Közgazdasági modellek 2.

Fegyverneki Sándor


Date: Miskolci Egyetem, 2014



Tartalomjegyzék


1. Jelenérték, kamatláb

1.1. Kamatláb (rate of interest)

$ P$ - tőke (principal)

$ r$ - kamatláb

$\displaystyle P+rP=P(1+r)
$

Kamatos kamat (compound interest)

1.1. Megjegyzés.   1. Félévenkénti. 2. Havi 3. $ P_1$ az évvégi tőke.

Effektív kamatláb:

$\displaystyle r_{eff}=\frac{P_1-P}{P}
$

Folytonos kamatos kamat:

$\displaystyle P\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^n=Pe^r.
$

1.2. Megjegyzés.   Duplázási szabály. $ r=0.01$ $ (n\approx 70),$ 0.02 (35), 0.07 (10).

$\displaystyle n\approx\frac{ln(2)}{r}.
$

1.2. Jelenérték (present value)

Kölcsön felvétel és adás esetén a kamatláb $ r$ és a kamatos kamat periódikusan. Mennyi a jelenlegi értéke $ i$ periódus (időtartam) után a $ v$ kifizetésnek (összeg)?

$\displaystyle PV=v(1+r)^{-i}.
$

Legyen $ a=(a_0,a_1,\dots,a_n)$ és $ b=(b_0,b_1,\dots,b_n)$ kifizetési sorozatok. Tegyük fel, hogy

$\displaystyle PV(a)=\sum_{i=0}^na_i(1+r)^{-i}\ge
\sum_{i=0}^nb_i(1+r)^{-i}=PV(b).
$

Kérdés: Milyenek legyenek a kifizetési sorozatok?

1.1. Példa.   Adottak a következő kifizetési sorozatok.

A. 12, 14, 16, 18, 20;        (80)

B. 16, 16, 15, 15, 15;        (77)

C. 20, 16, 14, 12, 10;        (72)

JELENÉRTÉK TÁBLÁZAT

\begin{displaymath}
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
r & \mathbf{A} & \mathbf{B} & \mathbf{C} \\ \hline
0.1 & 59.21 & 58.60 & 56.33 \\ \hline
0.2 & 45.70 & 46.39 & 45.69 \\ \hline
0.3 & 36.49 & 37.89 & 38.12 \\ \hline
\end{array}
\end{displaymath}

Jelzálog kölcsön (mortgage loan):

$ L$ - az összeg (amount)

$ n$ - a hónapok száma

$ A$ - havi törlesztés

$ r$ - kamatláb

A jelenérték:

$\displaystyle {A\over {1+r}}+{A\over {(1+r)^2}}+ \dots+{A\over {(1+r)^n}}=
{A\over r}\left[1-(1+r)^{-n}\right]=L.
$

1.3. Megjegyzés.   1. Számítsuk ki a $ j$ -edik hónap után maradó jelzálog összeget!

2. Mennyivel csökken a $ j$ -edik hónapban a jelzálog?

Legyen $ b=(b_1,\dots,b_n)$ és $ c=(c_1,\dots,c_n)$ pénz kifizetési sorozatok és $ r$ a kamatláb. Milyen feltételek mellett teljesül minden pozitív $ r$ kamatláb esetén, hogy

$\displaystyle PV(b)=\sum_{i=1}^nb_i(1+r)^{-i}\ge
\sum_{i=1}^nc_i(1+r)^{-i}=PV(c)?
$

Elégséges feltételek:

1. $ b_i\ge c_i,$ $ (i=1, 2,\dots, n).$

2. Legyen

$\displaystyle B_i=\sum_{j=1}^ib_j
\quad \hbox{és}\quad
C_i=\sum_{j=1}^ic_j,
\quad \hbox{ha}\quad (i=1, 2,\dots, n).
$

Ekkor elegendő $ B_i\ge C_i,$ $ (i=1, 2,\dots, n).$

3. Ha $ B_n\ge C_n,$ akkor elegendő, hogy

$\displaystyle \sum_{i=1}^kB_i\ge
\sum_{i=1}^kC_i,
\quad \hbox{ha}\quad (k=1, 2,\dots, n).
$

1.4. Megjegyzés.   Bizonyítás a Descartes-féle előjelszabály alapján.

Legyen $ a_i=b_{i+1}-c_{i+1},$ $ (i=0,1,\dots,n-1).$

1. $ a_i\ge 0,$ $ (i=0,1,\dots,n-1).$

2. $ \strut\displaystyle {\sum_{i=0}^{k-1}a_i=B_k-C_k\ge 0},$ $ (k=1,\dots,n).$ Legyen $ a_n=-\strut\displaystyle {\sum_{i=0}^{n-1}a_i},$ és $ P(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n.$ Ekkor $ P(1)=0,$ és a

$\displaystyle P(x)=[a_0+(a_0+a_1)x+\dots+(a_0+a_1+\dots +a_{n-1})x^{n-1}](1-x).
$

Továbbá, a $ P(x)$ polinomnak csak egy pozitív zérushelye van, és $ P(x)$ elöjele megegyezik $ (1-x)$ előjelével. Tehát

$\displaystyle a_0+a_1x+\dots+a_nx^n>0,\quad \hbox{ha}\quad 0<x<1,$

$\displaystyle a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}>\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^n=x^n(B_n-C_n)\ge 0.
$

Legyen $ x=\strut\displaystyle {1\over {1+r}}.$ Tehát ha $ 0<x<1,$ akkor $ r>0.$

3. Felhasználva az előzetes jelöléseket legyen

$\displaystyle \strut\displaystyle {\sum_{i=0}^{k-1}a_i=A_{k-1}=B_k-C_k},\qquad(k=1,\dots,n).
$

A feltételek szerint $ A_{n-1}\ge 0,$ és $ \strut\displaystyle {\sum_{i=0}^kA_k\ge 0},$ $ (k=0,1,\dots,n-1).$ Alkalmazzuk az előző bizonyítást az $ A_k$ $ (k=0,1,\dots,n-1)$ esetre. Ekkor azt kapjuk, hogy

$\displaystyle A_0+A_1x+\dots+A_{n-1}x^{n-1}\ge 0,
\quad \hbox{ha}\quad 0<x<1.
$

$\displaystyle (A_0+A_1x+\dots+A_{n-1}x^{n-1})(1-x)\ge 0,
\quad \hbox{ha}\quad 0<x<1.
$

$\displaystyle a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\ge A_{n-1}x^n\ge 0,
\quad \hbox{ha}\quad 0<x<1.
$

1.3. Megtérülési ráta (rate of return)

Legyen a kezdeti befektetés $ a$ $ (a>0)$ és $ b$ a visszakapott összeg egy periódus után. A megtérülési ráta (hozam) $ r,$ ha

$\displaystyle {b\over {1+r}}=a\quad\hbox{vagy}\quad r={b\over a}-1.
$

Egy periódusra jutó hozam (belső megtérülési ráta): Legyen $ b_i\ge 0$ a kapott összeg az $ i$ -edik periódus végén $ (i=1, 2,\dots, n).$ és $ b_n>0.$

Legyen

$\displaystyle P(r)=-a+\sum_{i=1}^nb_i(1+r)^{-i}.
$

Az egy periódusra jutó hozam $ r^\star,$ ha $ P(r^\star)=0$ és $ r^\star>-1.$

1.5. Megjegyzés.   1. $ r^\star$ egyértelműen létezik, mert $ P(r)$ monoton csökkenő függvény, ha $ r>-1$ . Továbbá,

$\displaystyle \lim_{r\to -1}P(r)=\infty,\qquad
\lim_{r\to \infty}P(r)=-a<0.
$

2. $ r^\star$ előjele megegyezik $ P(0)$ előjelével.

1.4. Folytonosan változó kamatláb

$ r(s)$ - pillanatnyi kamatláb az $ s$ időpontban.

$ D(t)$ - az összeg a $ t$ időpontban, ha a kezdeti betét (deposit) 1 egység a 0 időpontban.

Legyen $ 0\le s\le t,$ és $ h$ kicsi, ekkor feltehetjük, hogy

$\displaystyle D(s+h)\approx D(s)(1+r(s)h)
$

$\displaystyle {{D(s+h)-D(s)}\over h}\approx D(s)r(s)
$

Ha létezik a határérték, amikor $ h\to 0,$ akkor

$\displaystyle D^\prime(s)= D(s)r(s).
$

$\displaystyle {{D^\prime(s)}\over D(s)}=r(s).
$

Mivel $ D(0)=1,$ így

$\displaystyle D(t)=\exp\left[\int\limits_{0}^{t}r(s)ds\right].
$

Legyen $ P(t)$ a jelenérték (0 időpontbeli érték), ha 1 egységnyi összeget kapunk a $ t$ időpontban. Ekkor

$\displaystyle P(t)={1\over {D(t)}}.
$

1.6. Megjegyzés.   Ha $ r(s)=r$ $ (0\le s\le t),$ akkor

$\displaystyle P(t)=e^{-rt}.$

Jelölje $ \overline{r}(t)$ az átlagos kamatlábat a $ t$ időpontig, azaz

$\displaystyle \overline{r}(t)={1\over t}\int\limits_{0}^{t}r(s)ds.
$

Az $ \overline{r}(t)$ $ (t\ge 0)$ függvényt hozamgörbének (jövedelemgörbe) nevezzük.

DESCARTES:

1.1. Tétel.   Ha az $ a_0,$ $ a_1,\dots,$ $ a_n$ véges sorozatnak $ C$ jelváltása van és $ p_0>0,$ $ p_1>0,\dots,$ $ p_n>0,$ akkor a

$\displaystyle p_0 a_0, p_1 a_1, \dots, p_n a_n
$

jelváltásainak a száma $ C.$

1.2. Tétel.   Ha az $ a_0,$ $ a_1,\dots,$ $ a_n$ véges sorozatnak $ C$ jelváltása van, akkor a belőle képzett

$\displaystyle a_0, a_1-a_0, \dots, a_n-a_{n-1}, -a_n
$

sorozatnak legalább $ C+1$ előjelváltása van $ (\exists a_k\ne 0).$

1.3. Tétel.   A $ P(x)$ és $ P(\alpha x)$ polinomoknak egyenlő számú előjelváltása van, ha $ \alpha$ pozitív.

1.4. Tétel.   Legyen $ \alpha>0$ . Áttérve a $ P(x)$ polinomról az

$\displaystyle (\alpha-x)P(x)
$

polinomra az együttható-jelváltások száma nő, mégpedig páratlan számmal.

