lagrange-szorzó.

A $ \mu $ reciproka határköltségként értelmezhető, amit a későbbiekben igazolni fogunk.

8.2.4. Roy azonosság

Tegyük fel, hogy a $ v(\mathbf{w},e) $ volumenfüggvény differenciálható az árak szerint. Ekkor a burkolótétel (8.1) szerint

    $\displaystyle \frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}=\frac{\partial L}{\partial
 w_{i}}=\frac{\partial \left[ f(\mathbf{x})+\mu \left( e-\mathbf{wx}\right) \right] }{\partial w_{i}}=-\mu x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n\ ,$

azaz

(8.25) $\displaystyle \frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}=-\mu x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \
 \ i=1,\ldots ,n\ .$

Mivel $ x_{i}>0$ , így a $ v(\mathbf{w},e) $ közvetett használatiérték-volumen függvény az árakban szigorúan monoton csökkenő. Tehát a volumenváltozás és az árváltozás iránya ellentétes.

A Lagrange-szorzó értelmezésénél (8.24) láttuk, hogy a $ \mu $ Lagrange-szorzó a $ v(\mathbf{w},e) $ volumenfüggvény elkölthető jövedelem szerinti deriváltja. Osszuk el a $ v(\mathbf{w},e) $ volumenfüggvény deriváltjait, a (8.25) egyenleteket a (8.24) egyenlettel, akkor kapjuk, hogy

(8.26) $\displaystyle \frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}}=-x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ $   minden $\displaystyle i$ indexre.

Ezt az összefüggést a közgazdaságtanban Roy azonosságnak [René François Joseph Roy (1894 - 1977) francia közgazdász] nevezik. A Roy azonosság tehát azt mondja ki, hogy a volumenfüggvénynek valamely jószág ára és a jövedelem szerinti parciális deriváltjának a hányadosa az adott jószág keresletének$ (-1)$ -szeresével egyenlő.

Most a Roy azonosságot (8.26) szorozzuk $ \frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}$ -vel és mindkét oldalát osszuk el a $ \frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}$ hányadossal, a jobboldal számlálóját és nevezőjét szorozzuk $ e$ -vel, akkor

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}=-x_{i}\frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}\frac{e}{e},$

amelyet átrendezve az alábbi összefüggést kapjuk:

(8.27) $\displaystyle \frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}=-\frac{x_{i}w_{i}}{e}\frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{e}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n.$

Értelmezzük ezt a (8.27) összefüggést. A baloldalon a volumennek az árak szerinti rugalmassága (volumen árrugalmassága) van, amely azt mutatja, hogy $ 1\%$ -os árváltozás megközelítőleg hány $ \%$ -os volumenváltozást idéz elő. A jobboldal második tényezője a volumennek a jövedelem szerinti rugalmassága (volumen jövedelemrugalmassága), amely azt mutatja, hogy $ 1\%$ -os jövedelemváltozás megközelítőleg hány $ \%$ -os volumenváltozást idéz elő. Az $ \frac{x_{i}w_{i}}{e}$ hányados pedig az $ i$ -edik jószág költségrészesedési arányát mutatja. Ez az arány mutatja meg az árrugalmasság és a jövedelemrugalmasság közötti kapcsolatot. Az árrugalmasság a burkolótételből (lásd (8.25)) adódóan negatív, a jövedelemrugalmasság pedig a Lagrange-szorzó (lásd (8.24)) miatt pozitív, a két rugalmasság tehát ellentétes hatású. Mivel a költségrészesedési arányok egynél kisebbek, így a jövedelemrugalmasság mindegyik termék árrugalmasságánál (abszolut értékben) nagyobb. A (8.27) képletből (szummázva mindkét oldalt) az is igaz, hogy a termékek árrugalmasságának abszolutértékbeli összege megegyezik a jövedelemrugalmassággal.

Ha $ 1\%$ -kal megnöveljük az $ i$ -edik termék árát, akkor ez a maximálisan elérhető volument valamilyen százalékban csökkenti, ha viszont a jövedelmet növeljük meg $ 1\%$ -kal, akkor ez a maximálisan elérhető volument valamilyen százalékban növeli, a (8.27) összefüggés azt állítja, hogy az $ i$ -edik termék árváltozásából adódó $ \%$ -os volumencsökkenés megközelítőleg egyenlő az $ i$ -edik termék költségrészesedési arányának és jövedelemváltozásból adódó $ \%$ -os volumennövekedés szorzatával. Az alábbiak szerint is fogalmazhatunk: az $ i$ -edik termék árának $ 1\%$ -os megváltozása, ill. az $ i$ -edik jószág költségrészesedési arányának megfelelő $ \%$ -os jövedelemváltozás megközelítőleg azonos nagyságú $ \%$ -os volumen változást eredményez.

8.2.5. Parciális és teljes volumenrugalmasság

Parciális volumenrugalmasság

Induljunk ki az egyszerűsített KKT feladat (8.22) egyenlőségének koordinátás alakjából

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\mu w_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n.$

Szorozzuk be mindkét oldalt az $ x_{i}$ optimális kereslettel. Tudjuk azt, hogy a maximálisan elérhető volumen $ v(\mathbf{w},e) $ értéke megegyezik az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimális megoldásbeli értékével. Osszuk el ezzel a közös értékkel az egyenletet, a baloldalt $ f$ -el, a jobboldalt $ v(\mathbf{w},e) $ -vel, ekkor egy kis rendezés után az alábbi összefüggést kapjuk

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=\frac{\mu x_{i}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n\ ,$

most pedig a $ \mu x_{i}$ helyére írjuk a (8.25) összefüggést és végül kapjuk, hogy

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}\ \
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n\ .$

A baloldalon az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimumpontbeli parciális volumenrugalmassága $ (\varepsilon _{i})$ áll, a jobboldalon pedig a maximálisan elérhető volumen árrugalmassága áll. Más szóval a baloldalon a közvetlen volumenfüggvény kereset rugalmassága, a jobboldalon pedig a közvetett volumenfüggvény árrugalmassága áll. Minden termék esetén igaz, hogy az adott termék keresletrugalmassága és árrugalmassága csak előjelben kölönbözik egymástól, tehét ellentétes hatásúak. A parciális volumenrugalmassággal felírva az alábbi összefüggés adódik:

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{w_{i}}}=-\varepsilon _{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n\ .$

Ennek értelmezését az előző alfejezetben látottak alapján már könnyen megadhatjuk. Az $ \varepsilon _{i}$ azt mutatja, hogy az $ i$ -edik termék $ 1\%$ -os keresletváltozása megközelítőleg $ \varepsilon _{i}$ $ \%$ -os volumenváltozást idéz elő. A baloldal pedig azt mutatja, hogy $ 1\%$ -os árváltozás megközelítőleg hány $ \%$ -os volumenváltozást idéz elő. A két $ \%$ -os volumenváltozás abszolút értékben megközelítőleg azonos nagyságú. Ugyanazt a $ \%$ -os volumenváltozást megközelítőleg úgy idézhetjük elő, hogy valamely termék árát a $ 1\%$ -kal növeljük, ill. a keresletét $ 1\%$ -kal csökkentjük, vagy fordítva.

Teljes volumenrugalmasság

Induljunk ki az egyszerűsített KKT feladat (8.22) egyenlőségének koordinátás alakjából.

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\mu w_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n.$

Hasonlóan a parciális volumenrugalmasságnál látottakkal, szorozzuk be mindkét oldalt az $ x_{i}$ optimális kereslettel, majd osszuk el a baloldalt $ f$ -el, a jobboldalt $ v(\mathbf{w},e) $ -vel, ekkor egy kis rendezés után az alábbi összefüggést kapjuk

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=\frac{\mu
 w_{i}x_{i}}{v(\mathbf{w},e)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n\ ,$

most pedig a szummázzuk mindkét oldalt, felhasználva a KKT feladat (8.23) egyenletét és a $ \mu $ helyére írjuk a (8.24) összefüggést, így kapjuk, hogy

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{f}{x_{i}}}=\frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{e}}.$

A baloldalon az $ f(\mathbf{x})$ függvény optimumpontbeli teljes volumenrugalmassága $ (\varepsilon )$ áll, a jobboldalon pedig a maximálisan elérhető volumen jövedelemrugalmassága áll. Más szóval a baloldalon a közvetlen volumenfüggvény kereset rugalmasságainak összege, a jobboldalon pedig a közvetett volumenfüggvény jövedelemrugalmassága áll. A két érték megegyezik, ezt fejezi ki a teljes volumenrugalmassággal felírt alábbi összefüggés

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial v(\mathbf{w},e)}{\partial e}}{\frac{v(\mathbf{w},e)}{e}}=\varepsilon .$

Ennek értelmezése az alábbi. Az $ \varepsilon $ azt mutatja, hogy ha minden termék keresletét $ 1\%$ -kal megváltoztatjuk, akkor megközelítőleg $ \varepsilon $ $ \%$ -os lesz a volumenváltozás. A baloldal pedig azt mutatja, hogy $ 1\%$ -os jövedelemváltozás megközelítőleg hány $ \%$ -os volumenváltozást idéz elő. A két $ \%$ -os volumenváltozás megközelítőleg azonos nagyságú. Ugyanazt a $ \%$ -os volumenváltozást megközelítőleg úgy idézhetjük elő, hogy a jövedelmet $ 1\%$ -kal növeljük, ill. mindegyik keresletet $ 1\%$ -kal növeljük, vagy fordítva.

8.2.6. Helyettesítési határráta

A $ \mathbf{\nabla }f(\mathbf{x})=\mu \mathbf{w}$ egyszerűsített KKT feltételből az olvasható ki, hogy minden $ i$ indexre $ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=\mu w_{i}$ . Osszuk el két különböző index esetén ezeket, akkor azt kapjuk, hogy

    $\displaystyle \frac{\frac{\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}=\frac{w_{i}}{w_{j}}.$

Ebből az összefüggésből az olvasható ki, hogy belsőponti $ (\mathbf{x}>\mathbf{0})$ optimális megoldásban

- termelés esetén a határtermékek úgy aránylanak egymáshoz mint a termelési tényezők árai, ill.

- fogyasztás esetén a határhasznok úgy aránylanak egymáshoz mint a termékek árai.

A korábban megismert $ h_{ji}$ helyettesítési határrátát (5.1) a határtemékek és a határhasznok hányadosaként definiáltuk, így az optimális esetben a $ h_{ji}$ helyettesítési határráta az árarányokkal azonos.

8.2.7. Megoldás grafikusan

Kétváltozós esetben az optimális megoldást grafikusan is meghatározhatjuk. Ekkor az optimalizálási feladat:

    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}$ $\displaystyle \leqq e$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle f(x_{1},x_{2})$ $\displaystyle \rightarrow \max !$

Az alábbi ábrából leolvashatjuk a megoldás menetét.
Image Vmax_altalanos__17

A megengedett megoldások halmaza a szürke, korlátos tartomány, amelyet a koordinátatengelyek és a ún. költségvetési egyenes határol, szokás költségvetési tartománynak is nevezni. Az $ f(x_{1},x_{2})$ célfüggvény szintvonalai (azonos függvényértéket adó pontjai) a berajzolt görbék, amelyek a célfüggvény szigorú kvázikonkávitása miatt konvexek és a nyíl irányába növekedik a célfüggvény értéke. Az optimális megoldás a költségvetési tartománynak abban a pontjában van, ahol valamelyik szintvonal érinti a költségvetési egyenest.

8.2.8. Megoldás igazán jól viselkedő aggregáló függvényekkel

A) Cobb-Douglas-féle aggregáló függvény

A Cobb-Douglas-féle aggregáló függvény (7.1) általános alakja:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=Ax_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.$

Az egyszerűsített KKT feladat (8.22-8.23):

    $\displaystyle A\frac{a_{i}}{x_{i}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}$ $\displaystyle =\mu
 w_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}$ $\displaystyle =e$

Ezt az $ n+1$ egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani az $ x_{i}\
(i=1,\ldots ,n)$ és a$ \mu $ ismeretlenekre. A keresleti függvény, a Lagrange-szorzó és a használatiérték-volumen függvény $ \mathbf{w},e$ paraméterektől függő optimális értékei az alábbiak:

    $\displaystyle x_{i}(\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =\frac{e}{a}\frac{a_{i}}{w_{i}}\ \ \ \ \ \ \ \
 i=1,\ldots ,n$
(8.28) $\displaystyle \mu (\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =A\left( \frac{e}{A}\right)
 ^{a-1}\prod\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{a_{j}}{w_{j}}\right) ^{a_{j}}$
    $\displaystyle v(\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =A\left( \frac{e}{A}\right)
 ^{a}\prod\limits_{j=1}^{n}\left( \frac{a_{j}}{w_{j}}\right) ^{a_{j}}$

ahol $ a$ az $ f(\mathbf{x})$ függvényben szereplő kitevők összege $ (a=\sum
a_{j})$ , azaz a Cobb-Douglas-féle függvény homogenitásának a foka.

B) Általános CES aggregáló függvény

Az általános CES aggregáló függvény (7.5) általános alakja:

    $\displaystyle f(\mathbf{x})=\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{\kappa }{\beta }}.$

Az egyszerűsített KKT feladat (8.22-8.23):

    $\displaystyle \kappa A_{i}\frac{\left( A_{1}x_{1}^{-\beta }+A_{2}x_{2}^{-\beta }+\ldots
 +A_{n}x_{n}^{-\beta }\right) ^{-\frac{\kappa }{\beta }-1}}{x_{i}^{1+\beta }}$ $\displaystyle =\mu
 w_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
    $\displaystyle w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\ldots +w_{n}x_{n}$ $\displaystyle =e$

Ezt az $ n+1$ egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani az $ x_{i}\
(i=1,\ldots ,n)$ és a $ \mu $ ismeretlenekre. A keresleti függvény, a Lagrange-szorzó és a használatiérték-volumen függvény $ \mathbf{w},e$ paraméterektől függő optimális értékei az alábbiak:

    $\displaystyle x_{i}(\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =\frac{\kappa ^{\sigma }A_{i}^{\sigma }}{w_{i}^{\sigma
 }}\frac{e}{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma
 }\right) }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i=1,\ldots ,n$
(8.29) $\displaystyle \mu (\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =e^{\kappa -1}\kappa ^{1+\sigma \kappa }\left(
 \sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma }\right) ^{\frac{\kappa 
 }{\sigma -1}}$
    $\displaystyle v(\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =e^{\kappa }\kappa ^{\sigma \kappa }\left(
 \sum\limits_{j=1}^{n}A_{j}^{\sigma }w_{j}^{1-\sigma }\right) ^{\frac{\kappa 
 }{\sigma -1}}$

ahol $ \sigma =\frac{1}{1+\beta }.$

8.2.9. Érzékenységvizsgálat

Arra keressük a választ, hogy a volumenmaximalizálási feladat paramétereinek $ (w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},e)$ megváltozása milyen módon befolyásolja az optimális megoldásokat. A költségminimalizálási feladat érzékenységvizsgálatához hasonlóan végezzük, itt is a (8.2) összefüggést használjuk, de itt a Lagrange függvény: $ L(\mathbf{x},\mu )=f(\mathbf{x})+\mu \left( e-\mathbf{wx}\right) $ .

A $ \mathbf{\nabla }L$ vektor számítása:

    $\displaystyle \mathbf{\nabla }L=\left[ 
 \begin{array}{c}
 \frac{\partial L}{\partial x_{1}} \\ 
 \frac{\partial L}{\partial x_{2}} \\ 
 \vdots \\ 
 \frac{\partial L}{\partial x_{n}} \\ 
 \frac{\partial L}{\partial \mu }
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \frac{\partial f}{\partial x_{1}}-\mu w_{1} \\ 
 \frac{\partial f}{\partial x_{2}}-\mu w_{2} \\ 
 \vdots \\ 
 \frac{\partial f}{\partial x_{n}}-\mu w_{n} \\ 
 e-\mathbf{wx}
 \end{array}
 \right] .$

A $ \mathbf{\nabla }L$ vektor deriváltjai rendre a $ w_{1},w_{2},\ldots
,w_{n},e$ paraméterek szerint:

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{c}
 -\mu \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 -x_{1}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 -\mu \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 -x_{n}
 \end{array}
 \right] ,\ldots ,\left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 -\mu \\ 
 -x_{n}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 0 \\ 
 0 \\ 
 \vdots \\ 
 0 \\ 
 1
 \end{array}
 \right] ,$

amelyek blokkosított formában az egységvektorokkal felírva az alábbiak

(8.30) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{c}
 -\mu \mathbf{e}_{1} \\ 
 -x_{1}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 -\mu \mathbf{e}_{2} \\ 
 -x_{n}
 \end{array}
 \right] ,\ldots ,\left[ 
 \begin{array}{c}
 -\mu \mathbf{e}_{n} \\ 
 -x_{n}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{0} \\ 
 1
 \end{array}
 \right] .$

A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ mátrix számítása:

    $\displaystyle \mathbf{\nabla }^{2}L=\left[ 
 \begin{array}{ccccc}
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}f}{\partial
 x_{1}\partial x_{n}} & -w_{1} \\ 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}f}{\partial
 x_{2}\partial x_{n}} & -w_{2} \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 
 \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \ldots & \frac{\partial ^{2}f}{\partial
 x_{n}\partial x_{n}} & -w_{n} \\ 
 -w_{1} & -w_{2} & \ldots & -w_{n} & 0\end{array}
 \right] .$

A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ Hesse mátrix utolsó oszlopában és alsó sorában az árvektor $ (-1)$ -szerese $ (-\mathbf{w})$ szerepel, a bal felső részében pedig az aggregáló függvény Hesse mátrixa szerepel. Ezt jelölhetjük $ \mathbf{\nabla }^{2}f$ vagy $ \mathbf{H}_{f}$ szimbólummal. A $ \mathbf{\nabla }^{2}L$ mátrix tehát felírható az alábbi blokkosított formában

(8.31) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{H}_{f} & -\mathbf{w} \\ 
 -\mathbf{w}^{T} & 0
 \end{array}
 \right] .$

Az egyszerűbb jelölés miatt vezessük be az $ \genfrac{[}{]}{0pt}{0}{\mathbf{x}}{\mu}$ különböző deriváltjaira a $ \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime }=\left[
\frac{\partial x_{i}}{\partial w_{j}}\right] $ mátrixot, az $ \mathbf{x}_{e}^{\prime }=\left[ \frac{\partial x_{i}}{\partial e}\right] ,$ $ \mu _{\mathbf{w}}^{\prime }=\left[ \frac{\partial \mu }{\partial w_{j}}\right] $ vektorokat és a $ \mu _{e}^{\prime }=\left[ \frac{\partial \mu }{\partial e}\right] $ skalárt. Ekkor egyetlen mátrixban felírhatjuk az érzékenységvizsgálati képletben szereplő $ \genfrac{[}{]}{0pt}{0}{\mathbf{x}}{\mu}$ vektor összes paraméter szerinti deriváltját, ez a mátrix az alábbi blokkosított mátrix lesz

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime } & \mathbf{x}_{e}^{\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right] .$

Hasonlóan egyetlen mátrixba foglaljuk az érzékenységvizsgálati képletben szereplő $ \mathbf{\nabla }L$ vektor összes paraméter szerinti deriváltját (8.30), ez a mátrix pedig blokkosítva az alábbi

    $\displaystyle -\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mu \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{x}^{T} & -1
 \end{array}
 \right]$

Ezek figyelembevételével a volumenmaximalizálási feladat érzékenységvizsgálata a bevezetőben említett (8.2) formula alapján az alábbi összefüggéssel írható le:

(8.32) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime } & \mathbf{x}_{e}^{\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{H}_{f} & -\mathbf{w} \\ 
 -\mathbf{w}^{T} & 0
 \end{array}
 \right] ^{-1}\cdot \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mu \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{x}^{T} & -1
 \end{array}
 \right] .$

A fenti formulára a későbbiekben visszatérünk, de itt is végzünk néhány elemzést, az alábbi átrendezett összefüggésen

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{H}_{f} & -\mathbf{w} \\ 
 -\mathbf{w}^{T} & 0
 \end{array}
 \right] \cdot \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{\prime } & \mathbf{x}_{e}^{\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mu \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{x}^{T} & -1
 \end{array}
 \right] .$

A blokkosított jobboldali mátrix $ -1$ elemét írjuk fel, majd utána deriváltak helyett differenciákkal

    $\displaystyle \mathbf{w}^{T}\mathbf{x}_{e}^{\prime }=\sum_{j=1}^{n}w_{j}\frac{\partial
 x_{j}(\mathbf{w},e)}{\partial e}=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
 \sum_{j=1}^{n}w_{j}\Delta x_{j}\approx \Delta e,$

amely szerint az eredeti árakon számított optimális összkiadás megváltozása megközelítőleg egyenlő a kiadási keret megváltozásával.