Bizonyítás. Helyettesítsük $ x$ -et $ \alpha x$ -szel és alkalmazzuk az 1.3. Tételt. $ \qedsymbol$

1.5. Tétel. (Descartes-féle előjelszabály)   Legyen $ Z$ a $ P(x)$ pozitív zérushelyeinek a száma, $ C$ pedig a jelváltások száma. Ekkor

$\displaystyle C-Z\ge 0.
$

1.7. Megjegyzés.   1. $ C-Z$ páros szám.

2. Ha $ C=1,$ akkor $ Z=1.$

1.6. Tétel.   Legyen $ C$ az

$\displaystyle a_0, a_0+a_1, a_0+a_1+a_2, \dots, a_0+a_1+\dots +a_n
$

véges sorozat jelváltásainak a száma. Tegyük fel, hogy $ P(1)=0.$ Ekkor a $ P(x)$ polinomnak legfeljebb $ C+1$ pozitív zérushelye van.

Bizonyítás.

$\displaystyle P(x)=[a_0+(a_0+a_1)x+\dots+(a_0+a_1+\dots +a_{n-1})x^{n-1}](1-x)
$

$ \qedsymbol$

1.7. Tétel.   Legyen $ C$ az

$\displaystyle a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3, \dots, a_1+a_2+\dots +a_n
$

véges sorozat jelváltásainak a száma és legyenek

$\displaystyle \lambda_1<\lambda_2<\dots<\lambda_n.
$

Továbbá, legyen

$\displaystyle D(x)=a_1e^{-\lambda_1x}+\dots+a_ne^{-\lambda_nx},
$

ahol feltesszük, hogy $ D(0)=0.$ Ekkor a $ D(x)$ függvénynek legfeljebb $ C+1$ pozitív zérushelye van.

Bizonyítás.

$\displaystyle \varphi(\lambda)=a_1+a_2+\dots +a_k,\quad\hbox{ha}\quad
\lambda_k\le\lambda_{k+1}, \quad(k=1,2,\dots,n-1).
$

$ D(0)=0$ miatt

$\displaystyle x^{-1}D(x)=\int\limits_{\lambda_1}^{\lambda_n}\varphi(\lambda)e^{-\lambda x}d\lambda.
$

$ \qedsymbol$


2. Feltételes várható érték, martingál

2.1. Bevezetés

2.1. Példa.   Dobjunk fel egy dobókockát és az eredmény pontszám legyen $ Y.$ Továbbá, legyen az $ X=1,$ ha az $ Y$ páros és $ X=0,$ ha az $ Y$ páratlan. Tudjuk, hogy $ E(Y)=3.5.$ De mennyi az $ Y$ várható értéke, ha az eredmény páros, azaz $ X=1.$ Az utóbbi információból következik, hogy az $ Y$ 2, 4, 6 lehet $ \strut\displaystyle \frac{1}{3}$ valószínűséggel. Tehát az $ Y$ várható értéke az $ X=1$ feltétel esetén

$\displaystyle E(Y\vert X=1)=\frac{2+4+6}{3}=4.
$

Hasonlóképpen

$\displaystyle E(Y\vert X=0)=\frac{1+3+5}{3}=3.
$

Összefoglalva

(2.1) $\displaystyle E(Y\vert X)=3+X.$

2.1. Megjegyzés.   Ebben a példában az $ Y=y$ feltételes valószínűsége $ X=x$ esetén

    $\displaystyle P(Y=y\vert X=x)$ $\displaystyle =\frac{P(Y=y \hbox{ és } X=x)}{P(X=x)}=$
      $\displaystyle =\frac{P(\{y\}\cap\{2,4,6\})}{P(\{2,4,6\})}=\frac{P(\{y\})}{P(\{2,4,6\})}=$
      $\displaystyle =\frac{1}{3} \quad\hbox{ ha } x=1 \hbox{ és } y\in\{2,4,6\}$
      $\displaystyle =\frac{P(\{y\}\cap\{2,4,6\})}{P(\{2,4,6\})}=\frac{P(\emptyset)}{P(\{2,4,6\})}=$
      $\displaystyle =0 \quad\hbox{ ha } x=1 \hbox{ és } y\not\in\{2,4,6\}$
      $\displaystyle =\frac{P(\{y\}\cap\{1,3,5\})}{P(\{1,3,5\})}=\frac{P(\{y\})}{P(\{1,3,5\})}=$
      $\displaystyle =\frac{1}{3} \quad\hbox{ ha } x=0 \hbox{ és } y\in\{1,3,5\}$
      $\displaystyle =\frac{P(\{y\}\cap\{1,3,5\})}{P(\{1,3,5\})}=\frac{P(\emptyset)}{P(\{1,3,5\})}=$
      $\displaystyle =0 \quad\hbox{ ha } x=0 \hbox{ és } y\not\in\{1,3,5\},$

így

$\displaystyle \sum_{y=1}^{6}yP(Y=y\vert X=x)=3+x.
$

Tehát abban az esetben, amikor az $ Y$ és az $ X$ valószínűségi változó is diszkrét az $ E(Y\vert X)$ feltételes várható érték a következőképpen definiálható

(2.2) $\displaystyle E(Y\vert X)=\sum_{y}yp(y\vert X),$

ahol $ p(y\vert x)=P(Y=y\vert X=x)$ amikor $ P(X=x)>0.$

2.2. Példa.   Vezessük be a következő jelölést:

$\displaystyle I(A)=\begin{cases}1,&\hbox{ ha }x\in A,\cr
0,&\hbox{ ha }x\not\in A.\end{cases}
$

Legyen $ X\sim U(0,1).$ Ha $ X=x,$ akkor legyen $ Y\sim U(0,x),$ ekkor

    $\displaystyle F_Y(y)$ $\displaystyle =P(Y< y)=P(Y< y\hbox{ és }X<y)+P(Y< y\hbox{ és }X\ge y)=$
      $\displaystyle =P(X<y)+P(Y< y\hbox{ és }X\ge y)=$
      $\displaystyle =y+P(Y< y\hbox{ és }X\ge y)=$
      $\displaystyle =y+E(I(Y< y)I(X\ge y))=$
      $\displaystyle =y+\int\limits_{0}^{1}\left(\int\limits_{0}^{x}I(z< y)\frac{1}{x}dz\right)I(x\ge y)dx=$
      $\displaystyle =y+\int\limits_{y}^{1}\left(\int\limits_{0}^{\min\{x,y\}}\frac{1}{x}dz\right)dx=$
      $\displaystyle =y+\int\limits_{y}^{1}\frac{y}{x}dx=y(1-\ln y),$

amikor $ 0<y<1.$ Tehát az $ Y$ sűrűségfüggvénye

$\displaystyle f_y(y)=\begin{cases}
-\ln y,&\hbox{ ha } y\in (0,1),\cr
0,&\hbox{ ha } y\not\in (0,1).
\end{cases}
$

Ebből a várható érték

$\displaystyle E(Y)=\int\limits_{0}^{1}y(-\ln y)dy=\frac{1}{4}.
$

De mennyi az $ Y$ várható értéke, ha $ X=x.$ Az utóbbi információ alapján most $ Y\sim (0,x).$ Tehát a várható érték

$\displaystyle E(Y\vert X=x)=\frac{x}{2}.$

Általánosítva

$\displaystyle E(Y\vert X)=\frac{X}{2}.$

2.2. Megjegyzés.   Ebben a példában a két valószínűségi változó folytonos, azaz léteznek a sűrűségfüggvények. Ekkor

$\displaystyle E(Y\vert X=x)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}yf(y\vert x)dy=g(x).
$

Tehát általánosítva

(2.3) $\displaystyle E(Y\vert X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}yf(y\vert X)dy=g(X).$

A példák két alapvető tulajdonságát mutatják a feltételes várható értéknek. Egyrészt, $ E(Y\vert X)$ az $ X$ függvénye, amely a következőképpen fordítható le: Legyen $ Y$ és $ X$ két olyan valószínűségi vátozó, amelyek ugyanazon az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mezőn értelmezettek, és legyen $ {\cal F}_X=\sigma(X),$ azaz az $ X$ által generált $ \sigma$ -algebra. Ekkor

(2.4) $\displaystyle Z=E(Y\vert X)\quad \hbox{ mérhető } {\cal F}_X\hbox{-re nézve.}$

Másrészt,

(2.5) $\displaystyle E((Y-E(Y\vert X))I(X\in B))=0
 \quad \forall B\in{\cal B}({\bf R})\hbox{ esetén.}$

2.2. Feltételes várható érték

Legyen $ X$ valószínűségi vátozó az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mezőn, ekkor

$\displaystyle E(X)=\int\limits_{\Omega}{}XdP=\int\limits_{{\bf R}}{}xdF_X(x),$

ahol $ F_X$ az eloszlásfüggvény.

2.1. Definíció.   Jelölje $ P_C$ a $ C$ feltétel melletti feltételes valószínűséget. Az

(2.6) $\displaystyle \int\limits_{\Omega}{}XdP_C$

integrált, ha létezik az $ X$ $ C$ feltétel melletti feltételes várható értékének nevezzük.

Jele: $ E(X\vert C).$

2.3. Megjegyzés.  

$\displaystyle P_C(A)=\int\limits_{A}{}\frac{I(A)}{P(C)}dP=\frac{1}{P(C)}\int\limits_{A}{}I(A\cap C)dP=\frac{P(A\cap C)}{P(C)},$

azaz $ P_C$ abszolút folytonos $ P$ -re nézve. Ez alapján

$\displaystyle \frac{dP_C}{dP}=\frac{I(A)}{P(C)}$

az ún. Radon-Nikodym derivált.

Tulajdonságok:

  1. Ha $ E(X\vert C)$ létezik, akkor

    $\displaystyle E(X\vert C)=\frac{1}{P(C)}\int\limits_{C}{}XdP.$

    Ui.