Most pedig a blokkosított jobboldali mátrix $ \mathbf{x}^{T}$ vektorának $ j$ -edik elemét írjuk fel, majd utána deriváltak helyett differenciákkal

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}w_{i}\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},e)}{\partial w_{j}}=-x_{j},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{i=1}^{n}w_{i}\Delta
 x_{i}\approx -\Delta w_{j}x_{j},$

amely szerint az eredeti árakon számított optimális összkiadás csökkenése megközelítőleg egyenlő a $ j$ -edik termék keresletének és árnövekedésének szorzatával, vagy az eredeti árakon számított optimális összkiadás növekedése megközelítőleg egyenlő a $ j$ -edik termék keresletének és árcsökkenésének szorzatával.

8.2.10. Példamegoldás. Feladat

Példa:

Legyen két termelési tényező, amelyek egységára rendre $ 3,4$ pénzegység. Legyen adott továbbá az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ termelési függvény, amely a termelési tényezőkkel előállítható termékmennyiséget fejezi ki a termelési tényezők mennyiségének függvényében. Határozzuk meg a termelési tényezők azon optimális mennyiségét, amellyel a legtöbb terméket állíthatjuk elő, úgy, hogy a felhasznált termelési tényezők költsége legfeljebb $ 10$ pénzegység legyen!

Legyen két termék, amelyek egységára rendre $ 3,4$ pénzegység. Legyen adott továbbá az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ hasznossági függvény, amely a termékek mennyiségének függvényében azt fejezi ki, hogy a termékek elfogyasztása mekkora szükségletet elégít ki. Határozzuk meg azt az optimális jószágkosarat, amellyel a legnagyobb hasznosságot érhetjük el, úgy, hogy a kiadásunk legfeljebb $ 10$ pénzegység legyen!

Végezzünk érzékenységvizsgálatot és értelmezzük a kapott eredményeket!

Megoldás:

Mindkét feladatot ugyanaz az optimalizálási modell írja le csak a terminológiában van eltérés. Az alapadatok: $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2},\
w_{1}=3,\ w_{2}=4,\ e=10$ .

A matematikai modell:

    $\displaystyle 3x_{1}+4x_{2}$ $\displaystyle \leqq 10$
    $\displaystyle x_{1},x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ $\displaystyle \rightarrow \max !$

A Lagrange függvény:

(8.33) $\displaystyle L(x_{1},x_{2},\lambda )=x_{1}^{3}x_{2}^{2}+\mu(10-3x_{1}-4x_{2})$

A számításokhoz szükséges lesz az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ függvény gradiensére és a Hesse mátrixára, ezek a következők:

(8.34) $\displaystyle \mathbf{\nabla }f=\left[ 
 \begin{array}{c}
 3x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ 
 2x_{1}^{3}x_{2}
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{H}_{f}=\mathbf{\nabla }^{2}f=\left[ 
 \begin{array}{cc}
 6x_{1}x_{2}^{2} & 6x_{1}^{2}x_{2} \\ 
 6x_{1}^{2}x_{2} & 2x_{1}^{3}
 \end{array}
 \right] .$

A KKT feladat (8.21):

    $\displaystyle 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}-3\mu$ $\displaystyle \leqq 0$
    $\displaystyle 2x_{1}^{3}x_{2}-4\mu$ $\displaystyle \leqq 0$
    $\displaystyle \left( 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}-3\mu \right) x_{1}$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle \left( 2x_{1}^{3}x_{2}-4\mu \right) x_{2}$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle 10-3x_{1}-4x_{2}$ $\displaystyle \geqq 0$
    $\displaystyle \left( 10-3x_{1}-4x_{2}\right) \mu$ $\displaystyle =0$
    $\displaystyle x_{1},x_{2},\mu$ $\displaystyle \geqq 0$

Mivel az $ f(x_{1},x_{2})$ függvény Cobb-Douglas típusú, így igazán jól viselkedő függvényről van szó, tehát az optimalizálási feladat megoldását az egyszerűsített KKT feladat (8.22-8.23) megoldása adja:

    $\displaystyle 3$ $\displaystyle =\lambda 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
    $\displaystyle 4$ $\displaystyle =\lambda 2x_{1}^{3}x_{2}$
    $\displaystyle 8$ $\displaystyle =x_{1}^{3}x_{2}^{2}$

Vagy megoldjuk a fenti egyenletrendszert, vagy egyszerűen behelyettesítünk a korábban általánosan felírt (8.28) megoldásfüggvényekbe: $ A=1,a_{1}=3,a_{2}=2,a=5.$

Az optimális megoldás: $ x_{1}=2,x_{2}=1,\mu =4,v_{\max }=8.$

Most elvégezzük az érzékenységvizsgálatot, amely a keresletnek és a Lagrange szorzónak a differenciális változásait mutatja a $ w_{1},w_{2},e$ paraméterek elemi megváltozása esetén. A (8.32) összefüggés adja meg a szükséges deriváltakat:

(8.35) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{2}}
 & \frac{\partial x_{1}}{\partial e} \\ 
 \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial w_{2}}
 & \frac{\partial x_{2}}{\partial e} \\ 
 \frac{\partial \mu }{\partial w_{1}} & \frac{\partial \mu }{\partial w_{2}}
 & \frac{\partial \mu }{\partial e}
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 12 & 24 & -3 \\ 
 24 & 16 & -4 \\ 
 -3 & -4 & 0
 \end{array}
 \right] ^{-1}\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 4 & 0 & 0 \\ 
 0 & 4 & 0 \\ 
 2 & 1 & -1
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 -\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{5} \\ 
 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{10} \\ 
 -4 & -2 & \frac{8}{5}
 \end{array}
 \right]$

Az alábbiakban néhány érzékenységvizsgálati eredményt értelmezünk fogyasztás oldali terminológiával:

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=-\frac{2}{3}$ jelentése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor az első termék keresletének optimális értéke $ 2$ -ről megközelítőleg $ 2-\frac{2}{3}\Delta w_{1}$ értékre változik. Az ár- és a keresletváltozás ellentétes hatású.

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{2}}{\mathbf{\partial }w_{2}}=-\frac{1}{4}$ jelentése:

Ha csak a $ w_{2}$ paraméter, azaz a második termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{2}$ nagyon kicsi értékkel, akkor a második termék keresletének optimális értéke $ 1$ -ről megközelítőleg $ 1-\frac{1}{4}\Delta w_{2}$ értékre változik. Az ár- és a keresletváltozás ellentétes hatású.

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }e}=\frac{1}{5}$ jelentése:

Ha csak az $ e$ paraméter, azaz az elkölthető jövedelem változik meg, mondjuk $ \Delta e$ nagyon kicsi értékkel, akkor az első termék keresletének optimális értéke $ 2$ -ről megközelítőleg $ 2+\frac{1}{5}\Delta e$ értékre változik. Az elkölthető jövedelem- és a keresletváltozás azonos hatású.

A $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }w_{2}}$ és a $ \frac{\mathbf{\partial }x_{2}}{\mathbf{\partial }w_{1}}$ értékek zérusok, ez azt jelenti, hogy akármelyik termék ára változik meg, ez a másik termék keresletét nem befolyásolja. Ez természetesen nem mindig van így, de az elmondható, hogy Cobb-Douglas típusú függvény esetén mindig így van, amely a (8.28) összefüggésből azonnal látható.

A $ \frac{\mathbf{\partial }\mu }{\mathbf{\partial }w_{1}}=-4$ jelentése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor a Lagrange szorzó optimális értéke $ 4$ -ről megközelítőleg $ 4-4\Delta w_{1}$ értékre változik. A Lagrange szorzó (8.24) értelmezése szerint ez azt jelenti, hogy a $ v_{\max
}=8$ optimális hasznosság megközelítőleg $ 8-4\Delta e$ értékre változik, ha az $ e$ paraméter $ \Delta e$ -vel változik. Ezeket összefoglalva a következőket mondhatjuk. Az eredeti árakhoz tartozó optimalizálási feladatban, ha az $ e$ megváltozik $ \Delta e$ -vel, akkor a hasznosság optimális értéke megközelítőleg $ 8+\left( 4-4\Delta w_{1}\right) \Delta e$ értékre változik.

Ne feledkezzünk meg arról, hogy az elmondottak csak kis változások esetén érvényesek. Most nézzük meg, hogy egy véges, kis változásra milyen eredményeket kapunk. Változzon meg csak az első termék ára $ 3$ -ról $ 3.01$ értékre. Ennek a feladatnak az optimális megoldása: $ x_{1}=1.9934,x_{2}=1,\mu =3.9603,v_{\max }=7.9211$

A véges változásra a különbség hányados: $ \frac{\Delta x_{1}}{\Delta w_{1}}=\frac{1.9934-2}{0.01}=-0.66$ , amelyet összevetve a $ \frac{\mathbf{\partial }x_{1}}{\mathbf{\partial }w_{1}}=-\frac{2}{3}=-0.666\,67$ értékkel, valóban közeli megoldást kaptunk, mivel a $ \Delta w_{1}=0.01$ elegendően kicsi érték.

A $ \frac{\mathbf{\partial }\mu }{\mathbf{\partial }w_{1}}=-4$ értelmezéséhez a $ \Delta e=0.005$ legyen a régi árakkal. Ekkor az optimális megoldás: $ x_{1}=2.001,x_{2}=1.0005,\mu =4.008,k_{\min }=8.02\ $ . A hasznosság közelítő megváltozása: $ \ \left( 4-4\cdot 0.01\right) 0.005=0.0198$ , amely a tényleges $ 0.02$ változást elég jól megközelíti.

Végezetül vizsgáljuk meg a Roy azonosságot (8.26): Eszerint $ \frac{\frac{\Delta v}{\Delta w_{1}}}{\frac{\Delta v}{\Delta e}}\approx -x_{1}$ , ami valóban igaz a következő szerint: $ \frac{\frac{7.9211-8}{0.01}}{\frac{8.02-8}{0.005}}=-1.9725\approx -2$ .

Feladat:

Tekintsük a következő volumenmaximalizálási feladatot az alábbi alapadatokkal: $ f(x_{1},x_{2})=(\sqrt{x_{1}}+2\sqrt{x_{2}})^{2}$ , $ w_{1}=6$ , $ w_{2}=24$ , $ e=48$ .

Végezze el azokat a lépéseket ezen a feladaton is, amelyeket a fenti példamegoldásban elvégeztünk. A függvény igazán jól viselkedő, nevezetesen ACMS függvény az $ A_{1}=1,A_{2}=2,\beta =-\frac{1}{2},k=1$ paraméterekkel. A megoldást a (8.29) képletek segítségével is végezheti.

8.3. A költségminimalizálási és a volumenmaximalizálási feladat kapcsolata

Tekintsük a költségminimalizálási és volumenmaximalizálási feladatokat, amelyekben az $ f(\mathbf{x})$ aggregáló függvény és a $ \mathbf{w}$ jószágárak közösek.

Oldjuk meg a költségminimalizálási feladatot valamilyen $ u$ volumenkorláttal. Legyenek az optimális megoldások rendre: a Hicks-féle keresleti függvény: $ \mathbf{x}^{H}(\mathbf{w},u)$ , a költségfüggvény: $ k(\mathbf{w},u)$ .

Most oldjuk meg a volumenmaximalizálási feladatot úgy, hogy az elkölthető jövedelem a költségminimalizálási feladat költségoptimuma legyen, azaz $ e=k(\mathbf{w},u)$ . Legyenek az optimális megoldások rendre: a Marshall-féle keresleti függvény: $ \mathbf{x}^{M}(\mathbf{w},e)$ , a volumenfüggvény: $ v(\mathbf{w},e) $ . Ekkor igaz, hogy: A Marshall-féle keresleti függvény és a Hicks-féle keresleti függvény azonos.

Ha ezután a költségminimalizálási feladatot úgy oldjuk meg, hogy a volumenkorlát a volumenmaximalizálási feladat volumenoptimuma, azaz $ u=v(\mathbf{w},e)$ . Ekkor igaz, hogy: A Hicks-féle keresleti függvény és a Marshall-féle keresleti függvény azonos.

Összefoglalva tehát, ha az egyik feladat célfüggvényének optimuma a másik feladat feltételi korlátja, ill fordítva, akkor a Hicks-féle keresleti függvény és a Marshall-féle keresleti függvény azonos, képletben írható, hogy

    $\displaystyle \mathbf{x}^{H}(\mathbf{w},u)$ $\displaystyle =\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w},k(\mathbf{w},u))$, ill. 
    $\displaystyle \mathbf{x}^{M}(\mathbf{w},e)$ $\displaystyle =\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w},v(\mathbf{w},e)).$

A keresletek egyezése maga után vonja, hogy a két optimalizálási feladat Lagrange szorzói egymásnak reciprokai, azaz

    $\displaystyle \lambda \mu =1.$

8.4. Szluckij egyenlet, Szluckij-féle differenciális felbontás

Tekintsük a költségminimalizálási és volumenmaximalizálási feladatok érzékenységvizsgálatánál kapott (8.17) és (8.32) összefüggéseket. Írjuk fel ezeket inverzmátrix használata nélkül és a képletekben használjuk a keresletek megkülönböztetésére a $ H$ és $ M$ felső indexeket:

(8.36) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \lambda \mathbf{H}_{f} & \mathbf{\nabla }f \\ 
 \mathbf{\nabla }f^{T} & 0\end{array}\right] \cdot \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } & \mathbf{x}_{u}^{H\prime } \\ 
 \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \lambda _{u}^{\prime }\end{array}\right]$ $\displaystyle =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{0}^{T} & 1\end{array}\right] ,$
       
(8.37) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{H}_{f} & -\mathbf{w} \\ 
 -\mathbf{w}^{T} & 0
 \end{array}
 \right] \cdot \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{M\prime } & \mathbf{x}_{e}^{M\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T} & \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mu \mathbf{E}_{n} & \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{x}^{MT} & -1
 \end{array}
 \right] .$

Az egyszerűség kedvéért a (8.36) képletbeli első mátrixot jelölje $ \mathbf{H}^{K}$ , a (8.37) képletbeli első mátrixot pedig jelölje $ \mathbf{H}^{M}$ . A fenti képletekből bizonyos blokkokat külön írjunk fel és egy kis mátrixalgebrai átalakítás után az alábbi adódik:

(8.38) $\displaystyle \mathbf{H}^{K}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } \\ 
 \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{E}_{n} \\ 
 \mathbf{0}^{T}
 \end{array}
 \right]$
       
(8.39) $\displaystyle \mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x}_{e}^{M\prime } \\ 
 \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{0} \\ 
 -1
 \end{array}
 \right] =-\mathbf{e}_{n+1}$
       
(8.40) $\displaystyle \mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{M\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mu \mathbf{E}_{n} \\ 
 \mathbf{x}^{MT}
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mu \mathbf{E}_{n} \\ 
 \mathbf{0}^{T}
 \end{array}
 \right] +\mathbf{e}_{n+1}\mathbf{x}^{MT}$

Tegyük fel, hogy a Hicks-féle keresleti függvény és a Marshall-féle keresleti függvény értéke megegyezik egymással. Ezt figyelembe véve a fenti összefüggés közül a (8.38)-t alakítsuk át úgy, hogy benne a $ \mathbf{H}^{M}$ mátrix szerepeljen. A (8.38) részletezve

(8.41) $\displaystyle \lambda \mathbf{H}_{f}\cdot \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime }+\mathbf{\nabla }f\cdot \lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}$ $\displaystyle =\mathbf{E}_{n}$
       
(8.42) $\displaystyle \mathbf{\nabla }f^{T}\cdot \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime }$ $\displaystyle =\mathbf{0}^{T}$

Szorozzuk be (8.41)-t $ \mu $ -vel, (8.42)-t pedig $ \left( -\frac{1}{\mu }\right)$ -vel és figyelembe véve (8.22)-t $ (\mathbf{\nabla }f=\mu \mathbf{w})$ , valamint azt, hogy $ \lambda \mu =1$ , az alábbiak adódnak:

(8.43) $\displaystyle \mathbf{H}_{f}\cdot \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime }-\mathbf{w}\cdot
 \left( -\mu ^{2}\lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}\right)$ $\displaystyle =\mu \mathbf{E}_{n}$
       
(8.44) $\displaystyle -\mathbf{w}^{T}\cdot \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime }$ $\displaystyle =\mathbf{0}^{T}$

Ez utóbbi, (8.43) és (8.44) összefüggéseket pedig egybeírhatjuk:

(8.45) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \mathbf{H}_{f} & -\mathbf{w} \\ 
 -\mathbf{w}^{T} & 0
 \end{array}
 \right] \cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } \\ 
 -\mu ^{2}\lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\mu \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{E}_{n} \\ 
 \mathbf{0}^{T}
 \end{array}
 \right]$
       
(8.46) $\displaystyle \mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } \\ 
 -\mu ^{2}\lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right]$ $\displaystyle =\mu \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{E}_{n} \\ 
 \mathbf{0}^{T}
 \end{array}
 \right]$

Most már csak össze kell rendezni a (8.40), (8.39) és a (8.46) összefüggéseket, kiindulva a (8.40)-ből:

    $\displaystyle \mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{M\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right] =\mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } \\ 
 -\mu ^{2}\lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right] -\mathbf{H}^{M}\cdot \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x}_{e}^{M\prime } \\ 
 \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right] \mathbf{x}^{MT}$

Ebből pedig a $ \mathbf{H}^{M}$ mátrix invertálhatóságot feltéve az alábbi fontos összefüggést kapjuk:

(8.47) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{M\prime } \\ 
 \mu _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime } \\ 
 -\mu ^{2}\lambda _{\mathbf{w}}^{\prime T}
 \end{array}
 \right] -\left[ 
 \begin{array}{c}
 \mathbf{x}_{e}^{M\prime } \\ 
 \mu _{e}^{\prime }
 \end{array}
 \right] \mathbf{x}^{MT}$

A fenti mátrixalgebrai formában felírt egyenlőséget (8.47 ) Szluckij egyenletnek nevezzük. A Szluckij egyenletnek csupán a keresletekre vonatkozó része mátrixos formában:

(8.48) $\displaystyle \mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{M\prime }=\mathbf{X}_{\mathbf{w}}^{H\prime }-\mathbf{x}_{e}^{M\prime }\cdot \mathbf{x}^{MT}$

Szemléletesebb összefüggést kapunk, ha ezt skaláris formában adjuk meg, amely a következő:

(8.49) $\displaystyle \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial w_{j}}=\underset{\text{Hely. hatás}}{
 \underbrace{\frac{\partial x_{i}^{H}}{\partial w_{j}}}}\underset{\text{Jöv.
 hatás}}{\underbrace{-\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial e}\cdot x_{j}}},\ \
 \ \ \ \ \ \ \ i,j=1,\ldots ,n.$

A (8.49) összefüggést a kereslet Szluckij-féle differenciális felbontásának nevezzük. Azt mutatja, hogy a $ j$ -edik jószág árváltozásának az $ i$ -edik jószág Marshall-féle keresletére gyakorolt hatását hogyan lehet felbontani két összetevőre. Egyik összetevő a helyettesítési hatás, a másik pedig a jövedelemhatás. A helyettesítési hatást a Hicks-féle kompenzált keresletváltozás adja. Ne feledjük, hogy a (8.49) felbontás a differenciális (infinitézimális) árváltozások hatását mutatja, a későbbiekben bemutatjuk a véges árváltozások hatását is.

Példa:

Tekintsük a költségminimalizálási feladat és a volumenmaximalizálási feladat alfejezet végén lévő példát. A példában azonosak voltak az árak és a függvény is azonos volt. A költségminimalizálási feladatban az elérhető hasznosság $ (u)$ egyenlő volt a volumenmaximalizálási feladatbeli maximális hasznossággal $ (v_{\max })$ , ill. a volumenmaximalizálási feladatban az elkölthető jövedelem $ (e)$ egyenlő volt a költségminimalizálási feladatbeli minimális költséggel $ (k_{\min })$ . Ez lehetőséget ad arra, hogy felírjuk a Szluckij egyenletet (8.47), amely általános alakban a következő:

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial w_{2}} \\ 
 \frac{\partial x_{2}^{M}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{2}^{M}}{\partial w_{2}} \\ 
 \frac{\partial \mu }{\partial w_{1}} & \frac{\partial \mu }{\partial w_{2}}\end{array}\right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \frac{\partial x_{1}^{H}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{1}^{H}}{\partial w_{2}} \\ 
 \frac{\partial x_{2}^{H}}{\partial w_{1}} & \frac{\partial x_{2}^{H}}{\partial w_{2}} \\ 
 -\mu ^{2}\frac{\partial \lambda }{\partial w_{1}} & -\mu ^{2}\frac{\partial
 \lambda }{\partial w_{2}}\end{array}\right] -\left[ 
 \begin{array}{c}
 \frac{\partial x_{1}^{M}}{\partial e} \\ 
 \frac{\partial x_{2}^{M}}{\partial e} \\ 
 \frac{\partial \mu }{\partial e}
 \end{array}
 \right] \left[ 
 \begin{array}{cc}
 x_{1}^{M} & x_{2}^{M}
 \end{array}
 \right] ,$

a példákban kiszámított adatokkal:

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 -\frac{2}{3} & 0 \\ 
 0 & -\frac{1}{4} \\ 
 -4 & -2
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 -\frac{4}{15} & \frac{1}{5} \\ 
 \frac{1}{5} & -\frac{3}{20} \\ 
 -4^{2}\frac{1}{20} & -4^{2}\frac{1}{40}
 \end{array}
 \right] -\left[ 
 \begin{array}{c}
 \frac{1}{5} \\ 
 \frac{1}{10} \\ 
 \frac{8}{5}
 \end{array}
 \right] \left[ 
 \begin{array}{cc}
 2 & 1
 \end{array}
 \right] ,$

ellenőrizhető, hogy a két oldal egyenlő. A Szluckij egyenlet keresletekre vonatkozó része (8.48) lehetőséget biztosít az árváltozásnak a keresletre vonatkozó Szluckij-féle differenciális felbontására, amely az alábbi:

(8.50) $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{cc}
 -\frac{2}{3} & 0 \\ 
 0 & -\frac{1}{4}
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{cc}
 -\frac{4}{15} & \frac{1}{5} \\ 
 \frac{1}{5} & -\frac{3}{20}
 \end{array}
 \right] -\left[ 
 \begin{array}{cc}
 \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ 
 \frac{1}{5} & \frac{1}{10}
 \end{array}
 \right] .$

Az adatok értelmezése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, akkor az ennek differenciális hatása az első termék keresletére $ -\frac{2}{3}$ , ebből a helyettesítési hatás $ -\frac{4}{15}$ , a jövedelemhatás pedig $ -\frac{2}{5}$ .

Ha csak a $ w_{2}$ paraméter, azaz a második termék ára változik meg, akkor az ennek differenciális hatása a második termék keresletére $ -\frac{1}{4}$ , ebből a helyettesítési hatás $ -\frac{3}{20}$ , a jövedelemhatás pedig $ -\frac{1}{10}$ .

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, akkor az ennek differenciális hatása a második termék keresletére 0 , ebből a helyettesítési hatás $ +\frac{1}{5}$ , a jövedelemhatás pedig $ -\frac{1}{5}$ .

Ha csak a $ w_{2}$ paraméter, azaz a második termék ára változik meg, akkor az ennek differenciális hatása az első termék keresletére 0 , ebből a helyettesítési hatás $ +\frac{1}{5}$ , a jövedelemhatás pedig $ -\frac{1}{5}$ .

Az utóbbi két állítás alapján tehát a két hatás kioltja egymást.

Az adatok kézzelfoghatóbb értelmezése:

Ha csak a $ w_{1}$ paraméter, azaz az első termék ára változik meg, mondjuk $ \Delta w_{1}$ nagyon kicsi értékkel, akkor az első termék keresletének optimális értéke megközelítőleg $ -\frac{2}{3}\Delta w_{1}$ értékkel változik meg. A felbontás azt jelenti, hogy ebből a változásból $ -\frac{4}{15}\Delta w_{1}$ rész a helyettesítési hatásnak, $ -\frac{2}{5}\Delta w_{1}$ rész pedig a jövedelemhatásnak köszönhető.

A többi hatásfelbontás hasonlóan értelmezhető.

8.5. Kereslet jövedelemtől és áraktól való függése

Főleg a fogyasztás oldaláról vizsgáljuk meg a javak keresletének változását, az alkalmazott szóhasználat is ezt tükrözi, de a termelési tényezők keresletének változását is ugyanígy végezhetjük. A Marshall-féle keresletet vizsgáljuk, hogyan hat az elkölthető jövedelemre, ill. az jószágárakra.

8.5.1. Marshall-féle kereslet függése a jövedelemtől

Közönséges (normális) javak és alacsonyabb rendű (inferior) javak

Közönséges (normális) javaknak azokat nevezzük, amelyek kereslete a kiadási keret növekedésével együtt növekszik.

Azokat a javakat, amelyek kereslete a kiadási keret növekedésével (a jövedelem bizonyos szintjein) csökken, alacsonyabb rendű, más szóval inferior javaknak nevezzük. Inferior javak például azok a csekély minőségű, olcsó élelmiszerek, amelyekről jövedelmünk növekedését követően lemondunk (vagy kevesebbet fogyasztunk), helyettük jobb minőségű (magasabbrendű, superior) termékeket vásárolunk.

Amennyiben a keresleti függvény differenciálható, úgy az osztályozás az alábbi: közönséges jószág, ha $ \frac{\partial x_{i}}{\partial e}>0$ , inferior jószág, ha $ \frac{\partial x_{i}}{\partial e}<0$ .

Differenciálható esetben képezhetjük az $ i$ -edik jószág $ x_{i}(\mathbf{w},e)$ Marshall-féle keresleti függvényének a jövedelemrugalmasságát, amelyet $ \eta
_{i}$ -vel szokás jelölni és az alábbiak szerint írható:

    $\displaystyle \eta _{i}=\frac{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},e)}{\partial e}}{\frac{x_{i}}{e}}.$

Az $ \eta
_{i}$ mennyiséget kereslet-jövedelem rugalmasságnak vagy Engel-rugalmasságnak [Ernst Engel (1821 - 1896) német statisztikus és közgazdász] nevezzük.

Az Engel-rugalmasság szerinti osztályozás alapján: közönséges jószág, ha $ \eta _{i}>0$ , inferior jószág, ha $ \eta _{i}<0$ .

A közönséges javakat az Engel-rugalmasságuk szerint tovább lehet osztályozni aszerint, hogy $ 0<\eta _{i}<1$ , vagy $ \eta _{i}>1$ . A szükséges javak Engel-rugalmassága kisebb $ 1$ -nél, a luxusjavak Engel-rugalmassága pedig nagyobb $ 1$ -nél.

A kereslet jövedelemtől való függésének ábrázolása

Kétféleképpen is ábrázolhatjuk a keresletnek a jövedelemtől való függését. Egyrészt az $ (x_{1},x_{2})$ koordinátarendszerben, az ún. jószágtérben, másrészt pedig olyan koordinátarendszerben, amelynek egyik tengelyén valamelyik jószág kereslete, a másikon pedig a jövedelem szerepel.

Ha a javak árait rögzítjük, az $ e$ jövedelmet változtatjuk, akkor a különböző jövedelmekhez tartozó költségvetési egyenesek a jószágtérben párhuzamosan helyezkednek el. Mint ismeretes, az optimális keresletet adó pontok a közönbösségi görbéknek a költségvetési egyenesekkel való érintési pontjai lesznek. Az optimális keresletet adó pontoknak az együttese által meghatározott görbét jövedelem-fogyasztási görbének nevezzük. Szokásos ICC görbének is nevezni, az angol Income-Consumption Curve kifejezés rövidítéseként.

Szemléletesebb görbéket kapunk a másik fajta ábrázolással. Ha a javak árait rögzítjük, akkor megkapjuk minden jószág Marshall-féle keresleti függvényéből az $ x_{i}=x_{i}(e)$ kereslet-jövedelem függvényeket, amelyeket Engel-függvényeknek is nevezünk. Az Engel-függvények ábrázolásából kapott görbéket Engel-görbéknek nevezzük. Az Engel-görbéknél a vízszintes tengelyen az $ e$ jövedelem, a függőleges tengelyen pedig az $ x_{i}$ kereslet szerepel. Megjegyezzük, hogy gyakran az $ e=e(x_{i})$ inverz függvényeket ábrázoljuk, ezeket jövedelem-kereslet függvényeknek nevezzük. Az inverz függvények ábráit is Engel-görbéknek hívjuk, hiszen azok is a jövedelem és a kereslet kapcsolatát szemléltetik.

Megjegyezzük továbbá azt is, hogy közönséges (normális) jószág esetén az Engel-görbe monoton növekvő. Az inferior jószág esetén a kereslet nem növekszik mindig a jövedelem növekedésével, így olyan inverz Engel-görbe adódik, amelynél egy adott jövedelemszinthez több kereslet is tartozik, tehát ez esetben az Engel-függvény nem egyértékű, így nem is nevezhető függvénynek. Azonban ebben az esetben is használjuk (matematikailag pontatlanul) a megszokott függvény szót.

Az alábbi ábrában két-két görbével szemléltetjük a megismert görbéket. A baloldali ábra a közönséges jószág, a jobboldali ábra pedig az inferior jószág ICC görbéjét, ill. Engel görbéjét (inverz formában) mutatja be. Az ábrákból leolvasható a görbék megszerkesztési módja. Természetesen itt csak a görbék jellegét próbáltuk szemléltetni.

 Image ICC_koz_pixel_100__18 Image ICC_inferior_pixel_100__19  

8.5.2. Marshall-féle kereslet függése az áraktól

Normális jószág és Giffen jószág

Tegyük fel, hogy a $ x_{i}(\mathbf{w},e)$ Marshall-féle keresleti függvény differenciálható, így itt is történhet a vizsgálat a parciális deriváltak használatával. A Marshall-féle keresleti függvénynek kétféle árrugalmasságát különböztetjük meg.

Sajátár rugalmasság:

    $\displaystyle \eta _{ii}=\frac{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},e)}{\partial w_{i}}}{\frac{x_{i}}{w_{i}}}.$

Keresztár-rugalmasság:

    $\displaystyle \eta _{ij}=\frac{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},e)}{\partial w_{j}}}{\frac{x_{i}}{w_{j}}}.$

A sajátár-rugalmasság azt fejezi ki, hogy ha 1%-kal megváltoztatjuk egy adott jószág árát, akkor ugyanannak a jószágnak a kereslete megközelítőleg $ \eta _{ii}\%$ -kal változik meg.

A keresztár-rugalmasság azt fejezi ki, hogy ha 1%-kal megváltoztatjuk a $ j$ -edik jószág árát, akkor az $ i$ -edik jószágnak a kereslete megközelítőleg $ \eta _{ij}\%$ -kal változik meg.

A sajátár-rugalmasság lehet pozitív és negatív is. Normális jószág esetében negatív, tehát ha az ár nő, akkor az iránta való kereslet csökken vagy fordítva. Azokat a javakat, amelyek sajátár-rugalmassága pozitív Giffen-jószágnak [Robert Giffen (1837 - 1910) skót statisztikus és közgazdász] nevezzük. Ezek a javak nem a normálisnak megfelelően érzékenyek az árváltozásra, mivel az árnövekedéskor a kereslet is nő, vagy fordítva. Gondoljunk olyan termékekre (pl. bizonyos borokra), amelyeknek az ára a vásárlók szemében egyben a minőségüket is kifejezi.

A kereslet áraktól való függésének ábrázolása

Kétféleképpen is ábrázolhatjuk a keresletnek az áraktól való függését. Egyrészt az $ (x_{1},x_{2})$ koordinátarendszerben, az ún. jószágtérben, másrészt pedig olyan koordinátarendszerben, amelynek egyik tengelyén valamelyik jószág kereslete, a másikon pedig ugyanannak a jószágnak az ára szerepel.

Ha az $ e$ jövedelmet és az $ i$ -edik jószág árának kivételével a többi jószág árát is rögzítjük, az $ w_{i}$ árat pedig változtatjuk, akkor a különböző árakhoz tartozó költségvetési egyenesek a jószágtérben sugarasan helyezkednek el. Mint ismeretes, az optimális keresletet adó pontok a közönbösségi görbéknek a költségvetési egyenesekkel való érintési pontjai lesznek. Az optimális keresletet adó pontoknak az együttese által meghatározott görbét ár-fogyasztási görbének nevezzük. Szokásos PCC görbének is nevezni, az angol Price-Consumption Curve kifejezés rövidítéseként.

Szemléletesebb görbéket kapunk a másik fajta ábrázolással. Ha az $ e$ jövedelmet és az $ i$ -edik jószág árának kivételével a többi jószág árát is rögzítjük, akkor megkapjuk az $ i$ -edik jószág Marshall-féle keresleti függvényéből az $ x_{i}=x_{i}(w_{i})$ kereslet-ár függvényeket, amelyek ábráit keresleti görbéknek nevezünk. Legtöbb esetben inverz formában, azaz $ w_{i}=w_{i}(x_{i})$ ár-kereslet függvényként ábrázoljuk. Itt is megjegyezhetjük azt, hogy az inverz függvény (ha az eredeti függvény nem monoton) matematikailag nem mindig nevezhető függvénynek. A most megfogalmazott függvények a sajátár-keresleti függvények, természetesen értelmezhetők a fentiek szerint a keresztár-keresleti függvények is. Megjegyezzük, hogy ha keresleti függvényről (görbéről) beszélünk, akkor rendszerint a sajátár-keresleti függvényt (görbét) értünk alatta. Ha szükséges, akkor kihangsúlyozzuk a függvény (görbe) pontos elnevezését.

Az alábbi ábrában két-két görbével szemléltetjük a megismert görbéket. A baloldali ábra a normális jószág, a jobboldali ábra pedig a Giffen jószág PCC görbéjét, ill. keresleti görbéjét (inverz formában) mutatja be. Az ábrákból leolvasható a görbék megszerkesztési módja. Természetesen itt is csak a görbék jellegét próbáltuk szemléltetni.

 Image PCC_normal_pixel_100__20 Image PCC_Giffen_pixel_100__21  

8.5.3. Hicks-féle kereslet függése az áraktól

A költségminimalizálási feladat kapcsán már szó esett a Hicks-féle keresleti függvény parciális deriváltjairól. Ezek segítségével is értelmezhetők a Hicks-féle keresleti függvény kétféle árrugalmassága.

Sajátár rugalmasság:

    $\displaystyle \epsilon _{ii}=\frac{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}}{\frac{x_{i}}{w_{i}}}.$

Keresztár-rugalmasság:

    $\displaystyle \epsilon _{ij}=\frac{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},u)}{\partial w_{j}}}{\frac{x_{i}}{w_{j}}}.$

Az árrugalmasságok számlálóiban a Hicks-féle keresleti függvény parciális deriváltjai szerepelnek, amelyek a sajátár-hatásokat és a keresztár-hatásokat fejezik ki. Ezek a Szluckij-féle helyettesítési mátrixnak (8.9) az elemei. Az ott elmondottak alapján $ \frac{\partial
x_{i}(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}$ deriváltak nem lehetnek pozitívak. Ez azt jelenti, hogy ha egy jószág ára nő, akkor nem nőhet a Hicks-féle kereslete (általában csökken) és fordítva. Továbbá a keresztár-rugalmasságban szereplő deriváltak szimmetrikusak, azaz $ \frac{\partial x_{i}(\mathbf{w},u)}{\partial w_{j}}=\frac{\partial x_{j}(\mathbf{w},u)}{\partial w_{i}}$ . Ez azt jelenti, hogy az $ i$ -edik jószág árának megváltozása ugyanolyan mértékben hat a $ j$ -edik jószág Hicks-féle keresletére, mint a $ j$ -edik jószág árának megváltozása az $ i$ -edik jószág Hicks-féle keresletére.

8.5.4. Giffen jószág és az inferior jószág kapcsola

Az alábbiakban a Giffen jószág és az inferior jószág kapcsolatát mutatjuk be. Igaz az alábbi állítás:

Minden Giffen-jószág egyben inferior-jószág is, de nem minden inferior-jószág Giffen-jószág.

Ezt az állítás a Szluckij-féle felbontás (8.49) összefüggéséből egyszerűen beláthatjuk mivel tudjuk, hogy $ \frac{\partial x_{i}^{H}}{\partial w_{i}}<0$ . Írjuk fel egy táblázatban a $ j=i$ esetben elképzelhető eseteket és ellenőrizzük, hogy fennállhat-e az egyenlet:

    \begin{displaymath}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
 eset & \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial w_{i}} & = & \frac{\partial
 x_{i}^{H}}{\partial w_{i}} & -\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial e}\cdot
 x_{i} & & \\ \hline\hline
 1 & + & \checkmark & - & + & Giffen & inferior \\ \hline
 2 & + & ?? & - & - & Giffen & nem inferior (közönséges) \\ \hline
 3 & - & \checkmark & - & + & nem Giffen (normális) & inferior \\ 
 \hline
 4 & - & \checkmark & - & - & nem Giffen (normális) & nem inferior (közönséges) \\ \hline
 \end{array}\end{displaymath}

Tehát megállapítható, hogy Giffen jószág csak inferior lehet, egy inferior jószág pedig lehet Giffen is és normális is.

Megjegyezzük, hogy a javak közönséges-inferior, normális-Giffen osztályozása nem azt jelenti, hogy egy adott jószágot egyértelműen valamelyik kategóriába soroljuk. Egy adott jószágot lehet egyik vagy másik kategóriába is sorolni, mivel a besorolás függ attól, hogy milyen az árszint, ill. a jövedelemszint.

8.6. Az árhatás felbontása véges árváltozás esetén

Az előzőekben megmutattuk, hogyan lehet felbontani az árak megváltozásának a keresletre gyakorolt differenciális (infinitézimális) hatását. A (8.49) összefüggés tehát azt mutatta meg, hogy valamely jószág árának elemi megváltozásának a keresletre vonatkozó hatását, hogyan lehet felbontani helyettesítési hatásra és jövedelemhatásra. Amennyiben az árak nem elemi módon változnak meg, hanem véges értékkel, akkor már nem egyértelmű a két hatás mérése. Hicks és Szluckij különböző módon értelmezte a hatásokat. Az árváltozásnak ugyanis kettős hatása van:

  1. Egyrészt pl., ha valamelyik jószág ára megváltozik, változik a jószágok kereslete, mást választunk a jószág helyett. Ezt nevezzük helyettesítési hatásnak. Általában kevesebbet vásárolunk, ha az ára nőtt, többet ha csökkent, a lényeg itt az árarányok változása.

  2. Másrészt a kötségvetési keret $ (e)$ nem elég a korábbi jószágkosár eléréséhez, kompenzálni kell a fogyasztót. A nomináljövedelem nem változott ($ e$ azonos maradt, azt nem változtattuk meg, csak az árat), de a jövedelem vásárlóértéke (reáljövedelem) megváltozik, ha valamely jószág ára megváltozik (ha nő az ár, akkor a reáljövedelem csökken, ill. ha csökken az ár, akkor a reáljövedelem nő). Ekkor az árváltozástól függően többet vagy kevesebbet fogyasztunk, így megváltozik a kereslet. Ezt nevezzük jövedelmi hatásnak.

Most bemutatjuk a kétféle mérési módszert, mindkettőben változatlan a reáljövedelem, de Hicks és Szluckij különböző felfogásban értelmezte ezt. Mindkét módszert az első jószág árának a növekedésével mutatjuk be. Jelölje a 0 felső index az eredeti állapotot, az 1 felső index pedig az árváltozás utáni állapotot. Az árváltozás tehát: $ \mathbf{w}^{0}\rightarrow \mathbf{w}^{1}$ , ahol $ w_{1}^{1}>w_{1}^{0},w_{2}^{1}=w_{2}^{0}$ . Az eredeti árhoz tartozó Marshall kereslet: $ \mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)$ , a megváltozott árhoz tartozó Marshall kereslet $ \mathbf{x}^{1}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)$ . Mindkét módszert ábrával is illusztráljuk, az ábrát a módszer szöveges ismertetése elé helyeztük el. Az ábrákban és a szövegben az árváltozás teljes hatását $ Th$ , a helyettesítési hatását $ Hh$ , a jövedelemhatását pedig $ Jh$ jelöli.

8.6.1. Hicks-féle mérés

Image HIcks_hatas__22

Hicks azt mondja, hogy kompenzáljuk a fogyasztót olyan $ \tilde{e}$ jövedelemmel, hogy az $ \mathbf{x}^{0}$ eredeti fogyasztói kosárhoz tartozó $ u^{0}$ hasznossági szintet el tudja érni. Ekkor a kompenzált költségvetési egyenes olyan lesz, hogy párhuzamos az új áraknak megfelelő költségvetési egyenessel és érinti az $ u^{0}$ hasznosságot adó közömbösségi görbét. Az érintési pont legyen $ \mathbf{x}^{H}$ . Ezt a pontot költségminimalizálási feladat segítségével határozhatjuk meg, az érintési pont a költségminimalizálási feladat keresletoptimuma, vagyis a kompenzált vagy Hicks-féle kereslet, azaz $ \mathbf{x}^{H}=\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w}^{1},u^{0})$ . Azért határozzuk meg az $ \mathbf{x}^{H}$ pontot költségminimalizálási feladattal, mert az $ u^{0}$ hasznossági szintet úgy akarja elérni a fogyasztó, hogy a kiadása minimális legyen. A Hicks-féle keresletet ezért nevezik kompenzált keresletnek is.