    $\displaystyle E(X\vert C)=\int\limits_{\Omega}{}XdP_C=\int\limits_{\Omega}{}X\frac{I(C)}{P(C)}dP=\frac{1}{P(C)}\int\limits_{C}{}XdP.$

  2. Ha $ E(X)$ véges, akkor $ E(X\vert C)$ is véges.

  3. Ha $ E(X)$ véges és független a $ C$ eseménytől, akkor $ E(X\vert C)=E(X).$

2.2. Tétel. (teljes várható érték)   Ha $ A_1, A_2,\dots$ teljes eseményrendszer és minden $ i$ -re $ P(A_i)>0.$ Ha $ E(X)$ véges, akkor

(2.7) $\displaystyle E(X)=\sum_i P(A_i)E(X\vert A_i).$

Ezután meghatározhatjuk a feltételes várható érték általános fogalmát.

2.3. Definíció.   Adott az $ X$ valószínűségi változó az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mezőn, $ E(X)$ véges és $ {\cal A}\subset{\cal F}$ $ \sigma$ -algebra. Az $ Y$ valószínűségi változó az $ X$ valószínűségi változó $ {\cal A}$ feltétel melletti feltételes várható értéke, ha

        1. $ Y$ mérhető $ {\cal A}$ -re nézve, azaz $ \sigma(Y)\subset {\cal A},$

        2. bármely $ A\in{\cal A}$ esetén $ E(Y\vert A)=E(X\vert A),$ azaz

$\displaystyle \int\limits_{A}{}YdP=\int\limits_{A}{}XdP.$

2.4. Tétel.   Ha $ {\cal A}\subset{\cal F}$ és az $ X$ valószínűségi változó, amelyre $ E(X)$ véges, akkor a $ P$ valószínűség szerint 1 valószínűséggel egyértelműen létezik az 1-2. tulajdonságoknak eleget tevő $ Y$ valószínűségi változó.

Jelölés: $ Y=E(X\vert {\cal A} )=E(X\vert {\cal A} )(\omega).$

2.4. Megjegyzés.   Ha $ Z$ valószínűségi változó, akkor $ \sigma(Z)\subset{\cal F}.$ Tekinthetjük a $ \sigma(Z)$ -re vonatkozó feltételes várható értéket, amelyet az $ E(X\vert\sigma(Z))$ helyett röviden $ E(X\vert Z)$ -vel jelölünk. Tehát

        1. $ E(X\vert\sigma(Z))$ mérhető $ \sigma(Z)$ -re nézve és

        2. bármely $ A\in{\cal A}$ esetén

$\displaystyle \int\limits_{A}{}E(X\vert\sigma(Z))dP=\int\limits_{A}{}XdP.$

2.3. A feltételes várható érték tulajdonságai

2.5. Tétel.   $ E(E(X\vert \mathcal{A}))=E(X).$

2.6. Tétel.   Ha $ P(X\le Y)$ , akkor $ P(E(X\vert {\cal A}))\le P(E(Y\vert {\cal A})).$

2.7. Tétel.   Ha $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty$ és $ E(\left\vert Y \right\vert )< \infty$ akkor

$\displaystyle P\left(E(\alpha X+\beta Y\vert {\cal A})=\alpha E(X\vert {\cal A})+\beta E(Y\vert {\cal A})\right)=1.$

2.8. Tétel.   Legyen $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty.$ Ha $ X$ $ {\cal F}$ -mérhető, akkor

$\displaystyle P\left(E(X\vert {\cal A})=X\right)=1.$

2.9. Tétel.   Legyen $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty.$ Ha $ X$ $ {\cal F}$ -mérhető, akkor

$\displaystyle P\left(E(X\vert \{\emptyset,\Omega\})=E(X)\right)=1.$

2.10. Tétel.   Legyen $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty$ és $ U=X-E(X\vert{\cal A}),$ akkor

$\displaystyle P\left(E(U\vert {\cal A})=0\right)=1.$

2.11. Tétel. (torony tulajdonság)   Legyen $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty$ és $ {\cal A}_0\subset{\cal A}_1\subset{\cal A}$ $ \sigma$ -algebrák, akkor

$\displaystyle P\left(E(E(X\vert {\cal A}_1)\vert{\cal A}_0)=E(X\vert {\cal A}_0)\right)=1.$

2.12. Tétel. (monoton konvergencia)   Legyen az $ X_n$ nem-negatív valószínűségi változók sorozata az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mezőn úgy, hogy

$\displaystyle P(X_n\le X_{n+1})=1$

és

$\displaystyle E(\sup_{n\ge 1}{X_n})< \infty,$

ekkor

$\displaystyle P\left(\lim_{n\to\infty}E(X_n\vert{\cal A})=E(\lim_{n\to\infty}X_n\vert{\cal A})\right)=1.$

2.13. Tétel.   Legyen $ X$ $ {\cal A}$ -mérhető, $ E(\left\vert X \right\vert )< \infty$ és $ E(\left\vert XY \right\vert )< \infty,$ akkor

$\displaystyle P\left(E(XY\vert {\cal A})=XE(Y\vert {\cal A})\right)=1.$

2.14. Tétel.   Legyen $ X$ és $ Y$ valószínűségi változók az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mezőn és $ E(\left\vert Y \right\vert )< \infty,$ ekkor létezik $ g$ Borel-mérhető függvény úgy, hogy

$\displaystyle P\left(E(Y\vert X)=g(X)\right)=1.$

2.15. Tétel.   Legyen $ X$ és $ Y$ független valószínűségi változók. Ha $ E(\left\vert Y \right\vert )< \infty,$ akkor

$\displaystyle P\left(E(Y\vert X)=E(Y)\right)=1.$

2.16. Tétel.   Ha $ E(Y^2)<\infty,$ akkor $ \psi(X)=E(Y\vert X)$ esetén

$\displaystyle E((Y-\psi(X))^2)$

minimális.

2.5. Megjegyzés.   Ez a tétel az alapja a regresszióanalízisnek.

2.3. Példa.   Legyenek

$\displaystyle X_1,X_2,\dots,X_n$

független, azonos eloszlású és $ X_i\sim U(0,1).$ Legyen

$\displaystyle Y_1,Y_2,\dots,Y_n$

a rendezett minta, ekkor

    $\displaystyle E(Y_1\vert Y_n=y)$ $\displaystyle =\frac{y}{n},$
    $\displaystyle E(Y_k\vert Y_l=x)$ $\displaystyle =\frac{k}{l}x,$
    $\displaystyle E(Y_k)$ $\displaystyle =\frac{k}{n+1},$
    $\displaystyle E(\frac{Y_k}{Y_{k+1}})$ $\displaystyle =\frac{k}{k+1}.$

Bizonyítás.

$\displaystyle E(Y_k)=E(E(Y_k\vert Y_n))=\int\limits_{0}{1}\frac{k}{n} xnx^{n-1}dx=\frac{k}{n+1}.
$

$\displaystyle E(\frac{Y_k}{Y_{k+1}}\vert Y_{k+1}=t)=\frac{1}{t}E(Y_k\vert Y_{k+1}=t)=\frac{1}{t}\frac{k}{k+1}t=\frac{k}{k+1}.
$

$ \qedsymbol$

2.4. Martingál

2.17. Definíció.   Legyen az $ \{\Omega,{\cal F}, P\}$ valószínűségi mező. Az

(2.8) $\displaystyle {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots\subset{\cal F}$

$ \sigma$ -algebra sorozatot szűrésnek nevezzük.

2.6. Megjegyzés.   $ {\cal A}_n$ jelenti a ,,tudást'' az $ n$ -edik időpontban. $ {\cal A}_n$ tartalmazza az összes olyan $ A$ eseményt az $ n$ -edik időpontban, amelyről eldönthető, hogy bekövetkezett vagy nem. Ha $ n$ növekszik, akkor ezen $ A$ események halmaza is bővül. Ha hosszabb ideig élsz bölcsebbé válsz!

2.18. Definíció.   Az $ X_1,X_2,\dots$ valószínűségi változó sorozat adaptált az $ {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots$ szűrésre nézve, ha $ X_n$ $ {\cal A}_n$ -mérhető bármely $ n\in {\bf N}$ esetén.

2.7. Megjegyzés.   Az $ {\cal A}_n=\sigma(X_1,X_2,\dots,X_n)$ a legszűkebb szűrés, amelyre az $ X_1,X_2,\dots$ valószínűségi változó sorozat adaptált.

2.19. Definíció.   Az $ X_1,X_2,\dots$ valószínűségi változó sorozat martingál az $ {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots$ szűrésre nézve, ha bármely $ n\in {\bf N}$ esetén

        1. $ E(X_n)$ véges, azaz integrálható,

        2. $ X_n$ $ {\cal A}_n$ -mérhető, azaz $ \sigma(X_n)\subset{\cal A}_n,$

        3. $ P\left(E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)=X_n\right)=1.$

Jelölés: $ (X_n,{\cal A}_n).$

2.8. Megjegyzés.   A harmadikat szokás martingál tulajdonságnak nevezni.

2.4. Példa.   Legyen az $ Y_1,Y_2,\dots$ független valószínűségi változó sorozat, ahol $ E(Y_n)=0$ minden $ n$ esetén. Legyen

$\displaystyle X_n=Y_1+Y_2+\dots+Y_n \hbox{ és } {\cal A}_n=\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n),
$

ekkor $ E(X_n)=0$ és $ X_n$ $ {\cal A}_n$ -mérhető. Ezenkívül

$\displaystyle E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)=E(Y_{n+1}\vert{\cal A}_n)+E(X_{n}\vert{\cal A}_n)=E(Y_{n+1})+X_n=X_n.
$

Tehát $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál.

2.5. Példa.   Az $ Y$ valószínűségi változó, amelyre $ E(Y)$ véges és legyen $ {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots\subset{\cal F}$ egy szűrés. Továbbá, legyen $ X_n=E(Y\vert{\cal A}_n).$ Ekkor $ X_n$ $ {\cal A}_n$ -mérhető és

$\displaystyle \left\vert X_n \right\vert =\left\vert E(Y\vert{\cal A}_n) \right\vert \le E(\left\vert Y \right\vert \vert{\cal A}_n),
$

amelyből

$\displaystyle E(\left\vert X_n \right\vert )\le E(E(\left\vert Y \right\vert \vert{\cal A}_n))=E(\left\vert Y \right\vert )<\infty.
$

A feltételes várható érték torony tulajdonsága alapján pedig

$\displaystyle E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)=E(E(Y\vert{\cal A}_{n+1})\vert{\cal A}_n)=E(Y\vert{\cal A}_n)=X_n.
$

Tehát $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál.