Az árváltozás teljes hatását az $ \mathbf{x}^{1}$ és $ \mathbf{x}^{0}$ pontok ,,között'' elhelyezkedő $ \mathbf{x}^{H}$ pont bontja fel a következőképpen: $ \mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=(\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{H})+(\mathbf{x}^{H}-\mathbf{x}^{0})$

    $\displaystyle Th=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=\ \underset{Jh}{(\underbrace{\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{H}})}+\ (\underset{Hh}{\underbrace{\mathbf{x}^{H}-\mathbf{x}^{0}}})$

8.6.2. Szluckij-féle mérés

Image Szluckij_hatas__23

Szluckij azt mondja, hogy kompenzáljuk a fogyasztót olyan $ \tilde{e}$ jövedelemmel, hogy az $ \mathbf{x}^{0}$ eredeti fogyasztói kosárat meg tudja vásárolni. Ekkor a kompenzált költségvetési egyenes olyan lesz, hogy párhuzamos az új áraknak megfelelő költségvetési egyenessel és átmegy az $ \mathbf{x}^{0}$ ponton. A fogyasztó a kompenzált költségvetési egyenes által meghatározott tartományon akarja a hasznosságot maximalizálni. A kompenzált költségvetési egyenes egyenlete $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}=\tilde{e}$ . Mivel átmegy az $ \mathbf{x}^{0}$ ponton, így $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}=\tilde{e}$ , tehát a volumenmaximalizálási feladat költségvetési korlátja $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}$ . Legyen a volumenmaximalizálási feladat optimuma $ \mathbf{x}^{S}$ , azaz $ \mathbf{x}^{S}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},\mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0})$ .

Az árváltozás teljes hatását az $ \mathbf{x}^{1}$ és $ \mathbf{x}^{0}$ pontok ,,között'' elhelyezkedő $ \mathbf{x}^{S}$ pont bontja fel a következőképpen: $ \mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=(\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{S})+(\mathbf{x}^{S}-\mathbf{x}^{0})$

    $\displaystyle Th=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=\ \underset{Jh}{(\underbrace{\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{S}})}+\ (\underset{Hh}{\underbrace{\mathbf{x}^{S}-\mathbf{x}^{0}}})$

Összefoglalásképpen táblázatban közöljük a Hicks-féle és a Szluckij-féle mérés esetén megoldandó optimalizálási feladatokat:

    \begin{displaymath}\begin{array}{|cc|cc|}
 \hline
 \mathbf{x}^{0}\text{ meghatározása} & \ \ \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ & \mathbf{x}^{1} \text{ meghatározása} \\ \hline\hline
 f(\mathbf{x})\rightarrow \max ! & & & f(\mathbf{x})\rightarrow \max !
 \\ 
 \mathbf{w}^{0}\mathbf{x}\leqq e & & & \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}\leqq e
 \\ 
 \mathbf{x}\geqq \mathbf{0} & & & \mathbf{x}\geqq \mathbf{0} \\ \hline
 \text{Optimum: }\mathbf{x}^{0}\ ,\ u^{0}=f(\mathbf{x}^{0}) & & & \text{Optimum: } \mathbf{x}^{1}\ \\ \hline
 \end{array}\end{displaymath}

    \begin{displaymath}\begin{array}{|cc|cc|}
 \hline
 \mathbf{x}^{H}\text{ meghatározása} & \ \ \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ & \mathbf{x}^{S} \text{ meghatározása} \\ \hline\hline
 \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}\rightarrow \min ! & & & f(\mathbf{x})\rightarrow \max ! \\ 
 f(\mathbf{x})\geqq u^{0} & & & \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}\leqq \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0} \\ 
 \mathbf{x}\geqq \mathbf{0} & & & \mathbf{x}\geqq \mathbf{0} \\ \hline
 \end{array}\end{displaymath}

Összefoglalásképpen egy másik táblázatban közöljük a Hicks-féle és a Szluckij-féle mérés által kapott felbontást:

    \begin{displaymath}\begin{array}{|c|c|}
 \hline
 \text{Hicks-féle felbontás} & \text{Szluckij-féle felbontás} \\ \hline\hline
 \multicolumn{1}{|l|}{\Delta \mathbf{x}^{Th}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)-\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)} & 
 \multicolumn{1}{|l|}{\Delta \mathbf{x}^{Th}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)-\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)} \\ 
 \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{H}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)-\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w}^{1},u^{0}) & \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{S}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)-\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},\mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}) \\ 
 \multicolumn{1}{|l|}{\Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{H}-\mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w}^{1},u^{0})-\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)} & 
 \multicolumn{1}{|l|}{\Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{S}-\mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},\mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0})-\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)} \\ \hline
 \end{array}\end{displaymath}

Végezetül az alábbi két megjegyzést tesszük. Általában a Szluckij-féle helyettesítési hatás kisebb mint a Hicks-féle helyettesítési hatás. A jövedelemkompenzáció természetesen nem valós (elképzelt), azt a célt szolgálta, hogy kiküszöböljük (kiszűrjük) az árváltozás jövedelmi hatását, így csak az árarányok változásának a hatása érvényesül, és ezt nevezzük helyettesítési hatásnak. Azt, hogy mennyit ,,adtunk'' a fogyasztónak az eredeti $ e$ jövedelmén felül, azt könnyen kiszámíthatjuk, ugyanis $ \tilde{e}=e+\Delta e$ , azaz $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}=\mathbf{w}^{0}\mathbf{x}^{0}+\Delta e$ , amelyből $ \Delta e=$ $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}-\mathbf{w}^{0}\mathbf{x}^{0}=(\Delta \mathbf{wx})^{0}$ .

Feladat:

A jobb megértés végett rajzolja fel azt az esetet, amelyben a második jószág ára növekszik. Rajzolja le gyakorlásképpen azokat az eseteket is, amelyekben az ár csökken.

Példa:

Tekintsük a már megoldott volumenmaximalizálási feladatot! Legyen két termék, amelyek egységára rendre $ 3,4$ pénzegység. Legyen adott továbbá az $ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ hasznossági függvény, amely a termékek mennyiségének függvényében azt fejezi ki, hogy a termékek elfogyasztása mekkora szükségletet elégít ki. Határozzuk meg azt az optimális jószágkosarat, amellyel a legnagyobb hasznosságot érhetjük el úgy, hogy a kiadásunk legfeljebb $ 10$ pénzegység legyen!

Változtassuk meg az első termék árák $ 4$ -re. Bontsuk fel a keresletváltozást Hicks és Szluckij szerint!

Megoldás:

Az alapadatok: $ \mathbf{w}^{0}=(3,4),e=10,f(\mathbf{x})=x_{1}^{3}x_{2}^{2},\mathbf{w}^{1}=(4,4)$

Az optimális kereslet:

$ \mathbf{w}^{0}=(3,4)$ esetén $ \mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)=(2,1)$

$ \mathbf{w}^{1}=(4,4)$ esetén $ \mathbf{x}^{1}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)=(1.5,1)$

A teljes hatás: $ \Delta \mathbf{x}^{Th}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=(1.5,1)-(2,1)=(-0.5,0)$

Hicks-féle felbontás:

Eredeti hasznossági szint: $ u^{0}=v_{\max }=8$ .

Az $ \mathbf{x}^{H}$ pont meghatározása költségminimalizálási feladat segítségével: $ \mathbf{x}^{H}=\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w}^{1},u^{0})=(1.78,1.19)$ .

$ \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{H}=(1.5,1)-(1.78,1.19)=(-0.28,-0.19)$

$ \Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{H}-\mathbf{x}^{0}=(1.78,1.19)-(2,1)=(-0.22,0.19)$

Szluckij-féle felbontás:

Kompenzált költségvetés: $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}=12$ .

Az $ \mathbf{x}^{S}$ pont meghatározása volumenmaximalizálási feladat segítségével: $ \mathbf{x}^{S}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},\mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0})=(1.8,1.2)$ .

$ \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{S}=(1.5,1)-(1.8,1.2)=(-0.3,-0.2)$

$ \Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{S}-\mathbf{x}^{0}=(1.8,1.2)-(2,1)=(-0.2,0.2)$

Láthatjuk, hogy a két hatás nem egyforma, hisz két különböző értelmezésből születtek.

Most számoljuk ki szintén az első termék árváltozásának a hatását és annak felbontását, ha a változás elegendően kicsi, $ \Delta w_{1}=0.01$ .

Az alapadatok: $ \mathbf{w}^{0}=(3,4),e=10,f(\mathbf{x})=x_{1}^{3}x_{2}^{2},\mathbf{w}^{1}=(3.01,4)$

Az optimális kereslet:

$ \mathbf{w}^{0}=(3,4)$ esetén $ \mathbf{x}^{0}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{0},e)=(2,1)$

$ \mathbf{w}^{1}=(3.01,4)$ esetén $ \mathbf{x}^{1}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},e)=(1.9934,1.000)$

A teljes hatás: $ \Delta \mathbf{x}^{Th}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}=(1.9934,1.000)-(2,1)=(-0.0066,0)$

Hicks-féle felbontás:

Eredeti hasznossági szint: $ u^{0}=v_{\max }=8$ .

Az $ \mathbf{x}^{H}$ pont meghatározása költségminimalizálási feladat segítségével: $ \mathbf{x}^{H}=\mathbf{x}^{H}(\mathbf{w}^{1},u^{0})=(1.9973,1.0020)$ .

$ \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{H}=(1.9934,1.000)-(1.9973,1.0020)=(-0.0039,-0.0020)$

$ \Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{H}-\mathbf{x}^{0}=(1.9973,1.0020)-(2,1)=(-0.0027,0.0020)$

Szluckij-féle felbontás:

Kompenzált költségvetés: $ \mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0}=10.02$ .

Az $ \mathbf{x}^{S}$ pont meghatározása volumenmaximalizálási feladat segítségével: $ \mathbf{x}^{S}=\mathbf{x}^{M}(\mathbf{w}^{1},\mathbf{w}^{1}\mathbf{x}^{0})=(1.9973,1.0020)$ .

$ \Delta \mathbf{x}^{Jh}=\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{S}=(1.9934,1.000)-(1.9973,1.0020)=(-0.0039,-0.0020)$

$ \Delta \mathbf{x}^{Hh}=\mathbf{x}^{S}-\mathbf{x}^{0}=(1.9973,1.0020)-(2,1)=(-0.0027,0.0020)$

Mivel az árváltozás elegendően kicsi volt, így a kétféle felbontás megközelítően azonos eredményt adott.

Véges felbontás: $ \frac{\Delta x_{1}}{\Delta w_{1}}=\frac{-0.0066}{0.01}\approx -\frac{0.0027}{0.01}-\frac{0.0039}{0.01}$ , azaz $ -0.66\approx
-0.27-0.39$ .

Mivel az árváltozás elegendően kicsi, így ellenőrizhetjük az árváltozásnak a (8.50) Szluckij-féle differenciális felbontását is:

Differenciális felbontás: $ \frac{\partial x_{1}}{\partial w_{1}}=-\frac{2}{3}=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$ ,azaz $ 0.6666\dot{6}=-0.2666\dot{6}-0.4.$

Láthatjuk, hogy elegendően kicsi árváltozásra a véges felbontásból adódó közös eredmény megközelítőleg azonos a differenciális felbontással.

9. Leontief-féle input-output modell

9.1. A modell definiálása és elemzése

Tekintsünk egy gazdaság termelési modelljét, amelyben különböző szektorok (termelőágazatok, termelési folyamatok) különböző termékek előállításával foglalkoznak. Tételezzük fel, hogy a modellben a termékek és a szektorok (termelőágazatok) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Ezt a fajta termelési modellt Leontief-féle input-output modellnek nevezzük. Tehát az alábbi fontos feltevésekkel élünk:

- minden terméket egyetlenegy szektor (termelési folyamat) állít elő és fordítva,

- minden szektor (termelési folyamat) csak egyetlenegy terméket termel.

A gazdasági javakat két nagy csoportba soroljuk:

  1. Termékek (újratermelhető javak)
    lehetséges felhasználási területük:
    - termelő (közbenső) felhasználás
    - végső felhasználás (fogyasztás, felhalmozás)

  2. Elsődleges erőforrások (nem újratermelhető javak)

A szektorok, amelyek a termékeket gyártják, a termelés során felhasználnak termékeket és elsődleges erőforrásokat.

Feltételezzük, hogy a ráfordítások szintje (inputok) egyenes arányban változik a termelés szintjével (output), így a ráfordításokat egységnyi szintű termelésre lehet vonatkoztatni.

A termékek termeléséhez szükséges termékfelhasználást (ráfordítást) is és az elsődleges erőforrás-felhasználást (ráfordítást) is egy-egy mátrix segítségével adjuk meg. Jelölje a termékek közvetlen ráfordítási mátrixát az $ \mathbf{R}$ mátrix, az elsődleges erőforrások közvetlen ráfordítási mátrixát pedig a $ \mathbf{D}$ mátrix. Az $ \mathbf{R}$ mátrix $ r_{ij}$ eleme azt mutatja, hogy a $ j$ -edik szektor ($ S_{j}$ ) az általa előállított termék egységének előállításához az $ i$ -edik termékből ($ T_{i}$ ) mennyit használ fel közvetlenül. A $ \mathbf{D}$ mátrix $ d_{ij}$ eleme azt mutatja, hogy a $ j$ -edik szektor ($ S_{j}$ ) az általa előállított termék egységének előállításához az $ i$ -edik elsődleges erőforrásból mennyit használ fel közvetlenül.

Mivel kölcsönösen egyértelmű a kapcsolat a szektorok és a termékek között, ezért az általánosság megsértése nélkül mondhatjuk azt, hogy a $ S_{1}$ szektor a $ T_{1}$ , az $ S_{2}$ szektor a $ T_{2}$ termék előállításával, stb. foglalkozik. Innentől kezdve a szektorok helyett termékeket is mondhatunk. Ebben a megfogalmazásban az $ r_{ij}$ elem azt mutatja, hogy a $ j$ -edik termék $ (T_{j})$ egységének előállításához az $ i$ -edik termékből $ (T_{i})$ mennyi a közvetlen felhasználás. Az $ \mathbf{R}$ mátrix $ i$ -edik sorvektora $ (\mathbf{r}^{(i)})$ azt mutatja, hogy a termelés során az $ i$ -edik termékből közvetlenül mennyit használnak fel az egyes termékek előállításához. Az $ \mathbf{R}$ mátrix $ j$ -edik oszlopvektora $ (\mathbf{r}_{j})$ pedig azt jelzi, hogy a termelés során a $ j$ -edik termék előállításához az egyes termékekből mennyit használnak fel. A termékek száma legyen $ n$ , az elsődleges erőforrások száma pedig $ m$ , így írható, hogy $ \mathbf{R}\in \mathbb{R}^{n\times n},\mathbf{D}\in \mathbb{R}^{m\times n}$ . A termékeket és az elsődleges erőforrásokat, ill. az $ \mathbf{R}$ és $ \mathbf{D}$ mátrixot az alábbi sémában közöljük.

Image tabl_1
A fő vizsgálatunk a termék-termék kapcsolatra fog vonatkozni, ehhez az $ \mathbf{R}$ mátrix lesz a vizsgálódásunk fókuszában. Felhívjuk a figyelmet az $ \mathbf{R}$ mátrix definíciójára, oszlopai az előállított termékekre (szektorokra), sorai pedig a felhasznált termékekre vonatkoznak. Fordítva is lehetett volna definiálni, akkor az alábbi vizsgálatokban levezetett képleteknek hasonló, de más formája lenne!

Adott a szektorok termelése (kibocsátása), jelölje ezt a $ \mathbf{q}$ vektor, továbbá adott a termékek egységára (röviden ára), jelölje ezt a $ \mathbf{p}$ vektor. A $ q_{j}$ a $ j$ -edik termékből $ (T_{j})$ a bruttó kibocsátást jelenti, a $ \mathbf{q}$ vektort a bruttó kibocsátás vektorának nevezzük. A $ p_{i}$ az $ i$ -edik termék $ (T_{i})$ egységára. Az $ \mathbf{R}$ mátrixot és a $ \mathbf{p},\mathbf{q}$ vektorokat az alábbi sémában is közöljük, amely remélhetőleg majd megkönnyíti a következőkben elvégzendő modell-elemzést. Több kérdést is felvethetünk, amelyekre a választ mátrixműveletekkel fogjuk megadni.

    \begin{displaymath}\begin{array}{cccccccc}
 \cline{3-8}
 & & \multicolumn{1}{|c}{q_{1}} & q_{2} & \cdots & q_{j} & \cdots 
 & \multicolumn{1}{c|}{q_{n}} \\ \cline{3-8}
 & & T_{1} & T_{2} & \cdots & T_{j} & \cdots & T_{n} \\ 
 \cline{1-1}\cline{3-8}
 \multicolumn{1}{|c|}{p_{1}} & \multicolumn{1}{|c}{T_{1}} & 
 \multicolumn{1}{|c}{r_{11}} & r_{12} & \cdots & r_{1j} & \cdots 
 & \multicolumn{1}{c|}{r_{1n}} \\ 
 \multicolumn{1}{|c|}{p_{2}} & \multicolumn{1}{|c}{T_{2}} & 
 \multicolumn{1}{|c}{r_{21}} & r_{22} & \cdots & r_{2j} & \cdots 
 & \multicolumn{1}{c|}{r_{2n}} \\ 
 \multicolumn{1}{|c|}{\vdots } & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & 
 \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & \vdots & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 \multicolumn{1}{|c|}{p_{i}} & \multicolumn{1}{|c}{T_{i}} & 
 \multicolumn{1}{|c}{r_{i1}} & r_{i2} & \cdots & r_{ij} & \cdots 
 & \multicolumn{1}{c|}{r_{in}} \\ 
 \multicolumn{1}{|c|}{\vdots } & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & 
 \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & \vdots & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 \multicolumn{1}{|c|}{p_{n}} & \multicolumn{1}{|c}{T_{n}} & 
 \multicolumn{1}{|c}{r_{n1}} & r_{n2} & \cdots & r_{nj} & \cdots 
 & \multicolumn{1}{c|}{r_{nn}} \\ \cline{1-1}\cline{3-8}
 \end{array}\end{displaymath}

1. Anyagköltség mátrix

Arra vagyunk kiváncsiak, hogy mennyi a közvetlen felhasználás pénzben kifejezve. Ha az $ \mathbf{R}$ mátrix mindegyik sorvektorát megszorozzuk a megfelelő termék árával, akkor a keletkező $ \mathbf{B}$ mátrix $ b_{ij}$ eleme azt mutatja, hogy a $ j$ -edik termék egységének előállításához az $ i$ -edik termékből hány pénzegység értékű mennyiséget használunk fel közvetlenül. Ezt a $ \mathbf{B}$ mátrixot nevezzük anyagköltség mátrixnak. Ismeretes, hogy egy ilyen műveletet egy diagonális mátrix-szal való balról szorzással lehet előállítani. A $ \mathbf{p}$ árvektor elemeiből készítsünk egy diagonális $ \mathbf{P}$ mátrixot (ármátrix) és ha ezzel balról megszorozzuk az $ \mathbf{R}$ mátrixot, akkor az anyagköltség mátrixot kapjuk, azaz $ \mathbf{B}=\mathbf{PR}$ , vagy vektorosan $ \mathbf{B}=<\mathbf{p}>\mathbf{R}$ . Az anyagköltség mátrix ismeretében a közvetlen ráfordítás mátrixot az $ \mathbf{R}=\mathbf{P}^{-1}\mathbf{B}$ vagy vektorosan $ \mathbf{R}=<\mathbf{p}>^{-1}\mathbf{B}$ összefüggéssel számíthatjuk ki.

2. Bruttó termeléshez tartozó közvetlen ráfordítás mátrix

Ha az $ \mathbf{R}$ mátrix mindegyik oszlopvektorát megszorozzuk a megfelelő bruttó termeléssel, akkor a keletkező $ \mathbf{C}$ mátrix $ c_{ij}$ eleme azt mutatja, hogy a $ j$ -edik termék bruttó termelésének megfelelő mennyiségű termék előállításához az $ i$ -edik termékből mennyit használunk fel közvetlenül. Ismeretes, hogy egy ilyen műveletet egy diagonális mátrix-szal való jobbról szorzással lehet előállítani. A $ \mathbf{q}$ bruttó termelés vektor elemeiből készítsünk egy diagonális $ \mathbf{Q}$ mátrixot és ha ezzel jobbról megszorozzuk az $ \mathbf{R}$ mátrixot, akkor a $ \mathbf{C}$ mátrixot kapjuk, azaz $ \mathbf{C}=\mathbf{RQ}$ , vagy vektorosan $ \mathbf{C}=\mathbf{R}<\mathbf{q}>$ .