2.20. Tétel.   Ha $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál, akkor

$\displaystyle E(X_1)=E(X_2)=\dots .$

2.21. Tétel.   Ha $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál, akkor $ (X_n,\sigma(X_1,X_2,\dots,X_n))$ is martingál.

2.6. Példa.   Legyen $ X_n$ a szimmetrikus bolyongás, azaz

$\displaystyle X_n=Y_1+Y_2+\dots+Y_n,$

ahol az $ Y_1,Y_2,\dots$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata úgy, hogy

$\displaystyle P(Y_n=-1)=P(Y_n=1)=\frac{1}{2},
$

ekkor $ (X_n^2-n,\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n))$ martingál.

Bizonyítás. Az $ X_n^2-n=(Y_1+Y_2+\dots+Y_n)^2-n$ egy függvénye az $ Y_1,Y_2,\dots,Y_n$ valószínűségi változóknak, így mérhető $ \sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$ -re nézve. Továbbá

$\displaystyle \left\vert X_n \right\vert \le \left\vert Y_1 \right\vert +\left\vert Y_2 \right\vert +\dots+\left\vert Y_n \right\vert =n.
$

Tehát adódik, hogy

$\displaystyle E(\left\vert X_n^2-n \right\vert )\le E(X_n^2)+n\le n^2+n<\infty.
$

Legyen $ {\cal A}_n=\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n),$ ekkor

    $\displaystyle E(X_{n+1}^2\vert{\cal A}_n)$ $\displaystyle =E(Y_{n+1}^2+2Y_{n+1}X_n+X_n^2\vert{\cal A}_n)=$
      $\displaystyle =E(Y_{n+1}^2\vert{\cal A}_n)+2E(Y_{n+1}X_n\vert{\cal A}_n)+E(X_n^2\vert{\cal A}_n)=$
      $\displaystyle =E(Y_{n+1}^2)+2X_nE(Y_{n+1})+X_n^2=$
      $\displaystyle =1+X_n^2.$

Tehát $ E(X_{n+1}^2-1-n\vert{\cal A}_n)=X_n^2-n.$ $ \qedsymbol$

2.22. Definíció.   Az $ X_1,X_2,\dots$ valószínűségi változó sorozat szupermartingál (szubmartingál) az $ {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots$ szűrésre nézve, ha bármely $ n\in {\bf N}$ esetén

        1. $ E(X_n)$ véges, azaz integrálható,

        2. $ X_n$ $ {\cal A}_n$ -mérhető, azaz $ \sigma(X_n)\subset{\cal A}_n,$

        3. $ P\left(E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)\le X_n\right)=1$ $ \left(P\left(E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)\ge X_n\right)=1\right).$

2.9. Megjegyzés.   Ha $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál, akkor $ (X_n^2,{\cal A}_n)$ szubmartingál.

2.7. Példa.   Legyen az $ Y_1,Y_2,\dots$ valószínűségi változó sorozat véges várható értékkel és $ {\cal A}_1\subset{\cal A}_2\subset\dots\subset{\cal F}$ egy szűrés. Legyen

$\displaystyle X_n=\sum_{i=1}^n\left(E(Y_i\vert{\cal A}_i)-E(Y_i\vert{\cal A}_{i-1})\right) \hbox{ és } {\cal A}_0=\{{\cal F},\emptyset\},
$

ekkor $ (X_n,{\cal A}_n)$ martingál. Speciális esete, amikor a valószínűségi változók függetlenek és $ {\cal A}_n=\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n),$ ekkor

$\displaystyle X_n=\sum_{i=1}^n\left(Y_i-E(Y_i)\right).
$

Tehát független nulla várható értékű valószínűségi változók összege martingál.

2.8. Példa.   Legyen az $ Y_1,Y_2,\dots$ független valószínűségi változó sorozat véges, nemnulla várható értékkel, ekkor

$\displaystyle \left(X_n=\prod_{i=1}^n\frac{Y_i}{E(Y_i)},\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)\right)$

martingál.

2.9. Példa. (Kvíz)   Egy játék során egy kérdésre a válasz $ p$ valószínűséggel jó és $ s$ összeg nyerhető. Rossz válasz esetén mindent elveszítünk. Tegyük fel, hogy a kérdésekre egymástól függetlenül adjuk meg a választ. Vezessük be a következő jelöléseket:

$ X_n$ a nyeremény az $ n$ -edik kérdésig bezárólag.

$\displaystyle Y_i=\begin{cases}
1,&\hbox{ ha jó a válasz az }i\hbox{-edik kérdésre},\cr
0,&\hbox{ ha rossz a válasz az }i\hbox{-edik kérdésre},\cr
\end{cases}
$

és $ {\cal A}_n=\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n),$ ekkor

$\displaystyle X_n=ns\prod_{i=1}^n Y_i.$

Az átlagos nyeremény:

    $\displaystyle E(X_{n+1}\vert{\cal A}_n)$ $\displaystyle =(n+1)sE\left(\prod_{i=1}^{n+1} Y_i\vert{\cal A}_n\right)=$
      $\displaystyle =(n+1)s\prod_{i=1}^{n} Y_i E(Y_{n+1})=$
      $\displaystyle =(n+1)s\prod_{i=1}^{n} Y_i p=$
      $\displaystyle =X_n\frac{(n+1)s}{ns} p.$

$ (X_n,{\cal A}_n)$ submartingál, ha $ \strut\displaystyle \frac{p}{1-p}\ge n,$ szupermartingál, ha $ \strut\displaystyle \frac{p}{1-p}\le n.$ $ E(X_n)$ egy ideig növekszik, majd csökken.

2.10. Példa. (Fogadás)   Legyen $ X_0$ a kezdő tőke. Az $ a_1,a_2,\dots,$ $ (0\le a_i\le 1)$ a stratégia és $ X_n$ jelölje a játékos pillanatnyi tőkéjét az $ n$ -edik játék (lépés) után. A játék menete: Az $ (n+1)$ -edik játszmában a játékos kockáztatja a pillanatnyi tőkéjének az $ a_{n+1}$ -ed részét a bank azonos tőkéjével szemben. Tegyük fel, hogy a játszmák függetlenek és a játékos mindegyikben $ p$ valószínűséggel nyer, azaz

$\displaystyle Y_i=\begin{cases}
1,&\hbox{ ha nyer},\cr
-1,&\hbox{ ha veszít},\cr
\end{cases}
$

és $ {\cal A}_n=\sigma(Y_1,Y_2,\dots,Y_n),$ ekkor

$\displaystyle X_{n+1}=X_n+Y_{n+1}a_{n+1}X_n=X_n\left(1+Y_{n+1}a_{n+1}\right)=X_0\prod_{j=1}^{n+1}(1+a_jY_j),$

azaz az átlagos nyeremény:

$\displaystyle E(X_{n+1}\vert\mathcal{A}_{n})=E(X_n(1+Y_{n+1}a_{n+1}\vert\mathcal{A}_{n}))=X_nE(1+a_{n+1}Y_{n+1})=X_n(1+a_{n+1}(2p-1)).$

Tehát

\begin{displaymath}
(X_n,{\cal A}_n)\qquad - \quad
\begin{cases}
\hbox{szubmartingál,}&\hbox{ ha } p>0.5,\cr
\hbox{martingál,}&\hbox{ ha } p=0.5,\cr
\hbox{szupermartingál,}&\hbox{ ha } p<0.5.\cr
\end{cases}
\end{displaymath}


3. Sztochasztikus folyamatok

3.1. Alapfogalmak

3.1. Definíció.   Legyen adva egy $ (\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mező és egy tetszőleges $ T$ (index)halmaz. Valószínűségi változóknak az $ (\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőn definiált és a $ T$ halmaz elemeivel indexelt $ \{X_t,\ t\in T\}$ rendszerét sztochasztikus folyamatnak nevezzük.

3.2. Definíció.   Adott a $ T$ halmaz és legyen a $ T$ halmaz minden

$\displaystyle \{t_1,\dots,t_n\}\subset T$

részhalmazához egy ezen halmaz elemeivel indexelt $ F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ eloszlásfüggvény hozzárendelve. A véges dimenziós eloszlások ezen rendszerét kompatibilisnek nevezzük, ha tetszőleges véges $ \{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra

$\displaystyle F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_1,\dots,t_n,t_{n+1},\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty,
,\dots,\infty),
$

ahol

$\displaystyle F_{t_1,\dots,t_n,t_{n+1},\dots,t_{n+m}}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty,
,\dots,\infty)=\lim_{x_{t_{n+1}}\to\infty}\cdots
\lim_{x_{t_{n+m}}\to\infty} F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},x_{t_{n+1}},\dots,x_{t_{n+m}}),
$

és tetszőleges $ \{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra és annak tetszőleges $ \{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}\}$ permutációjára

$\displaystyle F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}}(x_{t_{\pi(1)}},\dots,x_{t_{\pi(n)}}).
$

3.3. Tétel. (Kolmogorov)   Adott egy $ T$ halmaz, valamint

$\displaystyle F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$

véges dimenziós eloszlásfüggvényeknek egy a $ T$ halmaz $ \{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ véges részhalamazaival indexelt kompatibilis rendszere, ekkor létezik egy $ \{X_t,\ t\in T\}$ sztochasztikus folyamat úgy, hogy minden $ \{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ véges halmazra az $ (X_{t_1},\dots,X_{t_n})$ véletlen vektor eloszlásfüggvénye az $ F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ eloszlásfüggvény.

3.4. Definíció.   $ \omega\in\Omega$ esetén az $ X(\cdot,\omega)$ függvényt trajektóriának (realizációnak) nevezzük.

A következőkben néhány speciális folyamat fogalmát adjuk meg.

3.5. Definíció.   Egy folyamat Gauss-folyamat, ha minden véges dimenziós eloszlás Gauss, azaz normális.

3.6. Definíció.   Az $ \{X_t,\ t\in T\}$ Markov-folyamat, ha

(3.1) $\displaystyle P(X_{t_{n+1}}<x_{n+1} \vert X_{t_{n}}=x_{n})=P(X_{t_{n+1}}<x_{n+1} \vert X_{t_{1}}=x_{1},\dots, X_{t_{n}}=x_{n}),$

ahol $ t_1<t_2<\dots<t_n<t_{n+1}$ tetszőleges $ (t_i\in T).$

3.1. Megjegyzés.   Ilyen folyamat például a Poisson-folyamat, a Wiener-folyamat (Brown-mozgás) stb.

3.7. Definíció.   Az $ \{X(t), t\ge 0\}$ számláló folyamat, ha

        1. $ N(0)=0.$

        2. $ N(t)$ csak nem-negatív egész értékeket vesz fel.

        3. Ha $ s<t,$ akkor $ N(s)\le N(t).$

        4. $ N(t)-N(s)$ az $ (s,t]$ intervallumban bekövetkező események száma.

3.2. Stacionárius folyamatok

Legyen $ \{X(t),t\in T\}$ sztochasztikus folyamat, amelyet stacionáriusnak nevezünk, ha

(3.2) $\displaystyle (X(t_1+h),X(t_2+h),\dots,X(t_n+h)),\quad n\in{\bf N},\quad
 t_1<t_2<\cdots<t_n,$

$ n$ -dimenziós eloszlása független $ h$ -tól. Szokás szigorúan stacionáriusnak is nevezni.

Egy folyamatot gyengén stacionáriusnak nevezünk, ha

(3.3) $\displaystyle E(X(t))=m,\quad m\in{\bf R},$

(3.4) $\displaystyle C(s, s+t)=R(t)=cov(X(s+t),X(s)),$

azaz a várható érték konstans és a kovariancia függvény csak az eltolástól (késéstől) függ.

3.2. Megjegyzés.   Négyzetesen integrálható stacionárius folyamat gyengén stacionárius is.

3.8. Definíció.   Az $ \{X_t,\ t\ge 0\}$ folyamatot Ornstein-Uhlenbeck folyamatnak nevezzük, ha Gauss-folyamat és

$\displaystyle E(X(t))=0,\qquad C(s,t)=e^{-\gamma \left\vert t-s \right\vert },$

ahol $ \gamma>0$ és $ X_0\sim N(0,1).$

Image ou_path
Ornstein-Uhlenbeck folyamat trajektóriái

A kovarianciafüggvény reprezentálható, mint Fourier transzformált

(3.5) $\displaystyle R(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixt} dF(x),$

ahol az $ F$ függvényt spektrál eloszlásfüggvénynek nevezzük.

Jellemző tulajdonságai:

1. Szimmetria: $ dF(x)=dF(-x).$

2. Monotonitás: ha $ x<y,$ akkor $ F(x)\le F(y).$

3. Korlátosság: $ F(+\infty)-F(-\infty)=R(0)<\infty.$

3.3. Megjegyzés.   $ F$ egy additív konstanstól eltekintve meghatározott,
ezért gyakran $ F(-\infty)=0.$

Ha $ F$ abszolút folytonos, akkor

(3.6) $\displaystyle F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(s)ds,$

és ekkor a spektrumot abszolút folytonosnak nevezzük és $ f$ a spektrál sűrűségfüggvény.

A

(3.7) $\displaystyle \lambda_k=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^kdF(x)$

mennyiséget $ k$ -adik spektrál momentumnak nevezzük.

3.4. Megjegyzés.   Az $ F$ szimmetriája miatt minden páratlan momentum 0, míg a párosak lehetnek végesek vagy végtelenek. A spektrál momentumok végessége összekapcsolható a folyamat simaságával. Mivel

(3.8) $\displaystyle E((X(s+t)-X(s))^2)=2(R(0)-R(t)),$

ezért a folytonosság kifejezhető a kovariancia függvénnyel. Rögtön adódik, hogy $ X(t+h)\to X(t)$ négyzetes középben, amint $ h\to 0,$ ha $ R$ folytonos a nullánál. A $ X(t)$ stacionárius sztochasztikus folyamat realizációi folytonosak, ha

(3.9) $\displaystyle R(t)=R(0)-\hbox{$\cal{O}$}\left(\frac{\left\vert t \right\vert }{\left\vert \ln\left\vert t \right\vert \right\vert ^q}\right),
 \quad t\to 0,\quad q>3.$

3.9. Tétel.   Legyen $ 0=t_0<t_1<\dots <t_n=T$ egy felosztása a $ [0,T]$ intervallumnak, ekkor

(3.10) $\displaystyle \lim_{\max(t_k-t_{k-1})\to 0}\sum\left [X(t_k)-X(t_{k-1})\right]^2=\sigma_w^2T
 \quad \hbox{(1 val\'osz\'\i nűséggel).}$

Bármely stacionárius kovariancia függvény esetén létezik egy konstans szórásnégyzet, amelyre

(3.11) $\displaystyle R(t)=\sigma^2\varrho(t),$

ahol $ \varrho(t)$ a korreláció függvény, amely általánosan

(3.12) $\displaystyle \varrho(s,s+t)=\frac{cov(X(s+t),X(s))}{\sqrt{cov(X(s),X(s))cov(X(s+t),X(s+t))}}.$

Image Norm_felulet1
Izotróp felület

Image B_Z_sin_022
Anizotróp felület

3.10. Definíció.   A stacionárius véletlen folyamat izotróp, ha a kovariancia függvény csak a távolságtól függ, azaz

(3.13) $\displaystyle R(t,s)=C(\tau),$

ahol $ \tau=d(t,s).$

3.5. Megjegyzés.   $ d(t,s)$ a metrika a folyamat indexhalmazán. Pl. euklideszi norma. Izotróp mezőket akkor alkalmazunk, ha forgatás és tükrözés invariáns esettel állunk szemben. Előnye, hogy elegendő egy profilogram a teljes leíráshoz.

3.11. Definíció.   A stacionárius véletlen folyamat anizotróp, ha a korreláció függvény csak a távolságtól függ, azaz

(3.14) $\displaystyle \varrho(t,s)=\varrho(\tau),$

ahol $ \tau=\left\vert\left\vert t-s \right\vert\right\vert _K$ és $ \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert _K=\sqrt{t^TKt}$ egy $ K$ pozitív szemidefinit mátrixszal.

3.12. Tétel.   Az anizotróp korrelációs függvény $ \varrho(\left\vert\left\vert t-s \right\vert\right\vert _K)$ pozitív definit $ {\bf R}^n$ -ben, ha $ \varrho(\tau)$ pozitív definit izotróp $ {\bf R}^n$ -ben és $ K$ egy szimmetrikus, pozitív szemidefinit $ n\times n$ -mátrix.

3.6. Megjegyzés.   A $ \left\vert\left\vert t-s \right\vert\right\vert _K$ norma a folyamat indexhalmazán, amely ellipszoid szimmetriát biztosít. Ha $ K$ egységmátrix visszakapjuk az izotróp esetet. Anizotróp esetben becsülnünk kell a $ K$ elemeit is. Az ilyen típusú leírás megkönnyíti az abrazív befejező megmunkálások esetén az egységes leírást és a szimulációt. Megmutatja, hogy anizotróp felületek esetén miért szükséges a több különböző irányú profilogram.


4. Geometriai Brown-mozgás

Legyen $ \{\tilde X(t) : t\ge 0\}$ Brown-mozgás. A sodródó Brown-mozgás olyan sztochasztikus folyamat, melynek eloszlása megegyezik

(4.1) $\displaystyle X(t)=\tilde X(t)+\mu t,\qquad t\ge 0$

eloszlásával, ahol $ \mu$ állandó (sodrási paraméter).

A folyamatot definiálhatnánk a következő módon is.

4.1. Definíció.   A $ \{X(t) : t\ge 0\}$ sodródó Brown-mozgás, ha

(1) $ X(t+s)-X(s)\sim N(\mu t,\sigma^2 t),$ $ 0<s,t.$ $ \mu$ és $ \sigma$ rögzített konstans.

(2) $ t_1<t_2<t_3<\dots< t_{n-1}<t_n,$ akkor a

(4.2) $\displaystyle X(t_2)-X(t_1), X(t_2)-X(t_1),\dots,X(t_n)-X(t_{n-1})$

valószínűségi változók függetlenek.

(3) $ X(0)=0,$ és $ X(t)$ folytonos a 0 pontban.

4.1. Megjegyzés.  

$\displaystyle P(X(t)<x\vert X(t_0)=x_0)=P(X(t)-X(t_0)<x-x_0)=
$

$\displaystyle =\int\limits_{\infty}^{x-x_0}{1\over \sqrt{2\pi(t-t_0)\sigma}}
\exp\left[-{{(y-\mu(t-t_0))^2}\over{2(t-t_0)\sigma^2}}\right]dy=
$

(4.3) $\displaystyle =\int\limits_{-\infty}^{x-x_0-\mu\strut\displaystyle {{t-t_0}\over \sigma}}p(t-t_0,y)dy,$

ahol

(4.4) $\displaystyle p(t,x)={1\over \sqrt{2\pi t}}\exp\left[-{{x^2}\over {2t}}\right].$

4.2. Megjegyzés.   Ha $ \mu\ne 0,$ akkor a folyamat nem szimmetrikus, és a tükrözési elv nem használható a folyamat maximuma eloszlásának kiszámolására.

Legyen $ \{X(t) : t\ge 0\}$ olyan Brown-mozgás, amelynek sodrási paramétere $ \mu,$ és diffúziós együtthatója pedig $ \sigma^2.$ Az

(4.5) $\displaystyle Y(t)=e^{X(t)},\qquad t\ge 0$

egyenlőséggel definiált folyamatot geometriai Brown mozgásnak nevezzük.