3. Bruttó termeléshez tartozó nettó kibocsátás

Az $ \mathbf{R}$ közvetlen ráfordítás mátrix $ \mathbf{r}_{j}$ oszlopvektora azt mutatja meg, hogy a $ j$ -edik termék egységének előállításához az egyes termékekből közvetlenül mennyit használnak fel. Ha a $ j$ -edik termékből $ q_{j}$ mennyiséget termelnek (állítanak elő), akkor a közvetlen felhasználás vektora $ q_{j}\mathbf{r}_{j}$ . A felhasználás a többi termékre is hasonlóan írható fel, így a $ \mathbf{q}$ bruttó termeléshez a felhasználás vektora

    $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}q_{j}\mathbf{r}_{j},$

azaz az $ \mathbf{R}$ mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja, amely a $ \mathbf{Rq}$ szorzásnak felel meg. Ha tehát a $ \mathbf{q}$ bruttó termeléshez $ \mathbf{Rq}$ mennyiséget felhasználunk, akkor a nettó termelés, vagy nettó kibocsátás vektora $ \mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ . Jelölje a nettó kibocsátást a $ \mathbf{v}$ vektor, így $ \mathbf{v}=\mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ .

A nettó kibocsátás tehát megmutatja, hogy a termelés során felhasznált termékek után a termékekből mennyi marad ún. végső felhasználási célokra (fogyasztásra, felhalmozásra).

A $ \mathbf{v}=\mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ formulához az alábbi okoskodással is hozzájuthatunk. Ha az $ i$ -edik termék közvetlen felhasználás $ \mathbf{r}^{(i)}$ sorvektorát skalárisan megszorozzuk a $ \mathbf{q}$ vektorral, akkor ez a mennyiség megadja, hogy a $ \mathbf{q}$ termeléshez mennyit használunk fel az $ i$ -edik termékből. A $ \mathbf{b}^{(i)}\mathbf{q}$ mennyiségek vektorát pedig a $ \mathbf{Rq}$ szorzással kapjuk.

4. Nettó kibocsátáshoz tartozó bruttó termelés

A $ \mathbf{v}=\mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ összefüggésből induljunk ki és ebből rendezéssel fejezzük ki a $ \mathbf{q}$ vektort. A következők adódnak: $ \mathbf{v}=\mathbf{q}-\mathbf{Rq}=\mathbf{Eq-Rq}=(\mathbf{E-R})\mathbf{q}$ . A $ \mathbf{q}$ vektor ebből a $ \mathbf{q}=(\mathbf{E-R})^{-1}\mathbf{v}$ formulával számítható, amennyiben létezik az inverzmátrix. Az inverz létezésének vizsgálatával később fogunk foglalkozni. Az $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ inverzmátrixnak nagy jelentősége van a modellben, ezért ezt Leontief-féle inverznek nevezik és $ \mathbf{T}$ -vel jelölik, ahol tehát

(9.1) $\displaystyle \mathbf{T}=(\mathbf{E-R})^{-1},$

így a bruttó termelés és a nettó termelés közötti kapcsolatot a

    $\displaystyle \mathbf{q}=\mathbf{Tv},\ \ \ $   ill. a  $\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{q-Rq=T}^{-1}\mathbf{q}$

formulák adják. Az $ \mathbf{E-R}$ mátrixot Leontief-féle mátrixnak nevezzük, amelynek azonban kevésbé fontos jelentősége van.

5. Az egyes termékek egységnyi mennyiségű előállítása során keletkező hozzáadott érték vagy nettó érték

Az $ \mathbf{R}$ közvetlen ráfordítás mátrix $ \mathbf{r}^{(i)}$ sorvektora megmutatja, hogy az $ i$ -edik termékből mennyit használnak fel az egyes termékek egységnyi mennyiségének előállításához. Ha az $ i$ -edik termék egységára $ p_{i}$ , akkor felhasználás pénzbeli értéke $ p_{i}\mathbf{r}^{(i)}$ . A pénzben kifejezett felhasználás a többi termékre is hasonlóan írható fel, így a $ \mathbf{p}$ árvektorhoz a pénzbeli felhasználás vektora

    $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_{i}\mathbf{r}^{(i)},$

azaz az $ \mathbf{R}$ mátrix sorvektorainak lineáris kombinációja, amely a $ \mathbf{pR}$ szorzásnak felel meg. A $ \mathbf{p}$ árrendszer esetén a pénzben kifejezett felhasználás tehát $ \mathbf{pR}$ , a kettő különbsége a keletkező hozzáadott érték vagy nettó érték. A hozzáadott érték vektora $ \mathbf{p-pR}$ . Jelölje a hozzáadott értéket a $ \mathbf{h}$ vektor, így $ \mathbf{h}=\mathbf{p-pR}$ .

A hozzáadott érték tehát megmutatja, hogy az egyes termékek egységnyi mennyiségű előállítása során felhasznált anyagköltségéhez mennyi értéket kell hozzáadni, hogy megkapjuk a termékek árát.

A $ \mathbf{h}=\mathbf{p-pR}$ formulához az alábbi okoskodással is hozzájuthatunk. Ha a $ \mathbf{p}$ árvektort skalárisan megszorozzuk a $ j$ -edik termék közvetlen felhasználás vektorával, az $ \mathbf{r}_{j}$ oszlopvektorral, akkor ez a mennyiség megadja, hogy a $ \mathbf{p}$ árak mellett pénzben kifejezve mennyit használunk fel a $ j$ -edik termékhez. A $ \mathbf{pr}_{j}$ mennyiségek vektorát pedig a $ \mathbf{pR}$ szorzással kapjuk.

6. A hozzáadott értékhez tartozó árvektor

A $ \mathbf{h}=\mathbf{p-pR}$ összefüggésből induljunk ki és ebből rendezéssel fejezzük ki a $ \mathbf{p}$ vektort. A következők adódnak: $ \mathbf{h}=\mathbf{p-pR}=\mathbf{pE-pR}=\mathbf{p}(\mathbf{E-R})$ . A $ \mathbf{p}$ vektor ebből a $ \mathbf{p}=\mathbf{h}(\mathbf{E-R})^{-1}$ formulával számítható. Itt láthatjuk az $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ Leontief-féle inverz jelentőségét.

Az árrendszer és a hozzáadott érték közötti kapcsolatot a

    $\displaystyle \mathbf{p=hT},$   ill. a$\displaystyle \qquad\mathbf{h=p-pR}=\mathbf{pT}^{-1}$

formulák adják.

7. A közvetlen ráfordítások különböző formája

Az alapértelmezés mellett még három értelmezést is használhatunk. Mindegyik értelmezésben a közvetlen ráfordításokat kapjuk.

  1. Az első értelmezést (alapértelmezést) a fejezet elején ismertettük. A lényege az, hogy az egyes termékek egységnyi mennyiségű előállításához a többi termékből hány egységet használunk fel. Tehát ebben az értelmezésben azt adjuk meg, hogy a természetes egységhez mennyi a közvetlen felhasználás természetes egységben kifejezve. A közvetlen felhasználás mátrixa $ \mathbf{R}$ .

  2. A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy természetes egységhez mennyi a közvetlen felhasználás pénzegységben kifejezve. A közvetlen felhasználás mátrixa $ \mathbf{B}=\mathbf{PR}$ vagy $ \mathbf{B}=<\mathbf{p}>\mathbf{R}$ , amit a 2. kérdésnél mutattunk be, ez az értelmezés is szokásos, ahogy említettük, anyagköltségnek is szokás nevezni.

  3. A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy a pénzegységhez mennyi a felhasználás természetes egységben kifejezve. Tekintsük a $ j$ -edik terméket. Egy természetes egységnyi mennyiség előállításához a többi termékből a természetes egységben kifejezett felhasználást a $ \mathbf{r}_{j}$ oszlopvektor mutatja. Ha nem természetes egységnyi mennyiség előállításához akarjuk meghatározni a felhasználást, hanem pénzbelihez, akkor a $ j$ -edik oszlop minden elemét el kell osztani a $ j$ -edik termék árával, vagy más szóval meg kell szorozni a $ j$ -edik termék árának reciprokával. Ezt az műveletet minden oszlopra kiterjesztve egy diagonális mátrix-szal való jobbról szorzás adja, amelyre a $ \mathbf{P}^{-1}$ mátrix alkalmas. A közvetlen felhasználás mátrixa tehát $ \mathbf{F}=\mathbf{RP}^{-1}$ vagy $ \mathbf{F}=\mathbf{R}<\mathbf{p}>^{-1}$ .

  4. A közvetlen ráfordítást úgy is értelmezhetjük, hogy egy pénzegységnyi mennyiséghez mennyi a felhasználás pénzegységben kifejezve. A közvetlen felhasználás mátrixa $ \mathbf{A}=\mathbf{PRP}^{-1}$ , vagy $ \mathbf{A}=<\mathbf{p}>\mathbf{R}<\mathbf{p}>^{-1}$ , amely azonnal adódik a 2. és a 3. értelmezésből.

Összefoglalva: az $ \mathbf{R}$ mátrix elemeinek mértékegysége t.m./t.m., a $ \mathbf{B}$ mátrix elemeinek mértékegysége p.m./t.m., az $ \mathbf{F}$ mátrix elemeinek mértékegysége t.m./p.m., az $ \mathbf{A}$ mátrix elemeinek mértékegysége p.m./p.m., ahol t.m.=természetes mennyiség, ill. p.m.= pénzmennyiség. A legritkábban a 3. pontbeli értelmezést használják.

8. A Leontief-féle inverz különböző értelmezése

A Leontief-féle inverz: $ \mathbf{T}=(\mathbf{E}-\mathbf{R})^{-1}$ , amelynek az alábbi három értelmezését adjuk:

  1. Induljunk ki a bruttó termelés és a nettó termelés közötti kapcsolatot kifejező $ \mathbf{q}=\mathbf{Tv}$ formulából. Ha $ \mathbf{v}=\mathbf{e}_{j}$ , akkor $ \mathbf{q}=\mathbf{Te}_{j}=\mathbf{t}_{j}$ . Ebből a következő olvasható ki: A $ \mathbf{T}$ mátrix $ \mathbf{t}_{j}$ oszlopvektora azt a bruttó termelést adja, amely ahhoz szükségeltetik, hogy a $ j$ -edik termékből egységnyi a nettó kibocsátás, a többi termékből pedig zérus. Tehát a $ \mathbf{T}$ mátrix ezen értelmezése szerint speciális nettó kibocsátásokhoz szükséges bruttó termeléseket mutatja, mégpedig oszloponként.

  2. Induljunk ki az árrendszer és a hozzáadott érték közötti kapcsolatot kifejező $ \mathbf{p}=\mathbf{hT}$ formulából. Ha $ \mathbf{h}=\mathbf{e}^{(i)} $ , akkor $ \mathbf{p}=\mathbf{e}^{(i)}\mathbf{T}=\mathbf{t}^{(i)}$ . Ebből a következő olvasható ki: A $ \mathbf{T}$ mátrix $ \mathbf{t}^{(i)}$ sorvektora azt az árrendszert adja, amely esetén az $ i$ -edik termékben egységnyi a hozzáadott érték, a többi termékben pedig zérus. Tehát a $ \mathbf{T}$ mátrix ezen értelmezése szerint speciális hozzáadott értékekhez adja meg az árrendszert, mégpedig soronként.

  3. Ennél az értelmezésnél az alábbi okoskodással élünk.
    Ha $ \mathbf{v}$ mennyiséget termelünk, akkor ehhez $ \mathbf{Rv}$ mennyiséget fel kell használni, amit meg kell termelni. Viszont az $ \mathbf{Rv}$ termeléséhez $ \mathbf{R}(\mathbf{Rv})$ mennyiséget kell felhasználni, amit szintén meg kell termelni. Az $ \mathbf{R}(\mathbf{Rv})$ termeléséhez $ \mathbf{R}(\mathbf{R}(\mathbf{Rv}))$ mennyiséget kell felhasználni, amit szintén meg kell termelni. A fenti gondolatmenetet folytatva a $ \mathbf{q}$ bruttó termelést a

        $\displaystyle \mathbf{q}=\mathbf{v}+\mathbf{Rv}+\mathbf{R}(\mathbf{Rv})+\mathbf{R}(\mathbf{R}(\mathbf{Rv}))+\ldots$

    formula írja le, amelyet átrendezve az alábbi használható formulát nyerjük:

        $\displaystyle \mathbf{q}=(\mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\mathbf{R}^{3}+\ldots \ )\mathbf{v}.$

    Ha ezt összevetjük a $ \mathbf{q}=\mathbf{Tv}$ összefüggéssel, akkor azt kapjuk, hogy

    (9.2) $\displaystyle \mathbf{T}=\mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\mathbf{R}^{3}+\ldots$

    Itt egy pillanatra meg kell állni. Két kérdés is felmerülhet az olvasóban. A fenti ún. Neumann-féle hatványsor konvergens-e és ha konvergens, akkor vajon a Leontief- inverz lesz-e a hatványsor összege. Ezekre a fontos kérdésekre a későbbiekben visszatérünk.
    Az alábbiakban vizsgáljuk meg a közvetlen ráfordítás mátrix hatványait, először az $ \mathbf{R}^{2}$ -et vizsgáljuk. Az $ \mathbf{R}^{2}=\mathbf{RR}$ szorzatmátrix $ ij$ elemét jelöljük $ (\mathbf{RR})_{ij}$ -vel. Az $ (\mathbf{RR})_{ij}$ pedig az alábbi szerint részletezhető:

        $\displaystyle (\mathbf{RR})_{ij}=\mathbf{r}^{(i)}\mathbf{r}_{^{j}}=r_{i1}\cdot
 r_{1j}+r_{i2}\cdot r_{2j}+r_{i3}\cdot r_{3j}+\ldots +r_{in}\cdot r_{nj}.$

    Ezt a szorzatot értelmezzük: Az egységnyi $ T_{j}$ termékhez a $ T_{1}$ termékből $ r_{1j}$ mennyiséget használunk fel, viszont az egységnyi $ T_{1}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből $ r_{i1}$ mennyiséget használunk fel, ez azt jelenti, hogy az egységnyi $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből a felhasználás $ r_{i1}\cdot r_{1j}$ mennyiség. Tehát a $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből a $ T_{1}$ terméken keresztüli, nem közvetlen, áttételes felhasználás $ r_{i1}\cdot r_{1j}$ . A fenti képlet második tagja pedig - az előbbiek szerint - azt fejezi ki, hogy a $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből a $ T_{2}$ terméken keresztüli, áttételes felhasználás $ r_{i2}\cdot r_{2j}$ . Hasonlóan mindegyik tag a $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből történő felhasználást fejezi ki más-más áttételen keresztül. Ezek összege adja $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből az összes, egyetlen terméken keresztüli (egy áttételes) felhasználást. Ezt a felhasználást közvetett felhasználásnak nevezzük. A $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből a közvetlen felhasználás, mint tudjuk $ r_{ij}$ . Ha ez zérus, azaz $ T_{j}$ és $ T_{i}$ között nincs közvetlen felhasználás, akkor még lehet köztük közvetett felhasználás.
    Összefoglalva tehát az $ \mathbf{R}^{2}$ mátrix is felhasználást fejez ki, de nem közvetlen felhasználást, hanem egyetlen terméken keresztüli közvetett felhasználást.
    Az egy terméken keresztüli közvetett felhasználást az alábbi ábrával szemléltetjük:
    Image leontief_1__24

    Az $ \mathbf{R}^{3}$ mátrix elemeinek vizsgálata ennek ismeretében már egyszerű lesz. Az $ \mathbf{R}^{3}=\mathbf{R}^{2}\mathbf{R}$ szorzatmátrix $ ij$ elemét jelöljük $ (\mathbf{R}^{2}\mathbf{R})_{ij}$ -vel, amely a következőképpen részletezhető:

        $\displaystyle (\mathbf{R}^{2}\mathbf{R})_{ij}=(\mathbf{RR})^{(i)}\mathbf{r}_{j}=(\mathbf{RR})_{i1}\cdot r_{1j}+(\mathbf{RR})_{i2}\cdot r_{2j}+\ldots +(\mathbf{RR})_{ik}\cdot r_{kj}+\ldots +(\mathbf{RR})_{in}\cdot r_{nj}.$

    Az összegben mindegyik tag a $ T_{j}$ és $ T_{i}$ közötti közvetett felhasználást mutatja, de két áttételen keresztül. Az $ (\mathbf{RR})_{ik}\cdot r_{kj}$ tag jelentése: Az egységnyi $ T_{j}$ -hez a $ T_{k}$ -ból közvetlenül $ r_{kj}$ mennyiséget használunk fel, viszont az egységnyi $ T_{k}$ -hoz a $ T_{i}$ -ből $ (\mathbf{RR})_{ik}$ mennyiséget használunk fel, de nem közvetlenül, hanem egy-egy termék közvetítésével, ez azt jelenti, hogy az egységnyi $ T_{j}$ termékhez a $ T_{i}$ termékből a felhasználás $ (\mathbf{RR})_{ik}\cdot r_{kj}$ mennyiség, de ez nem közvetlen felhasználás, hanem két áttételen keresztüli közvetett felhasználás.
    Összefoglalva tehát a $ \mathbf{R}^{3}$ mátrix is felhasználást fejez ki, de nem közvetlen felhasználást, hanem két terméken keresztüli közvetett felhasználást.

A két terméken keresztüli közvetett felhasználást az alábbi ábrával szemléltetjük:

Image leontief_2__25

Hasonlóan értelmezhető a többi hatvány is: Az $ \mathbf{R}^{k}$ mátrix a $ (k-1)$ terméken keresztüli közvetett felhasználást fejezi ki.

A $ \mathbf{T}=(\mathbf{E}-\mathbf{R})^{-1}$ Leontief-féle inverz tehát a közvetlen és a közvetett kapcsolatok összességét fejezi ki, ezért szokás teljes ráfordítás mátrixnak is nevezni.

9.2. Példamegoldás. Feladat

Példa:

Egy üzem három termékkel foglalkozik. Az első termék egységének előállításához a második termékből négyet használ fel közvetlenül. A harmadik termék egységének előállításához az első termékből kettőt, a második termékből hetet használ fel közvetlenül. A termékek bruttó termelése rendre 8, 60, 2. A termékek egységára rendre 45, 8, 150.

a) Írja fel a közvetlen ráfordítások mátrixát!

b) Határozza meg a Leontief-féle inverzmátrixot!

c) Határozza meg azt a mátrixot, amely az egységnyi mennyiségű termelésre vonatkoztatva pénzegységben fejezi ki a közvetlen ráfordításokat!

d) Határozza meg azt a vektort, amely a bruttó termeléshez felhasznált termékmennyiségeket mutatja!

e) Határozza meg a termékegységre eső hozzáadott érték vektorát!

f) Értelmezze a Leontief-féle inverzmátrix harmadik oszlopvektorának elemeit!

g) Értelmezze a Leontief-féle inverzmátrix harmadik oszlopvektorának második elemét!

Megoldás:

a) Célszerű először az adatokat egy sémában felrajzolni, ahová a termékneveket is beírhatjuk. Ebből a sémából a közvetlen ráfordítási mátrix már egyszerűen felírható. Természetesen séma nélkül sem bonyolult a mátrix felírása. Az $ \mathbf{R}$ mátrix $ r_{ij}$ eleme a $ j$ -edik termék egységének előállításához az $ i$ -edik termékből $ (T_{i})$ a közvetlen felhasználást mutatja, így az első oszlop második eleme $ 4$ , a harmadik oszlop első eleme $ 2$ , a második pedig $ 7$ , a többi elem pedig zérus. Ha nem a fenti módon értelmezzük a mátrixot, hanem az oszlopokat felcseréljük, akkor a képleteink nem a megadott módon használhatók, ezért ügyeljünk a helyes felírásra. Az $ \mathbf{R}$ közvetlen ráfordítás mátrix:

    \begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
 & T_{1} & T_{2} & T_{3} \\ \cline{2-4}
 T_{1} & \multicolumn{1}{|c}{0} & 0 & \multicolumn{1}{c|}{2} \\ 
 T_{2} & \multicolumn{1}{|c}{4} & 0 & \multicolumn{1}{c|}{7} \\ 
 T_{3} & \multicolumn{1}{|c}{0} & 0 & \multicolumn{1}{c|}{0} \\ 
 \cline{2-4}
 \end{array}
 \ ,\ \ \ \ \ \mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 0 & 0 & 2 \\ 
 4 & 0 & 7 \\ 
 0 & 0 & 0
 \end{array}
 \right] .\end{displaymath}

b) A $ \mathbf{T}$ Leontief-féle inverzmátrixot az $ \mathbf{E}-\mathbf{R}$ mátrix invertálásával kapjuk, az invertálást többféleképpen is elvégezhetjük, pl. pivotálással is

    $\displaystyle \mathbf{E}-\mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 1 & 0 & -2 \\ 
 -4 & 1 & -7 \\ 
 0 & 0 & 1
 \end{array}
 \right] \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \mathbf{T}=\left( \mathbf{E}-\mathbf{R}\right) ^{-1}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 2 \\ 
 4 & 1 & 15 \\ 
 0 & 0 & 1
 \end{array}
 \right] .$

c) A $ \mathbf{B}=\mathbf{PR}$ anyagköltség mátrix fejezi ki pénzegységben a közvetlen ráfordításokat az egységnyi mennyiségű termelésre vonatkoztatva. A művelet elvégzéséhez felírjuk a $ \mathbf{p}$ árvektort, majd a termékárakból a diagonális $ \mathbf{P}$ vagy $ <\mathbf{p}>$ ármátrixot, majd elvégezzük a mátrixszorzást.