Mivel $ Y(t)=Y(0)e^{X(t)-X(0)},$ ezért a normális eloszlás karakterisztikus függvénye alapján

$\displaystyle E(Y(t)\vert Y(0)=y)=yE\left(e^{X(t)-X(0)}\right)=
$

(4.6) $\displaystyle =y\exp\left[t(\mu+{1\over 2}\sigma^2)\right],$

$\displaystyle E(Y(t)^2\vert Y(0)=y)=y^2E\left(e^{2(X(t)-X(0))}\right)=
$

(4.7) $\displaystyle =y^2\exp\left[t(2\mu+{1\over 2}4\sigma^2)\right],$

(4.8) $\displaystyle D^2(Y(t)\vert Y(0)=y)=y^2\exp\left[2t(\mu+{1\over 2}\sigma^2)\right]
 [\exp(t\sigma^2)-1].$

4.1. Példa.   Egy tökéletes piacon árusított részvény árváltozásainak modellezése:

- nem-negatív árak;

- oszcilláló viselkedés (hosszú távon exponenciális csökkenésekkel tarkított exponenciális növekedés);

- ha $ t_0<t_1<t_2<\dots<t_n,$ akkor

(4.9) $\displaystyle {{Y(t_1)}\over {Y(t_0)}},
 {{Y(t_2)}\over {Y(t_1)}},\dots,
 {{Y(t_n)}\over {Y(t_{n-1})}}$

független valószínűségi változók.

Alkalmas modell: Ha a jövőbeli ár és a pillanatnyi ár arányáról előre meg lehetne mondani, hogy milyen akkor a résztvevők vétellel illetve eladással korrigálnának. Egyensúlyi helyzetet akkor kapunk, ha az arányról nem lehet előre megjósolni, hogy vajon kedvező lesz-e vagy kedvezőtlen (függetlenség).

Érdemes-e örökös biztosítékot adni a tőzsdén?

Biztosíték: elővételi jog, hogy valaki előre rögzített számú részvényt vásárolhasson valamilyen előre megállapí tott áron, egy előírt időperiódus bármely időpontjában.

Az elővételi joggal rendelkező profitja az, amennyivel a tőzsdei ár meghaladja az opciós árat.

Feltevés: az opciót fenntartó a megállapított áron vásárolhat és újra eladhat a tőzsdén (profit realizálás). Örök idejű biztosítékot tekintünk - az opciónak nincs lejárati ideje.

"Ésszerű" stratégia: az első olyan időpont alkalmával gyakoroljuk az elővételi jogot, amikor a részvény ára valamilyen meghatározott $ a$ szintet ér el. Legyen egységnyi a biztosítékban meghatározott ár, ekkor a potenciális profit $ a-1$ $ (a>1).$

Egy ilyen opció birtokosa, legalábbis részben, lemond a részvény közvetlen birtoklásáról, amelynek értéke (várhatóan) időegységenként $ \alpha=\mu+\strut\displaystyle {1\over 2}\sigma^2$ arányban növekszik, mivel

(4.10) $\displaystyle E(Y(t)\vert Y(0)=y)=y\exp\left[t(\mu+{1\over 2}\sigma^2)\right].$

Az opciótól $ \vartheta>\alpha$ hozamot követelünk meg (leszámí tolás, jelenérték).

Legyen $ T(a)$ az első időpont, amelyre $ Y(T(a))=a.$ Ekkor a leszámítolt potenciális profit

(4.11) $\displaystyle e^{-\vartheta T(a)}[Y(T(a))-1]=e^{-\vartheta T(a)}(a-1).$

A várható leszámítolt profit nagyságát akarjuk kiszámítani, és azután maximalizálni a várható profitot.

A $ T(a)$ az első olyan időpont, amikor $ X(t)-\ln Y(t)$ eléri az $ \ln(a)$ szintet.

4.2. Tétel.   Legyen $ X(t)$ Brown-mozgás, $ \mu\ge 0.$ Legyenek $ z>X(0)=x$ adott értékek, és legyen $ T_z$ az első olyan érték, amelyre $ X(T_z)=z.$ A $ X(0)=x$ feltétel mellett $ T_z$ sűrűségfüggvénye

(4.12) $\displaystyle f(t;x,z)={{z-x}\over {\sigma\sqrt{2\pi t^3}}}\exp\left[-{{(z-x-\mu t)^2}\over
 {2\sigma^2 t}}\right],\quad t>0.$

4.3. Megjegyzés.   $ \mu\ge 0$ esetén $ T$ biztosan kisebb, mint végtelen, és a Laplace transzformáltja:

(4.13) $\displaystyle E(e^{-\vartheta T})
 =\exp\left[-{z\over {\sigma^2}}(\sqrt{\mu^2+2\sigma^2\vartheta}-\mu)\right].$

Legyen $ z=\ln a$ és $ x=\ln y,$ akkor a Laplace transzformált alapján

(4.14) $\displaystyle E(e^{-\vartheta T}\vert Y(0)=y)=\left({y\over a}\right)^\varrho,$

ahol

(4.15) $\displaystyle \varrho=\sqrt{{{\mu^2}\over {\sigma^4}}
 +{{2\vartheta}\over {\sigma^2}}}
 -{{\mu}\over {\sigma^2}}.$

A leszámítolt profit várható értéke

(4.16) $\displaystyle g(y,a)=(a-1)E(e^{-\vartheta T}\vert Y(0)=y)=
 (a-1)\left({y\over a}\right)^\varrho.$

Profit maximalizálás:

(4.17) $\displaystyle {{dg}\over {da}}=
 -\varrho(a-1)\left({y\over a}\right)^{\varrho+1}{1\over y}+
 \left({y\over a}\right)^\varrho=0.$

Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy

(4.18) $\displaystyle a^\star={\varrho\over {\varrho-1}}.$

Ha $ \vartheta>\mu+\strut\displaystyle {1\over 2}\sigma^2,$ akkor $ 0<a^\star<\infty.$ Adott $ y$ pllanatnyi részvényár esetén a biztosíték értéke

(4.19) $\displaystyle g(y,a^\star)={1\over {\varrho-1}}
 \left({{y(\varrho-1)}\over \varrho}\right)^\varrho.$


5. Dimenzió, fraktál index, stabilitás

5.1. Bevezetés


A fraktálok törtdimenziós alakzatok. De mit is jelent ez? Minden ember rendelkezik valamiféle naív dimenziófogalommal. Tudjuk, hogy egy pontnak nincs semmilyen irányú kiterjedése, így dimenziója 0. Egy szakasz pontosan egy irányba terjed ki, ezért dimenziója csakis 1 lehet. Hasonló logikával belátható, egy síkidom 2, egy test 3 dimenzióval rendelkezik. Mivel kiterjedések darabszámáról van szó, természetes kikötésnek tűnik, hogy egy objektum dimenziója csakis egész szám lehet. De vajon mit kezdjünk egy olyan görbével (vagyis elvileg egydimenziós matematikai objektummal), amely képes egy (kétdimenziós) síkot kitölteni? Vagy vessünk újra egy pillantást a Lorenz-attraktor ábrájára! Vajon hány dimenziós ez az alakzat? Egyetlen kanyargó vonalból áll, de mégis mintha valamiféle síkidom lenne, sőt egy kicsit a harmadik dimenzióba is behatol. Mintha dimenziója valahol 2 és 3 között lenne, csakhogy 2 és 3 között nincs egyetlen egész szám sem. Naív dimenziófogalmunk megfelelő általánosítására, a valós számokra való kiterjesztésére lenne szükségünk. De előtte ismerkedjünk meg a topológiai dimenzió fogalmával.

5.1. Megjegyzés.   Legyen $ f$ egy függvény az $ \cal{I}$ intervallumon és $ {\cal{S}}=\{(t,f(t))\vert
t\in \cal{I}\}.$ Az $ \cal{S}$ leképezést fraktálnak nevezzük. Az intervallum lehet többdimenziós.

5.1. Definíció.   Egy csupa izolált pontból álló halmaz topológiai dimenziója $ 0.$ Egy $ F$ halmaz topológiai dimenziója $ n,$ ha $ F$ minden pontjának tetszőlegesen kicsi szomszédjai határának topológiai dimenziója $ n - 1.$

A topológiai dimenzió mindig egész szám. Például tetszőleges hosszúságú intervallum topológiai dimenziója 1, mivel minden egyes pontjához találhatunk egy szomszédos intervallumot, melynek határai izolált pontok, így topológiai dimenziójuk 0. De hogyan terjeszük ki a dimenzió fogalmát valós számokra? Többféle lehetőség kínálkozik, a legnépszerűbb ún. fraktáldimenziók a Hausdorff- és a boxdimenzió. Ezek közül a gyakorlatban leginkább a másodikat használják.

Image L_A_01

A folytonos idejű kaotikus rendszerek mintapéldája, nevét Edward Lorenz amerikai meteorológusról kapta, aki 1963-ban egy egyszerű időjárási modell felállításával próbálkozott. Az alábbi egyenletrendszert vizsgálta:

$\displaystyle x^{\prime}= \alpha(y - x),$

$\displaystyle y^{\prime}= \beta x - y - xz$

$\displaystyle z^{\prime}= -\gamma z + xy.$

Észrevette, hogy $ \alpha= 28,$ $ \beta= 10,$ $ \gamma = \frac{8}{3}$ paraméterek mellett kis kezdeti feltételekbeli különbség esetén is igen eltérő időfejlődés tapasztalható. Amikor a rendszer viselkedését fázistérben ábrázolta, egy igen furcsa attraktor képe bontakozott ki a szemei előtt. Ez a róla Lorenz-attraktornak elnevezett különös ábra azóta a káosz egyik jelképévé vált. A Lorenz-attraktor az egyik legnevezetesebb fraktál, amely egy paraméteres differenciálegyenlet-rendszer megoldásából származik. Az egyenletek egy alulról melegített edényben lévő folyadék áramlását írják le, amit Lorenz az időjárás viselkedésének modellezéséhez használt.

Hausdorff-dimenzió szemléletes kép: Induljunk ki egy szakaszból. Ha az eredeti szakaszt az $ N-$ ed részére zsugorítjuk (idegen szóval skálázzuk), akkor ebből az új szakaszból pontosan $ N$ (vagyis $ N^1$ ) darabra van szükség, ha le akarjuk fedni velük az eredeti szakaszt. Ha egy négyzetet zsugorítunk össze az $ N$ -ed részére, akkor pontosan $ N^2$ darab, kocka esetén $ N^3$ darab kicsinyített másra van szükségünk. Könnyen észre vehetjük, hogy a kitevőben lévő szám az objektum euklideszi (vagy topológiai) dimenziójával egyezik meg. Miért ne lehetne a kitevő értéke valós szám? Hisz valós kitevőjű hatványokat gond nélkül tuduk kezelni a matematikában. Tehát csak arra kell ügyelnünk, hogy az adott objektum lefedhető legyen a saját kicsinyített másaival, más szóval legyen önhasonló. Így tetszőleges önhasonló alakzat dimenziója kiszámítható az alábbi módon:

$\displaystyle D=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{N(\varepsilon)}{-\ln (\varepsilon)},
$

ahol $ N(\varepsilon)$ darab $ \varepsilon$ méretű alakzatra (az eredeti objektum skálázott változataira) van szükség a teljes, eredeti objektum lefedéséhez.

5.2. Megjegyzés.   A fent említett Lorenz-attraktor Hausdorff-dimenziója például 2.06.

Boxdimenzió szemléletes kép: A boxdimenzió meghatározásához egy négyzetrácsot (magasabb dimenzióban kockarácsot, stb.) kell a vizsgált alakzatra helyeznünk. Ezután meghatározzuk azon cellák minimális számát, amelyek segítségével az alakzatunk lefedhető. Ha ezzel megvagyunk, finomítsuk a rácsot, használjunk például fele akkora cellaméretet, mint kezdetben. A lefedéshez szükséges cellák száma így nyilvánvalóan megnő, számunkra most az az érdekes, hogy mennyivel. Egy egyenes szakas esetében a fele akkora cellákból kétszer annyira, míg síkidomok esetén négyszer annyira lenne szükség. Jelöljük $ N-$ nel egy adott alakzat lefedéséhez szükséges cellák számát és jelölje $ r$ az alkalmazott cellaméretet. Ekkor a következő összefüggés érvényes:

$\displaystyle N = r^{-D_B},$

ahol a kitevőben szereplő $ D_B-$ t az alakzat boxdimenziójának nevezzük.

Rendezve a fenti egyenletet a következőt kapjuk:

$\displaystyle D_B = \frac{\ln N}{ -\ln r}.$

Előnye, hogy nem szükséges egzakt önhasonlóság a használatához, így akár ún. önaffin alakzatok dimenziójának mérésére is felhasználható. A boxdimenziót Minkowski-Bouligand dimenziónak is nevezik. Ezek ismeretében azt mondhatjuk, hogy fraktálnak nevezünk minden olyan önhasonló alakzatot, amelynek Hausdorff-dimenziója nagyobb, mint a topológiai dimenziója. Ezt elfogadhatnánk akár definíciónak is, de sajnos nem minden fraktál (pl. az ún. térkitöltő görbék) esetén teljesül ez a kitétel. Sajnos ezideáig nem sikerül pontos, egzakt definíciót találni arra, hogy mit nevezünk fraktálnak, így aztán illik tisztázni, hogy adott helyzetben mit értünk alatta. Ha pontos definíció nem is létezik, általában elég könnyen el tudjuk dönteni egy alakzatról, hogy az fraktál-e vagy sem. A legtöbb fraktál a következő tulajdonságokkal (vagy legalábbis majdnem mindegyikkel) rendelkezik: Haussdorff-dimenziójuk nagyobb, mint a topológiai dimenziójuk. Skálázással szemben invariánsak, legalábbis néhány mérettartományban. Kevés adattal (rövid formulával) leírhatóak.

Fraktálok a természetben Ha az előző matematikai okfejtés alapján valaki azt gondolná, hogy a fraktálok elborult matematikai alakzatok, és semmi közük a valósághoz, hatalmasat tévedne, a fraktálok megdöbbentő mennyiségben vesznek minket körül. Benois Mandelbrot szavaival élve: A felhők nem gömbök, a hegyek nem kúpok. A villám nem egyenes utat követ.

5.3. Megjegyzés.   Számos fraktáldimenzió megközelítés létezik. Az általunk használt esetek többségében értékük megegyezik.

Image normal1
Stacionárius izotróp felület standard normális eloszlás I.

Image normal2
Stacionárius izotróp felület standard normális eloszlás II.

Image xx02
Stacionárius izotróp felület standard normális eloszlás III.

5.2. Hausdorff-dimenzió

Hausdorff-dimenzió: Az $ n$ dimenziós euklideszi tér egy $ A$ részhalmazának $ \alpha$ -rendű $ H_\alpha(A)$ Hausdorff-mértékét a következőképp definiáljuk. Legyenek $ {B_1,\dots,B_n,\dots}$ az $ A$ halmazt lefedő, $ {r_1,\dots,r_n,\dots}$ sugarú gömbök. $ H_\alpha(A)$ legyen az összegek összes lehetséges lefedőrendszerre vett infimumának (legnagyobb alsó korlátjának) a limesze, midőn az $ {r_1,\dots,r_n,\dots}$ sugarak maximuma 0 -hoz tart. Nem nehéz belátni, hogy a fenti infimum legfeljebb egy $ \alpha$ értékre lehet 0 -tól különböző véges szám. Ha ugyanis $ H_\alpha(A)$ valamely $ \alpha$ -ra véges, akkor minden $ \beta > \alpha$ -ra $ H_\beta(A) = 0$ és minden $ \gamma<\alpha$ -ra $ H_\gamma(A) = \infty.$ Az $ A$ halmaz Hausdorff-dimenziója az az $ \alpha$ szám, amelyre igaz az alábbi állítás: minden $ \beta > \alpha$ -ra $ H_\beta(A) = 0$ és minden $ \gamma<\alpha$ -ra $ H_\gamma(A) = \infty.$ A megszámlálható halmazok Hausdorff-dimenziója zérus, míg az $ n$ dimenziós euklideszi tér minden olyan $ A$ halmaza, amely gömböt tartalmaz, $ n$ Hausdorff-dimenziójú.

Cantor-halmaz: A $ [0, 1]$ intervallumból hagyjuk ki az $ \strut\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ nyílt intervallumot, az így megmaradt két intervallumból hagyjuk ki az $ \strut\displaystyle \left(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\right)$ és a $ \strut\displaystyle \left(\frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)$ intervallumokat és így tovább mindig hagyjuk el a maradék intervallumok középső harmadát. A maradék halmaz a Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz 0 mértékű, mert lefedhető $ \strut\displaystyle \frac{2}{3},\frac{4}{9},\dots,\frac{2^n}{3^n},\dots$ összhosszúságú intervallumrendszerrel.

A Cantor-halmaz ugyanakkor halmazelméletileg ekvivalens a $ [0, 1]$ intervallummal: ha az intervallum pontjait végtelen triadikus törtekbe fejtjük, akkor pontosan azok a pontok lesznek a Cantor-halmaz elemei, amelyek kifejtésében csak a 0 és a $ 2$ fordul elő, a $ 2$ helyébe $ 1$ -et írva megkapjuk a $ [0, 1]$ intervallum összes pontjainak diadikus kifejtését.

A Cantor-halmaz $ \strut\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^n$ hosszúságú lefedőrendszere $ 2^n$ darab $ \strut\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^n$ intervallumból áll. Így $ \alpha= log_32 = \strut\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 3}$ választással:

$\displaystyle 2^n\strut\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^\alpha =1.$

A fenti okoskodás annak a ténynek heurisztikus indoklása (de matematikailag nem egzakt bizonyítása!), hogy a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója $ \strut\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln
3}.$

5.3. Weierstrass-függvény

Weierstrass (1872):

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),$

ahol $ 0<a<1,$ $ b$ páratlan pozitív egész és

$\displaystyle ab>1+\frac{3}{2}\pi.$

Ez a függvény folytonos, de seholsem differenciálható.

Legyen

$\displaystyle w(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(2\pi b^n x),$

ahol $ 0<a<1,$ $ ab\ge 1,$ és

$\displaystyle w_\vartheta(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(2\pi (b^n x+\vartheta_n)),$

ahol a $ \vartheta_n$ valószínűségi változó sorozat független, egyenletes eloszlású a $ [0, 1]$ intervallumon. Ekkor a $ w_\vartheta$ Hausdorff-dimenziója

$\displaystyle D=2+\frac{\ln a}{\ln b}$

egy valószínűséggel.

5.4. Megjegyzés.   A fáziseltolás nélkül csak az bizonyított, hogy $ D$ felső korlát.

5.4. Fraktálindex sztochasztikus folyamatokra

Legyen $ f$ egy függvény az $ \cal{I}$ intervallumon és $ {\cal{S}}=\{(t,f(t))\vert
t\in \cal{I}\}.$ Az $ \cal{S}$ fraktál vagy Hausdorff-dimenziója definiálható a következő módon: Adott $ \varepsilon>0,$ egy $ \varepsilon$ -lefedése $ \cal{S}$ -nek oly módon definiált, mint $ \cal{C}$ megszámlálható összessége $ S_i$ körlapoknak, ahol az átmérő rendre $ \delta_i>\varepsilon,$ amelyek lefedik $ \cal{S}$ -et. $ d>0$ esetén legyen

$\displaystyle A(d)=\lim_{\varepsilon\downarrow 0}\inf_{\cal{C}}\sum_i {\delta_i}^d,$

ahol az infimumot az $ \cal{S}$ minden $ \varepsilon$ -lefedésére vesszük. Megmutatható, hogy egyértelműen létezik egy $ D$ szám, amelyre $ A(d)=\infty,$ ha $ d<D$ és $ A(d)=0,$ ha $ d>D.$ Természetesen $ 1\le D\le 2.$ A $ D$ mennyiséget az $ \cal{S}$ fraktáldimenziójának nevezzük.

Az $ f$ függvény $ L$ rendben teljesíti a Lipschitz feltételt az $ \cal{I}$ intervallumon, ha

$\displaystyle \sup_{s,t\in{\cal I}:\left\vert s-t \right\vert \le u}\left\vert f(s)-f(t) \right\vert ={\cal O} (u^L), \quad u\to 0.$

Ebben az esetben az $ {\cal S}$ fraktáldimenziójára teljesül, hogy $ D\le 2-L.$ Továbbá, $ D\ge d,$ ha

$\displaystyle \int\limits_{{\cal I}}{}\int\limits_{{\cal
I}}{}\left(\left\vert s-t \right\vert +\left\vert f(s)-f(t) \right\vert \right)^{-d}dsdt<\infty.$

Tehát a fraktáldimenzió fogalma kapcsolódik a Lipschitz folytonossághoz.