    $\displaystyle \mathbf{p}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 45 \\ 
 8 \\ 
 150
 \end{array}
 \right] \ \ \rightarrow \ \ \mathbf{P}=<\mathbf{p}>=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 45 & 0 & 0 \\ 
 0 & 8 & 0 \\ 
 0 & 0 & 150
 \end{array}
 \right] \ \ \rightarrow \ \ \mathbf{B}=\mathbf{PR}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 0 & 0 & 90 \\ 
 32 & 0 & 56 \\ 
 0 & 0 & 0
 \end{array}
 \right] .$

d) A bruttó termeléshez felhasznált termékmennyiségeket az $ \mathbf{Rq}$ vektor adja.

    $\displaystyle \mathbf{q}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 8 \\ 
 60 \\ 
 2
 \end{array}
 \right] \ \ \rightarrow \ \ \mathbf{Rq}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 4 \\ 
 46 \\ 
 0
 \end{array}
 \right] .$

e) Először ki kell számítani a $ \mathbf{pR}$ pénzben kifejezett ráfordítást, majd ebből a termékegységre eső hozzáadott érték $ \mathbf{h}$ vektorát a $ \mathbf{h}=\mathbf{p}-\mathbf{pR}$ formulával számíthatjuk.

    $\displaystyle \mathbf{h}=\mathbf{p}-\mathbf{pR}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 45 \\ 
 8 \\ 
 150
 \end{array}
 \right] -\left[ 
 \begin{array}{c}
 32 \\ 
 0 \\ 
 146
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 13 \\ 
 8 \\ 
 4
 \end{array}
 \right] .$

f) A $ \mathbf{T}$ Leontief-féle inverzmátrix harmadik oszlopvektora azt a bruttó termelést mutatja, amelyet akkor kapunk, ha a harmadik termékből 1, a másik kettőből pedig zérus a nettó kibocsátás.

    $\displaystyle \mathbf{t}_{3}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 2 \\ 
 15 \\ 
 1
 \end{array}
 \right] .$

g) A $ \mathbf{T}$ Leontief-féle inverzmátrix $ t_{23}=15$ eleme a harmadik termékhez a második termékből a közvetlen és a közvetett felhasználás összegét mutatja. A közvetlen felhasználás $ 7$ . A közvetett pedig az alábbiak szerint adódik: a harmadik termékhez az elsőből közvetlenül $ 2$ -t használunk fel, viszont az elsőhöz a második termékből $ 4$ -et, így a harmadik termékhez a második termékből $ 2\cdot 4=8$ mennyiséget használunk fel, de ezt közvetetten, az első termék áttételén keresztül. Így adódik ki a $ t_{23}=15=7+8 $ .

Példa:

Adott az alábbi sorrendben a közvetlen ráfordítások mátrixa, a nettó temelés vektora és az árvektor! Elemezze az input-output modellt!

    $\displaystyle \mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 3 & 5 \\ 
 6 & 0 & 4 & 2 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 8 & 0
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{v}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 2 \\ 
 3 \\ 
 1 \\ 
 6
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{p}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 7 \\ 
 1 \\ 
 341 \\ 
 39
 \end{array}
 \right] .$

Megoldás:

a) A teljes ráfordítások mátrixa:

    $\displaystyle \mathbf{T}=\left( \mathbf{E}-\mathbf{R}\right) ^{-1}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 1 & 0 & 43 & 5 \\ 
 6 & 1 & 278 & 32 \\ 
 0 & 0 & 1 & 0 \\ 
 0 & 0 & 8 & 1
 \end{array}
 \right] .$

b) A bruttó termelés vektora:

    $\displaystyle \mathbf{q}=\mathbf{Tv}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 75 \\ 
 485 \\ 
 1 \\ 
 14
 \end{array}
 \right] .$

c) A hozzáadott érték vektora:

    $\displaystyle \mathbf{h}=\mathbf{p}-\mathbf{pR}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 7 \\ 
 1 \\ 
 341 \\ 
 39
 \end{array}
 \right] -\left[ 
 \begin{array}{c}
 6 \\ 
 0 \\ 
 337 \\ 
 37
 \end{array}
 \right] =\left[ 
 \begin{array}{c}
 1 \\ 
 1 \\ 
 4 \\ 
 2
 \end{array}
 \right] .$

d) Anyagköltség mátrix:

    $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{PR}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 21 & 35 \\ 
 6 & 0 & 4 & 2 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 312 & 0
 \end{array}
 \right] .$

Figyeljük meg, hogy a $ \mathbf{PR}$ anyagköltség mátrix oszlopösszegei a $ \mathbf{pR}$ anyagfelhasználás vektort adják.

e) Adjuk meg a közvetlen ráfordítás mátrixnak azt a fajtáját, amely pénzegységre vonatkoztatva pénzegységben fejezi ki a ráfordításokat! Ezt az $ \mathbf{A}$ mátrix jelölte, amelynek számítása az ármátrix segítségével az alábbi: $ \mathbf{A}=\mathbf{PRP}^{-1}$ vagy $ \mathbf{A}=\mathbf{BP}^{-1}$ .

    $\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{PRP}^{-1}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & \frac{21}{341} & \frac{35}{39} \\ 
 \frac{6}{7} & 0 & \frac{4}{341} & \frac{2}{39} \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & \frac{312}{341} & 0\end{array}
 \right] .$

f) Számítsuk ki az $ \mathbf{R}^{2},\mathbf{R}^{3},...$ mátrixokat és értelmezzük ezeket!

    $\displaystyle \mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 3 & 5 \\ 
 6 & 0 & 4 & 2 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 8 & 0
 \end{array}
 \right] ,\ \mathbf{R}^{2}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 40 & 0 \\ 
 0 & 0 & 34 & 30 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0
 \end{array}
 \right] ,\ \mathbf{R}^{3}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 240 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0
 \end{array}
 \right] ,\ \mathbf{R}^{4}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0
 \end{array}
 \right] .$

Mint ismeretes az $ \mathbf{R}^{k}$ mátrix a közvetett ráfordításokat határozza meg, mégpedig $ k-1$ terméken keresztüli közvetett felhasználást adja meg. A mátrixokból látható, hogy 3 áttételen keresztüli közvetett felhasználás nincs, így természetesen több áttételes sem lehet. Van viszont egyáttételes és kétáttételes. Az alábbiakban ezeket értelmezzük:

$ (\mathbf{R}^{2})_{13}=40$ értelmezése: $ T_{3}$ -hoz $ T_{4}$ -ből $ 8$ kell közvetlenül, de minden egyes $ T_{4}$ -hez $ T_{1}$ -ből $ 5$ kell közvetlenül, így $ T_{3}$ -hoz $ T_{1}$ -ből $ 8\cdot 5=40$ kell közvetve a $ T_{4}$ -en keresztül.

$ (\mathbf{R}^{2})_{23}=34$ értelmezése: $ T_{3}$ -hoz $ T_{1}$ -ből $ 3$ kell közvetlenül, de $ T_{1}$ -hez $ T_{2}$ -ből $ 6$ kell közvetlenül, így $ T_{3}$ -hoz $ T_{2}$ -ből $ 3\cdot 6=18$ kell közvetve a $ T_{1}$ -en keresztül. Továbbá $ T_{3}$ -hoz $ T_{4}$ -ből $ 8$ kell közvetlenül, de $ T_{4}$ -hez $ T_{2}$ -ből $ 2$ kell közvetlenül, így $ T_{3}$ -hoz $ T_{2}$ -ből $ 8\cdot 2=16$ kell közvetve a $ T_{4}$ -en keresztül. Összességében a $ T_{3}$ -hoz $ T_{2}$ -ből egy-egy áttételen keresztül $ 18+16=34$ kell.

$ (\mathbf{R}^{2})_{24}=30$ értelmezése: $ T_{4}$ -hez $ T_{1}$ -ből $ 5$ kell közvetlenül, de $ T_{1}$ -hez $ T_{2}$ -ből $ 6$ kell közvetlenül, így $ T_{4}$ -hez $ T_{2}$ -ből $ 5\cdot 6=30$ kell közvetve a $ T_{1}$ -en keresztül.

$ (\mathbf{R}^{3})_{23}=240$ értelmezése: $ T_{3}$ -hoz $ T_{1}$ -ből $ 40$ kell egy áttételen ($ T_{4}$ -en) keresztül, de $ T_{1}$ -hez $ T_{2}$ -ből $ 6$ kell közvetlenül, így $ T_{3}$ -hoz $ T_{2}$ -ből $ 40\cdot 6=240$ kell közvetve két áttételen keresztül.

Megjegyezzük, hogy a közvetett ráfordítások számbavétele nem kis feladat nagyobb méret esetén, de tudjuk, hogy a közvetlen ráfordítás mátrixnak a hatványai ezt egyszerűen szolgáltatják.

A $ \mathbf{T}$ mátrix számítható a $ \mathbf{T}=\mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\mathbf{R}^{3}+\ldots $ Neumann-féle hatványsor (9.2) segítségével is, amelynek ellenőrzését az olvasóra bízzuk.

Példa:

Adott az alábbi sorrendben a teljes ráfordítások mátrixa, a bruttó termelés vektora és a termékegységre eső hozzáadott érték vektora.

    $\displaystyle \mathbf{T}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 1 & 16 & 2 \\ 
 0 & 1 & 4 \\ 
 0 & 6 & 1
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{q}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 20 \\ 
 1 \\ 
 6
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{h}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 5 \\ 
 4 \\ 
 2
 \end{array}
 \right] .$

a) Határozza meg a közvetlen ráfordítások mátrixát!

b) Határozza meg a nettó termelés vektorát!

c) Határozza meg a termékek árvektorát!

d) Határozza meg azt a mátrixot, amely pénzegységre vonatkoztatva pénzegységben fejezi ki a közvetlen ráfordításokat!

e) Értelmezze a Leontief-féle inverzmátrix első sorvektorának elemeit!

Megoldás:

Az a),...,d) kérdések megválaszolása az alábbiak szerint történik. A közvetlen ráfordítások $ \mathbf{R}$ mátrixa a $ \mathbf{T}=\left( \mathbf{E}-\mathbf{R}\right) ^{-1}$ összefüggésből az $ \mathbf{R}=\mathbf{E}-\mathbf{T}^{-1}$ formulával határozható meg. A nettó termelés $ \mathbf{v}$ vektora a $ \mathbf{q}=\mathbf{Tv}$ formulából a $ \mathbf{v}=\mathbf{T}^{-1}\mathbf{q}$ vagy a $ \mathbf{v}=\mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ formulával határozható meg. Az árvektor a $ \mathbf{p=hT}$ formulával határozható meg. Az $ \mathbf{A}$ közvetlen ráfordítási mátrixot az $ \mathbf{A}=\mathbf{PRP}^{-1}$ képlet adja. A megoldások:

    $\displaystyle \mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 0 & 4 & 2 \\ 
 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 6 & 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \mathbf{v}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 4 \\ 
 1 \\ 
 0
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \mathbf{p}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 5 \\ 
 96 \\ 
 12
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \mathbf{A}=\left[ 
 \begin{array}{ccc}
 0 & \frac{5}{24} & \frac{5}{6} \\ 
 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & \frac{3}{4} & 0
 \end{array}
 \right] .$

e) A $ \mathbf{T}$ Leontief-féle inverzmátrix első sorvektora azt az árvektort mutatja, amelyet akkor kapunk, ha az első termékből $ 1$ , a másik kettőből pedig zérus a hozzáadott érték.

Feladat:

Adott az alábbi sorrendben a közvetlen ráfordítások mátrixa, a nettó temelés vektora és az árvektor! Elemezze az input-output modellt a 2. példában látottak alapján!

    $\displaystyle \mathbf{R}=\left[ 
 \begin{array}{cccc}
 0 & 0 & 1 & 3 \\ 
 2 & 0 & 4 & 1 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 2 & 0
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{v}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 1 \\ 
 2 \\ 
 5 \\ 
 3
 \end{array}
 \right] ,\qquad \mathbf{p}=\left[ 
 \begin{array}{c}
 4 \\ 
 1 \\ 
 42 \\ 
 15
 \end{array}
 \right] .$

9.3. Produktivitás

Az elemzésekben két helyen is felmerültek kérdések, nevezetesen az alábbiak:

- létezik-e az $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ Leontief féle inverzmátrix?

- az $ \mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\mathbf{R}^{3}+\ldots $ Neumann-féle hatványsorral kapcsolatban két kérdés is felmerült:

        - konvergens-e a hatványsor?

        - ha konvergens, akkor a hatványsor összege az $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ Leontief-féle inverzmátrixot adja-e?

Ezekre a kérdésekre a választ a produktivitás fogalma adja meg.

Produktivitás definíciója

Az $ \mathbf{R}\geqq \mathbf{0}$ közvetlen ráfordítás mátrix (vagy a gazdaság, amely ezzel jellemezhető) produktív, ha létezik olyan $ \mathbf{\bar{q}}\geqq \mathbf{0}$ bruttó kibocsátási vektor, amelyre $ \mathbf{\bar{q}>R\bar{q}}$ , azaz létezik olyan termelés, amelynél minden termékből keletkezik végső kibocsátás.

A fentebb vázolt kérdések megválaszolását az alábbi állításokon keresztül mutatjuk be:

1. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor $ \mathbf{\bar{q}}>\mathbf{0}$

Bizonyítás: mivel $ \mathbf{R\geqq 0,\bar{q}\geqq 0}$ , így a produktivitás definícióból $ \mathbf{\bar{q}>R\bar{q}\geqq 0}$ , amelyből triviálisan következik, hogy $ \mathbf{\bar{q}}>\mathbf{0}$ .

2. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor a $ \mathbf{q\geqq Rq}$ lineáris egyenlőtlenség rendszernek csak $ \mathbf{q\geqq 0}$ megoldása van.

Bizonyítás: az 1. állítás szerint létezik $ \mathbf{\bar{q}>0}$ . Indirekte tegyük fel, hogy a $ \mathbf{q\geqq Rq}$ lineáris egyenlőtlenség rendszernek van olyan $ \mathbf{q}$ megoldása, amely negatív elemet is tartalmaz, legyen ez a $ q_{1}<0$ , a többi $ q_{i}\geqq 0$ (a bizonyításhoz elég feltenni, hogy egy elem negatív). Állítjuk, hogy ekkor van olyan $ \lambda >0$ szám, hogy

    $\displaystyle \mathbf{q}^{(\lambda )}=\mathbf{q}+\lambda \mathbf{\bar{q}\geqq 0}$, de  $\displaystyle q_{1}^{(\lambda )}=0.$

Ez egyszerűen belátható, hiszen $ q_{1}^{(\lambda )}=q_{1}+\lambda \bar{q}_{1}=0\Longrightarrow \lambda =-\frac{q_{1}}{\bar{q}_{1}}>0.$

Az alábbi összefüggésben először felhasználjuk $ \mathbf{R}$ produktivitását, majd az egyenlőtlenség rendszert:

    $\displaystyle \mathbf{q}^{(\lambda )}=\mathbf{q}+\underset{>0}{\underbrace{\lambda }}\cdot 
 \underset{>\mathbf{R\bar{q}}}{\underbrace{\mathbf{\bar{q}}}}>\underset{\geqq 
 \mathbf{Rq}}{\underbrace{\mathbf{q}}}+\lambda \mathbf{R\bar{q}\geqq Rq}+\lambda \mathbf{R\bar{q}=R\big(\mathbf{q}+}\lambda \mathbf{\mathbf{\bar{q}}\big)=Rq}^{(\lambda )},$

ebből pedig írható, hogy $ \mathbf{q}^{(\lambda )}>\underset{\geqq \mathbf{0}}{\underbrace{\mathbf{R}}}\mathbf{\cdot }\underset{\geqq \mathbf{0}}{\underbrace{\mathbf{q}^{(\lambda )}}}\geqq \mathbf{0\Longrightarrow \mathbf{q}}^{(\lambda )}\mathbf{>0}$ , ez pedig ellentmond annak, hogy $ q_{1}^{(\lambda )}=0.$

3. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor a $ \mathbf{q=Rq}$ lineáris egyenletrendszernek csak $ \mathbf{q=0}$ megoldása van.

Bizonyítás: A $ \mathbf{q=Rq}$ egyenletrendszer helyett írhatjuk a $ \mathbf{q\geqq Rq}$ és a $ \mathbf{q\leqq Rq}$ vagy $ (-\mathbf{q\geqq R(-q)})$ egyenlőtlenség rendszereket. A 2. állítás szerint az elsőnek $ \mathbf{q\geqq 0}$ megoldása van, a másodiknak pedig $ -\mathbf{q\geqq 0}$ megoldása van, összevetve a kettőt, az egyenletrendszernek csak $ \mathbf{q=0}$ megoldása lehet.

4. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor létezik $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ , azaz létezik a Leontief-féle inverzmátrix.

Bizonyítás: A 3. állítás szerint a $ \mathbf{q=Rq}$ egyenletrendszernek csak a $ \mathbf{q=0}$ triviális megoldása lehet. Rendezve az egyenletet: $ \mathbf{q=Rq\Longrightarrow Eq-Rq}=\mathbf{0\Longrightarrow (E-R)q}=\mathbf{0}$ , ennek a homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor lehet $ \mathbf{q=0}$ triviális megoldása, ha az $ \mathbf{(E-R)}$ Leontief-féle mátrix oszlopvektorai lineárisan függetlenek, azaz ha létezik az $ \mathbf{(E-R)}$ mátrixnak inverze.

5. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor $ (\mathbf{E-R})^{-1}\geqq \mathbf{0}$ , ill. $ (\mathbf{E-R})^{-1}\geqq \mathbf{E}$ .

Bizonyítás: Jelölje az inverzmátrixot $ \mathbf{T}$ , azaz $ \mathbf{T}=(\mathbf{E-R})^{-1}$ , ennek $ j$ -edik oszlopvektora $ \mathbf{t}_{j}=(\mathbf{E-R})^{-1}\mathbf{e}_{j}$ , ebből $ (\mathbf{E-R})\mathbf{t}_{j}=\mathbf{e}_{j}\geqq \mathbf{0\Longrightarrow \mathbf{t}}_{j}\mathbf{\geqq Rt}_{j}\Longrightarrow \ $ a 2. állítás szerint $ \mathbf{\mathbf{t}}_{j}\geqq
\mathbf{0}$ lehet, tehát a $ \mathbf{T}$ mátrix $ j$ -edik oszlopa csak nemnegatív elemeket tartalmazhat, hasonlóan igazolható a többi oszlopra is, így $ \mathbf{T}=(\mathbf{E-R})^{-1}\geqq \mathbf{0}$ , azaz a $ \mathbf{T}$ mátrix elemei nem lehetnek negatív értékűek. Az $ (\mathbf{E-R})\mathbf{t}_{j}=\mathbf{e}_{j}$ összefüggésből $ \Longrightarrow \mathbf{t}_{j}=\mathbf{e}_{j}+\underset{\geqq \mathbf{0}}{\underbrace{\mathbf{R}}}\cdot \underset{\geqq \mathbf{0}}{\underbrace{\mathbf{t}_{j}}}\geqq \mathbf{e}_{j}\Longrightarrow \mathbf{t}_{j}\geqq \mathbf{e}_{j}\Longrightarrow
\mathbf{T}\geqq \mathbf{E}$ , azaz a $ \mathbf{T}$ mátrix főátlóbeli elemei $ 1$ vagy $ 1$ -nél nagyobbak.

6. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor $ \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\mathbf{R}^{n}=\mathbf{0}.$

Bizonyítás: Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor létezik olyan $ \mathbf{\bar{q}}\geqq \mathbf{0}$ , amelyre $ \mathbf{\bar{q}>R\bar{q}}$ , az 1. állítás szerint $ \mathbf{\bar{q}}>\mathbf{0}$ . A $ \mathbf{\bar{q}>R\bar{q}}$ egyenlőtlenségből látható, hogy van olyan $ 0<k<1$ szám, hogy $ k\mathbf{\bar{q}\geqq R\bar{q}}$ . Szorozzuk be ezt az egyenlőtlenséget $ k$ -val, ekkor $ k^{2}\mathbf{\bar{q}\geqq R}\underset{\geqq \mathbf{R\bar{q}}}{\underbrace{k\mathbf{\bar{q}}}}\Longrightarrow k^{2}\mathbf{\bar{q}\geqq R}^{2}\mathbf{\bar{q}}$ . Hasonlóan adódik a többi hatványra is, így írható, hogy $ k^{n}\mathbf{\bar{q}\geqq R}^{n}\mathbf{\bar{q}}$ . Véve a baloldal $ n\rightarrow
\infty $ határértékét, a $ 0<k<1$ és $ \mathbf{\bar{q}}>\mathbf{0}$ miatt a határérték a zérusvektor. Az egyenlőtlenség miatt a jobboldal határértéke is csak a $ \mathbf{0}$ vektor lehet, ami pedig csak akkor lehet, ha az $ \mathbf{R}^{n}$ mátrix minden eleme zérushoz tart, azaz $ \underset{n\rightarrow
\infty }{\lim }\mathbf{R}^{n}=\mathbf{0}$ .

7. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor az $ \mathbf{S}=\mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\ldots +\mathbf{R}^{n}+\ldots $ hatványsor (Neumann-sor) konvergens és határértéke $ (\mathbf{E-R})^{-1}$ és fordítva is igaz.

Bizonyítás: Legyen $ \mathbf{S}_{n}=\mathbf{E+R}+\mathbf{R}^{2}+\ldots +\mathbf{R}^{n}$ szorozuk be ezt jobbról az $ \mathbf{R}$ mátrix-szal, kapjuk, hogy

                                 $ \mathbf{S}_{n}\mathbf{R}=\mathbf{R+R}^{2}+\mathbf{R}^{3}+\ldots +\mathbf{R}^{n+1}$ .

Vonjuk ki az első egyenletből a második egyenletet: $ \mathbf{S}_{n}-\mathbf{S}_{n}\mathbf{R}=\mathbf{E-R}^{n+1}\Longrightarrow \mathbf{S}_{n}(\mathbf{E}-\mathbf{R})=\mathbf{E-R}^{n+1}\Longrightarrow $ a produktivitás miatt létezik $ (\mathbf{E}-\mathbf{R})$ inverze, így $ \mathbf{S}_{n}=(\mathbf{E-R})^{-1}(\mathbf{E-R}^{n+1})$ , képezve az $ n\rightarrow
\infty $ határértéket $ \Longrightarrow $ $ \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\mathbf{S}_{n}=(\mathbf{E-R})^{-1}$ , tehát a Neuman-sornak van határértéke és ez a Leontief-féle inverzmátrix.

8. állítás:

Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor minden $ \mathbf{v}\geqq \mathbf{0}$ nettó kibocsátás esetén létezik $ \mathbf{q}\geqq \mathbf{0}$ bruttó kibocsátás, azaz bármely nemnegatív végső kibocsátás megvalósítható.

Bizonyítás: triviális az előzőekből, ugyanis $ \mathbf{q}=\underset{\geqq \mathbf{0}}{\underbrace{(\mathbf{E-R})^{-1}}}\cdot \underset{\geqq
\mathbf{0}}{\underbrace{\mathbf{v}}}\geqq \mathbf{0}.$

9.4. Átlagos ráfordítási szint

Felmerülhet a kérdés: milyen bruttó termelés esetén arányos a bruttó termelés a felhasználással? Vagyis milyen $ \mathbf{q}$ esetén igaz, hogy

    $\displaystyle \mathbf{Rq}=\lambda \mathbf{q.}$

Ez egy sajátérték feladat meghatározását jelenti. Tegyük fel, hogy van $ \mathbf{q}>\mathbf{0}$ megoldás. Vizsgáljuk meg a $ \lambda $ sajátérték jelentését. Induljunk ki a fenti alapegyenletből nyert $ \mathbf{r}^{(i)}\mathbf{q}=\lambda q_{i}$ összefüggésből, ebből kapjuk, hogy

    $\displaystyle \lambda =\frac{\mathbf{r}^{(i)}\mathbf{q}}{q_{i}}$ minden $\displaystyle i$ indexre.

A számlálóban a $ T_{i}$ termék felhasználása, a nevezőben a $ T_{i}$ termék bruttó termelése van. Ebből pedig az állapítható meg, hogy a $ \lambda $ sajátérték az egységes (közös) sajátfelhasználási (sajátráfordítási) arányt mutatja. A termelőrendszer akkor produktív ( $ \mathbf{R}$ akkor produktív mátrix), ha ez a $ \lambda $ sajátfelhasználási arány egynél kisebb.

Ismert az a tény, hogy az $ \mathbf{R}$ akkor produktív mátrix, ha az $ \mathbf{R}$ domináns (abszolut értékben legnagyobb) sajátértéke egynél kisebb és fordítva.

A duális oldalról pedig az a kérdés merülhet fel, hogy: milyen termékár esetén arányos az ár az anyagköltséggel? Ezt a $ \mathbf{pR}=\lambda
\mathbf{p}$ egyenlet megoldása szolgáltatja. Tegyük fel, hogy van $ \mathbf{p}>\mathbf{0}$ megoldás, ekkor

    $\displaystyle \lambda =\frac{\mathbf{pr}_{j}}{p_{j}}$ minden $\displaystyle j$ indexre,

azaz $ \lambda $ az egységnyi $ T_{j}$ termék termeléséhez felhasznált anyagköltség és a $ T_{j}$ termék árának a hányadosa, aránya. Tehát a $ \lambda $ sajátérték az egységes (közös) ráfordítási arányt mutatja.

Összefoglalásképpen a következő állapítható meg: Az $ \mathbf{R}$ ráfordítási mátrix azon sajátértékei, amelyekhez nemnegatív sajátvektorok tartoznak, általában a sajátvektor pozitív komponensei által meghatározott szektor átlagos ráfordítási hányadaként értelmezhetők. A sajátérték reciprokát a termelési rendszer hatásfokát jellemző mutatószámként értelmezhetjük.

9.5. Ármeghatározás

Induljunk ki a $ \mathbf{p=pR+h}$ összefüggésből, amely azt mutatja, hogy a termékek ára $ (\mathbf{p})$ a termékek pénzben kifejezett felhasználásának (termékek anyagköltségének, $ \mathbf{pR}$ ) és a hozzáadott értéknek $ (\mathbf{h})$ az összege. Most tegyük fel, hogy a hozzáadott érték az elsődleges erőforrások pénzben kifejezett felhasználása (költsége). A bevezetőben definiáltuk az elsődleges erőforrások közvetlen ráfordítási mátrixát, amelyet a $ \mathbf{D}$ mátrix jelölt. Jelölje az elsődleges erőforrások árát a $ \mathbf{w}$ vektor. A $ \mathbf{pR}$ összefüggéshez hasonlóan, az elsődleges erőforrások pénzben kifejezett felhasználását a $ \mathbf{wD}$ vektor-mátrix szorzás adja. Eszerint tehát az új ármeghatározást a

    $\displaystyle \mathbf{p=pR+wD}$

formulával írhatjuk le. Ez az ármeghatározás nulla profitot eredményez, mivel a hozzáadott értékben nem szerepel profit, csupán költségek szerepelnek benne. Az alábbiakban egy tételben mondjuk ki a nulla profit árszámításra vonatkozó megállapításunkat.

TÉTEL

Tekintsünk egy $ \mathbf{R}$ és $ \mathbf{D}$ nemnegatív fajlagos termék és erőforrás ráfordítási mátrixokkal adott input-output technológiát.

  1. Ha $ \mathbf{R}$ produktív mátrix, akkor a termékek árának meghatározása az alábbi képlettel adható meg

        $\displaystyle \mathbf{p}=\mathbf{wD}(\mathbf{E-R})^{-1},$

  2. továbbá, ha
    $ \mathbf{1D}>\mathbf{0}$ (oszlopösszegek pozitívak, minden oszlopban van legalább egy pozitív elem), azaz minden termék előállítása során legalább egy elsődleges erőforrást felhasználunk és
    $ \mathbf{w}>\mathbf{0}$ (egyik elsődleges erőforrást sem kapjuk ingyen), akkor a termékek ára pozitív, azaz

        $\displaystyle \mathbf{p}=\mathbf{wD}(\mathbf{E-R})^{-1}>\mathbf{0.}$

Ennek igazolása egyszerű, mivel $ \mathbf{wD}>\mathbf{0}$ , az 5. állítás szerint $ (\mathbf{E-R})^{-1}\geqq \mathbf{E}$ , ebből pedig azonnal következik az árvektor pozitivitása.

Végezetül adjuk meg az ármeghatározás $ \mathbf{p}=\mathbf{wD}(\mathbf{E-R})^{-1}=\mathbf{wDT}$ képletben szereplő $ \mathbf{DT}$ mátrix értelmezését. A $ \mathbf{DT}$ mátrix $ ij$ eleme

    $\displaystyle (\mathbf{DT})_{ij}=\mathbf{d}^{(i)}\mathbf{t}_{^{j}}=d_{i1}\cdot
 t_{1j}+d_{i2}\cdot t_{2j}+\ldots +d_{ik}\cdot t_{kj}+\ldots +d_{in}\cdot
 t_{nj}.$

A benne szereplő adatok jelentése:

$ d_{ik}$ jelentése: egységnyi $ T_{k}$ termék bruttó termeléséhez a$ \ EE_{i}$ elsődleges erőforrásból a felhasználás $ d_{ik}$ .

$ t_{kj}$ jelentése: $ t_{kj}$ bruttó termelés kell a $ T_{k}$ termékből ahhoz, hogy a $ T_{j}$ termékből $ 1$ legyen a végső kibocsátás.

$ d_{ik}\cdot t_{kj}$ jelentése: egységnyi $ T_{k}$ termék bruttó termeléséhez $ d_{ik}$ a felhasználás, akkor $ t_{kj}$ bruttó termeléshez $ d_{ik}\cdot t_{kj}$ az elsődleges erőforrás ráfordítás. Tehát, ahhoz, hogy a $ T_{j}$ termékből $ 1$ legyen a végső kibocsátás $ d_{ik}\cdot t_{kj}$ mennyiségű $ \ EE_{i}$ elsődleges erőforrást kell ráfordítani, akkor, ha a $ T_{k}$ terméken keresztül vizsgáljuk az elsődleges erőforrás felhasználást. A többi terméken keresztül hasonló képlettel adódik a felhasználás és ezeket össze kell adni.

Összefoglalva a $ (\mathbf{DT})_{ij}$ jelentése: Ahhoz, hogy a $ T_{j}$ termékből egységnyi legyen a végső kibocsátás az $ \ EE_{i}$ elsődleges erőforrásból $ (\mathbf{DT})_{ij}$ mennyiséget kell ráfordítani. Tehát a $ \mathbf{DT}$ mátrix is fajlagos ráfordítási mátrix.

A $ \mathbf{w(DT)}$ formulából a következő olvasható ki: ahhoz, hogy a $ T_{j}$ termékből egységnyi legyen a végső kibocsátás, az összes elsődleges erőforrásból $ \mathbf{w(DT)}_{j}$ lesz a ráfordítás költsége. A $ \mathbf{p}=\mathbf{w(DT)}$ pedig azt mutatja, hogy a termékárak $ \mathbf{p}_{j}=\mathbf{w(DT)}_{j}$ . Eszerint, tehát a termékárak visszavezethetők a felhasznált elsődleges erőforrások költségére. A közgazdások a $ \mathbf{DT}$ mátrixot a termékek újratermeléséhez szükséges ráfordításoknak nevezik. Ne feledjük, hogy a $ \mathbf{DT}$ mátrix a termékek végső kibocsátására vonatkoztatott (fajlagos) erőforrásigényt jelent.

9.6. Leontief modellek főbb típusai

Az input-output modelleket több szempont szerint is csoportosíthatjuk. Két fő szempontot ismertetünk: egyik a nyíltság-zártság, a másik pedig az időtényező figyelembevétele.

9.6.1. Nyílt-zárt, statikus-dinamikus Leontief modellek fogalma

Nyíltnak nevezünk egy input-output modellt, ha

- a termékek között vannak végső felhasználásra kerülők is és/vagy

- az inputok között vannak nem termelhető javak, elsődleges erőforrások is.

Zártnak nevezünk egy input-output modellt, ha a fenti kritériumok alapján nem nevezhető nyíltnak.

Statikusnak nevezünk egy input-output modellt, ha a modellben szereplő adatok egy adott időszak egészére vonatkoznak, azaz időszakosak.

Dinamikusnak nevezünk egy input-output modellt, ha az időt is figyelembe vesszük. Az idő megjelenhet diszkrét (időszakok) vagy folytonos (időpontok) formájában.

Itt röviden két modellel foglalkozunk.

Nyílt, statikus Leontief modell

A modell alapegyenleteit már ismerjük, mivel a fejezet elején ezzel az esettel foglalkoztunk.

    $\displaystyle \mathbf{q}$ $\displaystyle =\mathbf{Rq+v}$
    $\displaystyle \mathbf{p}$ $\displaystyle =\mathbf{pR+h}$

Zárt, statikus Leontief modell

Ebben a modellben feltételezzük, hogy a termékeknek nincs külső felhasználása $ (\mathbf{v}=\mathbf{0})$ és nincs hozzáadott érték $ (\mathbf{h}=\mathbf{0})$ . A modell alapegyenletei:

    $\displaystyle \mathbf{q}$ $\displaystyle =\mathbf{Rq}$
    $\displaystyle \mathbf{p}$ $\displaystyle =\mathbf{pR}$

Ezek az egyenletek egy speciális sajátérték feladatok, ahol a sajátérték $ 1$ . A sajátértékeknél elmondottak alapján az R mátrix nem lehet produktív.

9.6.2. Nyílt-dinamikus Leontief modell

Egy diszkrét dinamikus modellt vizsgálunk, amelyben az időszak egy év. Ebben a modellben beruházás, felhalmozás történik. Feltételezzük, hogy az adott időszaki felhalmozás révén keletkező új kapacitás a következő időszak elején lép be. A termelésből levonjuk a szükséges ráfordításokat $ (\mathbf{q}-\mathbf{Rq})$ , a maradékot (terméktöbbletet) nemcsak végső kibocsátásra (fogyasztásra), hanem egyrészét a termelési kapacitás bővítésére is fordítják. Az egyes szektorok beruházását, kapacitásbővítését az ún. beruházási együttható mátrix segítségével adjuk meg, amelyet a $ \mathbf{B}\in \mathbb{R}^{n\times n}$ mátrix jelöl.

$ b_{ij}$ jelentése: a $ j$ -edik szektor kapacitásának egységnyi növeléséhez az $ i$ -edik szektor termékéből $ b_{ij}$ mennyiséget kell felhalmozásra fordítani. Más szavakkal: Ahhoz, hogy a $ j$ -edik szektor kapacitását egységnyivel bővítsük (egységnyivel többet tudjunk termelni a $ j$ -edik szektor termékéből), az $ i$ -edik szektor termékéből $ b_{ij}$ mennyiséget kell felhalmozásra fordítani.

A viszonyokat ( $ \mathbf{R}$ és $ \mathbf{B}$ mátrixot) az alábbi sémában közöljük.

Image tabl_2

Jelölje $ \mathbf{q}$ vektor egy adott időszakban, $ \mathbf{q}_{1}$ vektor pedig a rákövetkező időszakban a bruttó termelést. Jelölje $ \Delta \mathbf{q}=\mathbf{q}_{1}-\mathbf{q}$ a termelésnövekedés vektorát. A $ \mathbf{B}$ mátrix $ i$ -edik sorvektora $ (\mathbf{b}^{(i)})$ azt mutatja, hogy az $ i$ -edik szektor termékéből mennyit kell felhalmozásra fordítani, ahhoz, hogy az egyes szektorok bruttó termelését egységnyivel növeljük. Ha az egyes szektorok termelését $ \Delta \mathbf{q}$ vektorral bővítjük, akkor $ \mathbf{b}^{(i)}\Delta \mathbf{q}$ lesz az $ i$ -edik szektor termékéből a felhalmozás. Az összes termékre vonatkozó felhalmozás vektorát pedig a $ \mathbf{B}\Delta \mathbf{q}$ vektor adja.

A korábban elmondottak alapján a $ \mathbf{q}-\mathbf{Rq}$ terméktöbblet egyik részét a $ \mathbf{B}\Delta \mathbf{q}$ felhalmozás, a másik részét pedig a $ \mathbf{v}_{e}$ egyéb végső kibocsátás (fogyasztás) teszi ki. Ezt az alábbi összefüggés írja le:

    $\displaystyle \mathbf{q}=\mathbf{Rq}+\mathbf{B}\Delta \mathbf{q}+\mathbf{v}_{e}.$

A $ \Delta \mathbf{q}=\mathbf{q}_{1}-\mathbf{q}$ alapján ez az összefüggés egy kis átrendezéssel az alábbiak szerint is írható:

    $\displaystyle \mathbf{Bq}_{1}=\mathbf{Bq}+\mathbf{q}-\mathbf{Rq}-\mathbf{v}_{e}=(\mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R})\mathbf{q}-\mathbf{v}_{e}.$

Ha a $ \mathbf{B}$ beruházási együttható mátrix invertálható, akkor

(9.3) $\displaystyle \mathbf{q}_{1}=\mathbf{B}^{-1}\left[ (\mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R})\mathbf{q}-\mathbf{v}_{e}\right] .$

A (9.3) összefüggéssel egyértelműen meghatározható, hogy a jelen időszaki termelés és fogyasztás mekkora termelést tesz lehetővé a következő (jövőbeli) időszakban. A $ \mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R}$ mátrixot szokás dinamikus Leontief mátrixnak is nevezni.

Ha a $ \mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R}$ dinamikus Leontief mátrix invertálható, akkor

(9.4) $\displaystyle \mathbf{q}=(\mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R})^{-1}(\mathbf{Bq}_{1}+\mathbf{v}_{e}).$

A (9.4) összefüggéssel pedig egyértelműen meghatározható, hogy a következő időszaki termelés és a jelen időszaki fogyasztás esetén mekkora termelés szükséges a jelen időszakban. Érdekesség, hogy nem a $ (\mathbf{B}+\mathbf{E}-\mathbf{R})^{-1}$ mátrixot nevezzzük dinamikus Leontief-féle inverznek. A (9.3) formula előre számolást, míg a (9.4) formula visszafelé számolást tesz lehetővé. Ha a (9.4) formulát több időszakon keresztül visszafelé alkalmazzuk, akkor kiszámíthatjuk, hogy a következő időszaki termelési kapacitás létrejöttének és a jelen időszak fogyasztásának a megteremtéséhez a korábbi időszakok termelése milyen mértékben járult hozzá. Leontief valójában a véges sok időszak esetére értelmezte a dinamikus Leontief-féle inverzmátrixot.

10. Lineáris tevékenységelemzési modell

10.1. A modell definiálása és elemzése

Adott $ m$ féle jószág ($ T$ ), amely a termelésben ráfordításként és/vagy kibocsátásként részt vehet. A termelésben $ n$ féle tevékenység (eljárás) ($ P$ ) vesz részt. Ismert a kibocsátási mátrix ( $ \mathbf{K}$ ) és a ráfordítási mátrix ( $ \mathbf{R}$ ), amelyeket az alábbi sémában közlünk.

    \begin{displaymath}\begin{array}{cccccc}
 & P_{1} & \cdots & P_{j} & \cdots & P_{n} \\ \cline{2-6}
 T_{1} & \multicolumn{1}{|c}{k_{11}} & \cdots & k_{1j} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{k_{1n}} \\ 
 \vdots & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 T_{i} & \multicolumn{1}{|c}{k_{i1}} & \cdots & k_{ij} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{k_{in}} \\ 
 \vdots & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 T_{m} & \multicolumn{1}{|c}{k_{m1}} & \cdots & k_{mj} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{k_{mn}} \\ \cline{2-6}
 \end{array}
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
 \begin{array}{cccccc}
 & P_{1} & \cdots & P_{j} & \cdots & P_{n} \\ \cline{2-6}
 T_{1} & \multicolumn{1}{|c}{r_{11}} & \cdots & r_{1j} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{r_{1n}} \\ 
 \vdots & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 T_{i} & \multicolumn{1}{|c}{r_{i1}} & \cdots & r_{ij} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{r_{in}} \\ 
 \vdots & \multicolumn{1}{|c}{\vdots } & & \vdots & & 
 \multicolumn{1}{c|}{\vdots } \\ 
 T_{m} & \multicolumn{1}{|c}{r_{m1}} & \cdots & r_{mj} & \cdots & 
 \multicolumn{1}{c|}{r_{mn}} \\ \cline{2-6}
 \end{array}\end{displaymath}

A $ k_{ij}$ jelentése: a $ P_{j}$ tevékenység egységnyi szinten történő alkalmazása esetén a $ T_{i}$ termékből (jószágból) $ k_{ij}$ mennyiséget bocsát ki.

Az $ r_{ij}$ jelentése: a $ P_{j}$ tevékenység egységnyi szinten történő alkalmazása esetén a $ T_{i}$ termékből (jószágból) $ r_{ij}$ mennyiséget használ fel.

Legyen $ x_{1},\ldots ,x_{j},\ldots x_{n}$ a tevékenységek szintje, amelyeket egy $ \mathbf{x}$ vektorba foglalhatunk. Természetesen $ k_{ij},r_{ij},x_{j}\geqq 0$ minden indexre.

A $ \mathbf{K}$ és az $ \mathbf{R}$ mátrixok definíciójából következik, hogy az $ \mathbf{x}$ vektorral adott tevékenységi szint esetén a

- $ \mathbf{Kx}$ mennyiség a termékkibocsátást,

- $ \mathbf{Rx}$ mennyiség pedig a termékfelhasználást fejezi ki vektoros formában.

Néhány megjegyzést teszünk a tevékenyégelemzési modellel és a Leontief-féle input-output modellel kapcsolatban.

  1. Tegyük fel, hogy minden $ P_{j}$ tevékenység csak egy terméket bocsát ki (legyen ez a $ T_{j}$ ), ekkor a $ \mathbf{K}$ kibocsátási mátrix minden oszlopa csak egyetlen pozitív számot tartalmaz. Ezzel a feltételezéssel kizárjuk az ikertermelés lehetőségét.

  2. Tegyük fel, hogy minden $ T_{i}$ terméket csak egy tevékenység termel. Ezzel a feltételezéssel kizárjuk a technológia választás lehetőségét. Ebből következik, hogy a termékek és a tevékenységek száma azonos. Legyen a megfeleltetés $ T_{i}\rightarrow P_{i}$ , így a $ \mathbf{K}$ , $ \mathbf{R}$ mátrixok négyzetesek és a $ \mathbf{K}$ kibocsátási mátrix főátlójában lehet csak pozitív szám.

  3. Tegyük fel, hogy a $ P_{j}$ tevékenység egységnyi szinten történő alkalmazása esetén egységnyi mennyiségű $ T_{j}$ terméket állít elő, így a $ \mathbf{K}$ kibocsátási mátrix főátlójában lévő pozitív szám $ 1$ , azaz $ \mathbf{K}=\mathbf{E}$ .

A fenti feltételezések alapján a tevékenyégelemzési modell speciális esetét kapjuk, amely nem más mint a Leontief-féle input-output modell. Az $ \mathbf{x}=\mathbf{q}$ összefüggés is könnyen érthető, az $ \mathbf{x}$ bruttó termelést jelent.

10.2. Produktivitás

A tevékenyégelemzési modell esetén is definiáljuk a produktivitás fogalmát, mégpedig a következők szerint.

Produktivitás definíciója

A $ \mathbf{K},\mathbf{R}$ mátrixokkal jellemzett technológia $ (\mathbf{K},\mathbf{R})$ produktív, ha létezik olyan $ \mathbf{\bar{x}}\geqq
\mathbf{0}$ tevékenységek szint, amelyre $ \mathbf{K\bar{x}>R\bar{x}}$ , azaz létezik olyan termelés, amelynél minden termékből keletkezik nettó kibocsátás.

A technológiai produktivitásnak a fenti feltételezésekkel kapott speciális esete a Leontief-féle input-output modellbeli produktivitás, hiszen a $ \mathbf{K\bar{x}>R\bar{x}}$ definícióból $ \mathbf{K}=\mathbf{E}$ miatt az $ \mathbf{E\bar{q}=\bar{q}>R\bar{q}}$ következik, ami az input-output modellbeli produktivitással azonos.

A Leontief-féle input-output modellbeli produktivitást részletesen megvizsgáltuk, most csupán néhány összehasonlítást teszünk a két produktivitással kapcsolatban. Az 1. és a 8. állítást vizsgáljuk.

1 $ ^{\mathbf{R}}$
Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor $ \mathbf{\bar{q}}>\mathbf{0}$ (pozitív).

1 $ ^{(\mathbf{K},\mathbf{R})}$
Ha $ (\mathbf{K},\mathbf{R})$ produktív, akkor $ \mathbf{\bar{x}}\geqq
\mathbf{0}$ , de $ \mathbf{\bar{x}}\neq \mathbf{0}
$ ( $ \mathbf{\bar{x}}\geq \mathbf{0}$ , szemipozitív).

8 $ ^{\mathbf{R}}$
Ha $ \mathbf{R}$ produktív, akkor minden $ \mathbf{v}\geqq \mathbf{0}$ nettó kibocsátás esetén létezik a
$ \mathbf{q}-\mathbf{Rq=v}$ egyenletnek $ \mathbf{q}\geqq \mathbf{0}$ megoldása.

8 $ ^{(\mathbf{K},\mathbf{R})}$
Ha $ (\mathbf{K},\mathbf{R})$ produktív, akkor minden $ \mathbf{v}\geqq \mathbf{0}$ nettó kibocsátás esetén létezik a
$ \mathbf{Kx-Rx}\geqq \mathbf{v}$ egyenlőtlenségnek $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
$ megoldása, sőt végtelen sok megoldás van.

10.3. A lineáris tevékenységelemzési modell matematikai megfogalmazása

A produktivitás alfejezetbeli $ 8^{(\mathbf{K},\mathbf{R})}$ megállapításból az következik, hogy a lehetséges $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
$ megoldások közül választhatunk. A választási kritérium elvileg többféle is lehet, leginkább lineáris függvényt használunk. Ha ismerjük az egyes tevékenységek (eljárások) egységnyi szintű alkalmazásakor felhasznált elsődleges erőforrások költségét, akkor célszerű olyan tevékenységi szinten működtetni a tevékenységeket (eljárásokat), hogy a felhasznált elsődleges erőforrások költsége minimális legyen. Ha a $ P_{j}$ tevékenység egységnyi szinten történő működtetésének erőforrás-költsége $ c_{j}$ , és a $ P_{j}$ tevékenység működtetési szintje $ x_{j}$ , akkor $ c_{j}x_{j}$ a $ P_{j}$ tevékenység működtetési költsége. Az összes tevékenység működtetési költsége pedig $ c_{1}x_{1}+\ldots
+c_{n}x_{n}$ , amely vektorosan a $ \mathbf{cx}$ skaláris szorzásnak felel meg. Tegyük fel azt a természetes megkötést, hogy minden $ c_{j}>0$ , azaz $ \mathbf{c}>\mathbf{0}$ .

A lineáris tevékenységelemzési modell optimalizálási feladatát a következőképpen fogalmazzuk meg. Legyen adott a nettó kibocsátásnak egy előírt értéke, amelyet jelöljön a nemnegatív $ \mathbf{v}$ vektor $ (\mathbf{v}\geqq \mathbf{0})$ . Milyen szinten működtessük az egyes tevékenységeket, hogy a nettó kibocsátás legalább az előírt legyen úgy, hogy a tevékenységek működtetésének költsége minél kisebb legyen? A nettó kibocsátást a $ \mathbf{Kx}$ termékkibocsátás és az $ \mathbf{Rx}$ termékfelhasználás különbsége adja, amely a kikötés szerint legalább $ \mathbf{v}$ legyen. Ezen feltételek és az $ \mathbf{x}$ nemnegativitási feltétele mellett keressük azt a termelési szintet, amelynél a $ \mathbf{cx}$ költség a legkisebb. Ezt az alábbi lineáris programozási feladattal írhatjuk le:

    \begin{displaymath}\begin{array}{r}
 \mathbf{Kx}-\mathbf{Rx}\geqq \mathbf{v} \\ 
 \mathbf{x}\geqq \mathbf{0} \\ 
 \mathbf{cx}\rightarrow \min !
 \end{array}\end{displaymath}

A lineáris programozási ismeretek alapján könnyen felírható a duál feladat is, a feladatpárra egy kanonikus alak (szimmetrikus) adódik, amely az alábbiak szerint írható:

    \begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
 \text{Primál feladat} & & \text{Duál feladat} \\ 
 \left. 
 \begin{array}{r}
 \mathbf{Kx}-\mathbf{Rx}\geqq \mathbf{v} \\ 
 \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
 \end{array}
 \right\} P & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \left. 
 \begin{array}{r}
 \mathbf{pK}-\mathbf{pR}\leqq \mathbf{c} \\ 
 \mathbf{p}\geqq \mathbf{0}
 \end{array}
 \right\} D \\ 
 \mathbf{cx}\rightarrow \min ! & & \mathbf{pv}\rightarrow \max !
 \end{array}\end{displaymath}

A duál feladat döntési változója ( $ \mathbf{p}$ ) a termékekre vonatkozik, mégpedig azok árát jelenti. A $ \mathbf{pK}$ vektor az egyes tevékenységek egységnyi működtetése esetén a kibocsátott termékek értékét jelenti. A $ \mathbf{pR}$ vektor az egyes tevékenységek egységnyi működtetése esetén a felhasznált termékek értékét jelenti.

Azt tudjuk, hogy a primál feladatnak mindig van lehetséges megoldása, ha $ (\mathbf{K},\mathbf{R})$ produktív, ekkor azonban optimális megoldás is mindig van, mivel a $ \mathbf{cx}$ primál célfüggvény alulról korlátos (még $ \mathbf{c}\geqq \mathbf{0}$ esetén is). A dualitásból következik, hogy ekkor mindig van a duál feladatnak is optimális megoldása.

Legyen a primál feladat optimális megoldása $ \mathbf{\bar{x}}\geqq
\mathbf{0}$ , az optimalitási kritérium alapján $ (\mathbf{pK}-\mathbf{pR}-\mathbf{c})\bar{x}=0$ . Ha optimális esetben a $ P_{j}$ tevékenységet működtetjük valamilyen szinten, azaz $ \bar{x}_{j}>0$ , akkor az optimalitási kritérium szerint $ \left( \mathbf{pK}\right) _{j}-\left( \mathbf{pR}\right)
_{j}-c_{j}=0$ . Mivel $ c_{j}>0$ , így $ \left( \mathbf{pK}\right) _{j}>\left(
\mathbf{pR}\right) _{j}$ . Ez utóbbi összefüggés azt jelenti, hogy optimális esetben mindig van olyan $ \mathbf{p}\geqq \mathbf{0}$ árrendszer, hogy azon tevékenységek, amelyeket működtetünk ezzel az árrendszerrel számolva nyereségesek.

Legyen a duál feladat optimális megoldása $ \mathbf{\bar{p}}\geqq \mathbf{0}$ , az optimalitási kritérium alapján $ \mathbf{\bar{p}}(\mathbf{Kx}-\mathbf{Rx}-\mathbf{v})=0$ . Ha optimális esetben a $ T_{i}$ termék nem szabad jószág, azaz $ \bar{p}_{i}>0$ , akkor az optimalitási kritérium szerint $ \left(
\mathbf{Kx}\right) _{i}-\left( \mathbf{Rx}\right) _{i}-v_{i}=0$ . Ha $ v_{i}>0$ , akkor $ \left( \mathbf{Kx}\right) _{i}>\left( \mathbf{Rx}\right) _{i}$ . Ez pedig azt mutatja, hogy a $ T_{i}$ termék esetén a technológia produktív, a $ (\mathbf{K},\mathbf{R})$ technológia ilyen termékek esetén produktív, azaz részlegesen produktív.

10.4. Példamegoldás. Feladat

Példa:

Adottak egy lineáris tevékenységelemzési modell adatai az alábbi sorrendben: kibocsátási mátrix, ráfordítási mátrix, a tevékenységek működtetési költsége, az előírt végső kibocsátás. A tevékenységek működtetési szintjét szeretnénk meghatározni úgy, hogy legkisebb költséggel teljesítsük az előírt kibocsátást (túltermelést is megengedve)! Írja fel a feladat matematikai modelljét és annak duálisát! Oldja meg a feladatpárt! Értelmezze a megoldást a duál változókat is beleértve!

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 2 & 4 & 0 \\ 
 0 & 3 & 2
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 0 & 2 & 1 \\ 
 2 & 2 & 1
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 2 \\ 
 3 \\ 
 5
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 100 \\ 
 20
 \end{array}
 \right] .$

Megoldás:

Matematikai modell:

Jelentse $ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^{3}$ a tevékenységek működtetési szintjét. Ekkor $ \mathbf{Kx}$ a kibocsátás, $ \mathbf{Rx}$ a ráfordítás (felhasználás), $ \mathbf{cx}$ az összköltség. A primál feladat feltételét írhatjuk a $ (\mathbf{K}-\mathbf{R})\mathbf{x\geqq v}$ formában is. A megoldandó lineáris programozási feladat:

    \begin{displaymath}\begin{array}{r}
 2x_{1}+2x_{2}-x_{3}\geqq 100 \\ 
 -2x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqq \ 20 \\ 
 x_{1},x_{2},x_{3}\geqq 0\ \ \\ 
 2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}\rightarrow \min !
 \end{array}\end{displaymath}

A lineáris programozási feladat megoldási módszerei:

  1. Ha szimplex módszerrel akarjuk megoldani, akkor az induló szimplex tábla a következő:

        \begin{displaymath}\begin{array}{ccccccc}
 & x_{1} & x_{2} & x_{3} & v_{1} & v_{2} & \\ \cline{2-7}
 u_{1}^{\ast } & \multicolumn{1}{|c}{2} & 2 & -1 & -1 & 0 & 
 \multicolumn{1}{|c|}{100} \\ 
 u_{2}^{\ast } & \multicolumn{1}{|c}{-2} & 1 & 1 & 0 & -1 & 
 \multicolumn{1}{|c|}{20} \\ \cline{2-6}\cline{2-7}
 & \multicolumn{1}{|c}{-2} & -3 & -5 & 0 & 0 & \multicolumn{1}{|c|}{0} \\ \cline{2-7}
 \end{array}\end{displaymath}

  2. Ha felírjuk a feladat duálisát, akkor egyszerűbben megoldhatjuk a lineáris programozási feladatot. A duál feladat:

        \begin{displaymath}\begin{array}{r}
 2p_{1}-2p_{2}\leqq 2 \\ 
 2p_{1}+p_{2}\leqq 3 \\ 
 -p_{1}+p_{2}\leqq 5 \\ 
 p_{1},p_{2}\geqq 0 \\ 
 \multicolumn{1}{c}{100p_{1}+20p_{2}\rightarrow \max !}\end{array}\end{displaymath}

    Ezt a feladatot, ha szimplex módszerrel akarjuk megoldani, akkor az induló szimplex tábla a következő (a feltételekben a hiányváltozókat $ u$ -val jelölve):

        \begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
 & p_{1} & p_{2} & \\ \cline{2-4}
 u_{1} & \multicolumn{1}{|c}{2} & -2 & \multicolumn{1}{|c|}{2} \\ 
 u_{2} & \multicolumn{1}{|c}{2} & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{3} \\ 
 u_{3} & \multicolumn{1}{|c}{-1} & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{5} \\ 
 \cline{2-3}\cline{2-4}
 & \multicolumn{1}{|c}{100} & 20 & \multicolumn{1}{|c|}{0} \\ 
 \cline{2-4}
 \end{array}\end{displaymath}

  3. Mivel $ \mathbf{c}>\mathbf{0}$ vektor, ezért a primál feladatot megoldhatjuk duál módszerrel is. Ha mindegyik egyenlőtlenséget beszorozzuk $ (-1)$ -el, akkor $ \leqq $ feltételeket kapunk amelyhez azonnal van induló bázis, a $ \mathbf{c}>\mathbf{0}$ ( $ \mathbf{c}\geqq \mathbf{0}$ esetén is) miatt az induló szimplex tábla duál megengedett lesz és alkalmazható a duál módszer. Az új $ \leqq $ feltételekben a hiányváltozókat $ u$ -val jelöljük. A következő szimplex táblák a megoldás menetét mutatják:

        \begin{displaymath}\begin{array}{ccccc}
 & x_{1} & x_{2} & x_{3} & \\ \cline{2-5}
 u_{1} & \multicolumn{1}{|c}{-2} & -2 & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{-100 } \\ 
 u_{2} & \multicolumn{1}{|c}{2} & 
 \begin{array}{|l|}
 \hline
 1 \\ \hline
 \end{array}
 & -1 & \multicolumn{1}{|c|}{-20} \\ \cline{2-4}\cline{2-5}
 & \multicolumn{1}{|c}{-2} & -3 & -5 & \multicolumn{1}{|c|}{0} \\ 
 \cline{2-5}
 \end{array}
 \ \ \ 
 \begin{array}{ccccc}
 & x_{1} & u_{2} & x_{3} & \\ \cline{2-5}
 u_{1} & \multicolumn{1}{|c}{\begin{array}{|l|}
 \hline
 -6 \\ \hline
 \end{array}
 } & -2 & 3 & \multicolumn{1}{|c|}{-60} \\ 
 x_{2} & \multicolumn{1}{|c}{-2} & -1 & 1 & \multicolumn{1}{|c|}{20}
 \\ \cline{2-4}\cline{2-5}
 & \multicolumn{1}{|c}{-8} & -3 & -2 & \multicolumn{1}{|c|}{0} \\ 
 \cline{2-5}
 \end{array}
 \ \ \ 
 \begin{array}{ccccc}
 & u_{1} & u_{2} & x_{3} & \\ \cline{2-5}
 x_{1} & \multicolumn{1}{|c}{-\frac{1}{6}} & \frac{2}{6} & -\frac{3}{6}
 & \multicolumn{1}{|c|}{10} \\ 
 x_{2} & \multicolumn{1}{|c}{-\frac{2}{6}} & -\frac{2}{6} & 0 & 
 \multicolumn{1}{|c|}{40} \\ \cline{2-4}\cline{2-5}
 & \multicolumn{1}{|c}{-\frac{8}{6}} & -\frac{2}{6} & -6 & 
 \multicolumn{1}{|c|}{140} \\ \cline{2-5}
 \end{array}\end{displaymath}

A primál feladat optimális megoldása: $ \mathbf{x}=(10,40,0)$ , tehát az első tevékenységet az alapszinthez képest $ 10$ -szeres, a második tevékenységet $ 40$ -szeres intenzitással kell működtetni, míg a harmadik tevékenységet nem kell működtetni. Mivel $ u_{1}=u_{2}=0$ , így mindegyik termékből az előírt mennyiség lesz kibocsátva, nincs túltermelés. A tevékenységek összes működtetési költsége $ 140$ pénzegység, ennél kisebb költséggel nem biztosítható az előírt nettó kibocsátás.

A duál feladat optimális megoldás: $ \mathbf{p}=(\frac{8}{6},\frac{2}{6})$ , tehát az első termék ára $ \frac{8}{6}$ , a második terméké pedig $ \frac{2}{6}$ .

Mivel $ x_{1}>0$ , így $ \left( \mathbf{pK}\right) _{1}>\left( \mathbf{pR}\right) _{1}$ , azaz $ \frac{16}{6}>\frac{4}{6}$ , tehát az első tevékenység működtetése valóban nyereséges. Hasonlóan a második tevékenység is nyereséges. A harmadik tevékenységet nem működtetjük.

Mivel $ p_{1}>0$ , így $ \left( \mathbf{Kx}\right) _{1}>\left( \mathbf{Rx}\right) _{1}$ , azaz $ 180>80$ , ill. $ p_{2}>0$ , így $ \left( \mathbf{Kx}\right)
_{2}>\left( \mathbf{Rx}\right) _{2}$ , azaz $ 120>100$ . Eszerint $ \mathbf{Kx}>\mathbf{Rx}$ , tehát van olyan $ \mathbf{x}\geqq \mathbf{0}
$ (ez az optimális megoldás), amelyre $ \mathbf{Kx}>\mathbf{Rx}$ , azaz a produktivitási definíció fennáll. Eszerint a $ (\mathbf{K,R})$ technológia produktív.

Feladat:

Adottak egy lineáris tevékenységelemzési modell adatai az alábbi sorrendben: kibocsátási mátrix, ráfordítási mátrix, az előírt végső kibocsátás, a tevékenységek működtetési költsége. Milyen szinten kell működtetni az egyes tevékenységeket, hogy legalább az előírt kibocsátást produkálják a tevékenységek úgy, hogy a működtetésük összköltsége minél kisebb legyen? Írja fel a feladat matematikai modelljét és annak duálisát! Oldja meg a feladatpárt! Értelmezze a megoldást a duál változókat is beleértve!

    $\displaystyle \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 5 & 4 & 2 \\ 
 6 & 2 & 4
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{ccc}
 4 & 3 & 4 \\ 
 4 & 3 & 2
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 40 \\ 
 200
 \end{array}
 \right] ,\ \ \ \ \ \ \left[ 
 \begin{array}{c}
 6 \\ 
 10 \\ 
 4
 \end{array}
 \right] .$

Irodalomjegyzék

1
ZALAI ERNŐ, Bevezetés a matematikai közgazdaságtanba, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1989.

2
ZALAI ERNŐ, Matematikai közgazdaságtan, KJK-KERSZÖV Jogi és Üzleti Kiadó Kft, Budapest, 2000.

3
NAGY TAMÁS HONLAPJA, http://www.uni-miskolc.hu/~matente.