Legyen $ \xi(t)$ egy stacionárius négyzetesen integrálható sztochasztikus folyamat

$\displaystyle v(t)=E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)=2(1-cov(\xi(t),\xi(0)))$

variogrammal. Ha létezik $ \alpha\in(0,2]$ , amelyre

$\displaystyle \alpha=\sup\{\beta\vert v(t)={\cal O}(t^\beta), t\downarrow 0\}=
\inf\{\beta\vert t^\beta={\cal O}(v(t)), t\downarrow 0\},$

akkor az $ \alpha$ a $ \xi(t)$ sztochasztikus folyamat fraktálindexe.

Ha $ \xi(t)$ Gauss-folyamat $ \alpha$ fraktálindexszel, akkor az $ f(t)=\xi(t)$ realizációra teljesül, hogy

$\displaystyle L<\frac{1}{2}\alpha,\quad d<2-\frac{1}{2}\alpha$

esetén igazak a fenti feltételek ([17] és [3] alapján).

5.5. Megjegyzés.   Számos gyakorlati és elméleti érdeklődésű esetben az $ \alpha$ fraktálindexű $ \xi(t)$ folyamat variogramja teljesíti, hogy

$\displaystyle v(t)=const\cdot \left\vert t \right\vert ^\alpha,\quad \hbox{ha} \quad t\to 0.$

Természetesen, ha a $ \xi(t)$ és az $ \eta(t)$ folyamatra teljesül, hogy

$\displaystyle E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)\sim konstans\cdot E\left((\eta(t)-\eta(0))^2\right),$

akkor megegyezik a fraktálindexük. Ez közeli kapcsolat a folyamatok kovarianciáira azonban csak elegendő, de nem szükséges feltétele a fraktálindexek egyezésének.

Legyen $ g$ egy sima függvény és $ Z$ egy sztochasztikus folyamat, ekkor a $ Z$ sztochasztikus folyamat és a $ g(Z)$ sztochasztikus folyamat realizációinak a fraktáldimenziója megegyezik. Ez egyszerűen adódik a Taylor-sorfejtés alapján a következőképpen. Ha a $ g$ függvénynek folytonos a deriváltja, akkor létezik $ t^\ast\in(0,t)$ , amelyre

$\displaystyle g(Z(t))-g(Z(0))=g^\prime(Z(t^\ast))(Z(t)-Z(0))\sim g^\prime(Z(0))(Z(t)-Z(0)),$

ha $ t\to 0.$ Továbbá, ha megköveteljük, hogy $ P(g^\prime(Z(0))=0)=0,$ akkor a $ g(Z(t))$ és $ Z(t)$ folyamat Lipschitz viselkedése és így a fraktáldimenziója is megegyezik.

5.6. Megjegyzés.   Például ha a $ g(Z(t))$ folyamat teljesíti az előbbi Taylor-sorfejtési tulajdonságot és a $ Z(t)$ folyamat fraktálindexe $ \beta\in(0,2)$ és teljesülnek a Lipschitz feltételek minden

$\displaystyle L<\frac{1}{2}\beta,\quad d<2-\frac{1}{2}\beta$

esetén, akkor a $ g(Z(t))$ és $ Z(t)$ folyamat realizációinak fraktáldimenziója

$\displaystyle D=2-\frac{1}{2}\beta.$

Gyakori, hogy egy $ \xi(t)$ nem Gauss-folyamat kifejezhető egy $ Z(t)$ stacionárius Gauss-folyamat függvényeként, azaz

$\displaystyle \xi(t)=g(Z(t)),$

ahol $ g$ sima függvény Például, ha $ \xi$ egy stacionárius folyamat $ F$ premeloszlásfüggvénnyel, akkor választhatjuk a

$\displaystyle Z(t)=(\Phi^{-1}F)(\xi(t))$

megoldást, ahol $ \Phi$ a standard normális (Gauss) eloszlásfüggvény. Ekkor garantáljuk, hogy a $ Z(t)$ folyamat esetén legalább az egydimenziós peremek Gauss-eloszlásúak és a $ g=F^{-1}\Phi$ megfelelő.

A következő állítás megad egy elégséges feltételt arra, hogy a $ \xi(t)$ és a $ Z(t)$ folyamat kovarianciájának viselkedése megegyezzen az origó közelében és így azonos fraktálindexük legyen. Továbbá, ha a fraktálindex $ \alpha,$ akkor a Gauss-folyamatokhoz hasonlóan

$\displaystyle D=2-\frac{1}{2}\alpha.$

5.2. Tétel.   Legyen $ Z(t)$ Gauss-folyamat, amelyre $ E(Z(t))=0$ és $ E(Z^2(t))=1.$ Tegyük fel, hogy valamely $ \delta>0$ esetén $ E((\xi(t)-\xi(0))^2)=\mathcal{O}(t^\delta),$ ha $ t\to 0.$ Létezik $ g^\prime,$ majdnem mindenütt folytonos, 1 valószínűséggel nem azonosan nulla. $ Z(t)$ a $ t$ folytonos függvénye. Továbbá, valamely $ \vartheta>0$ és minden $ \lambda>0$ esetén

$\displaystyle E(g^\prime(N)^2N^2)<\infty,\quad E(\sup_{\left\vert z \right\vert \le \lambda
N}\left\vert g^{\prime} \right\vert ^{ 2+\vartheta})<\infty,$

ahol $ N$ standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

$\displaystyle E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)=E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)
E\left(g^\prime(Z(0))^2\right)+\hbox{\cal{o}}\left(E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)\right),$

ha $ t\to 0.$

5.3. Tétel.   Legyen $ Z(t)$ Gauss-folyamat, amelyre $ E(Z(t))=0$ és $ E(Z^2(t))=1.$ Tegyük fel, hogy valamely $ \delta>0$ esetén $ E((\xi(t)-\xi(0))^2)=\hbox{\cal{O}}(t^\delta),$ ha $ t\to 0.$ Létezik $ g^\prime,$ majdnem mindenütt folytonos, 1 valószínűséggel nem azonosan nulla. $ Z(t)$ a $ t$ folytonos függvénye. Továbbá, valamely $ 0<\vartheta<2$ és minden $ \lambda>0$ esetén

$\displaystyle E(\sup_{\left\vert z \right\vert \le \lambda
N}\left\vert g^\prime(z) \right\vert ^{2-\vartheta})<\infty,$

ahol $ N$ standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ezenkívül tegyük fel, hogy a $ \xi(t)$ folyamat minden momentuma véges, ekkor

$\displaystyle \liminf_{t\to 0}\frac{E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)}{E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)
}=0,$

és minden $ 0<\vartheta<1$ esetén

$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)}{\left[E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)
\right]^{1-\vartheta}}=0.$

5.7. Megjegyzés.   Az utóbbi két formulából rögtön következik, hogy ilyen feltételek mellett a $ \xi(t)$ és a $ Z(t)$ folyamat fraktálindexe megegyezik. Mivel a Taylor-sorfejtés is teljesül, így az is teljesül, hogy a Gauss-folyamatokhoz hasonlóan

$\displaystyle D=2-\frac{1}{2}\alpha.$

A tétel közvetlen következménye az is, hogy a $ \chi^2$ -folyamatra is teljesül.

5.1. Példa.   Végül megadunk egy paraméteres példát, amely megmutatja, hogy az utóbbi két tétel feltételei mennyire közel vannak a szükséges és elégséges feltételhez. Legyen

$\displaystyle g(x)=\left\vert x+a \right\vert ^r h(x)\hbox{ vagy } g(x)=sgn(x+a)\left\vert x+a \right\vert ^r h(x),$

ahol $ a$ tetszőleges valós szám, $ r>-0.5$ és a $ h$ függvény teljesíti, hogy $ h(a)\ne
0,$ kétszer deriválható, amelyek korlátosak bármely kompakt (korlátos és zárt) intervallumon és nem nő polinomiálisnál gyorsabban a nem korlátos intervallumokon.

Az $ r>-0.5,$ azért szükséges, hogy létezzen a $ \xi(t)=g(Z(t))$ szórásnégyzete. Ekkor ha $ t\to 0,$

\begin{displaymath}E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)\sim C\cdot
\begin{cases}
E\left((Z(t)-Z(0))^2\right),&\hbox{ ha } r>0.5,\cr
E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)\left\vert \ln E\left((Z(t)-Z(0))^2\right) \right\vert ,&\hbox{ ha }
r=0.5,\cr E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)^{r+0.5},&\hbox{ ha } r<0.5,\cr
\end{cases}\end{displaymath}

ahol a $ C$ konstans pozitív és függ $ g$ -től. Továbbá rögtön adódik, hogy

$\displaystyle E(g^\prime(N)^2N^2)<\infty,\quad E(\sup_{\left\vert z \right\vert \le \lambda
N}\left\vert g^{\prime} \right\vert ^{ 2+\vartheta})<\infty$

akkor és csak akkor teljesül, ha $ r>0.5.$ Ezenkívül

$\displaystyle E(\sup_{\left\vert z \right\vert \le \lambda
N}\left\vert g^\prime(z) \right\vert ^{2-\vartheta})<\infty$

igaz, ha $ r\ge 0.5$ $ (0<\vartheta<2).$ Ebből látható, hogy a következő három feltétel ekvivalens:

$\displaystyle D=2-\frac{1}{2}\alpha,$

$\displaystyle E(\sup_{\left\vert z \right\vert \le \lambda
N}\left\vert g^\prime(z) \right\vert ^{2-\vartheta})<\infty,$

$\displaystyle r\ge 0.5.$

Hasonlóan szintén ekvivalens az a három feltétel, hogy

$\displaystyle E\left((\xi(t)-\xi(0))^2\right)=E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)
E\left(g^\prime(Z(0))^2\right)+\hbox{\cal{o}}\left(E\left((Z(t)-Z(0))^2\right)\right),$

ha $ t\to 0,$

$\displaystyle E(g^\prime(Z(0)^2))<\infty,$

$\displaystyle r>0.5.$

Tehát ha $ r<0.5,$ akkor a $ \xi(t)$ fraktálindexe éppen $ (r+0.5)$ -szerese a $ Z(t)$ fraktálindexének, azaz

$\displaystyle D=2-\frac{1}{1+2r}\alpha.$

A példánkban felsorolt $ g$ függvény nagyon sokszor lehet $ g=F^{-1}\Phi$ alakú, ahol $ F$ és $ \Phi$ a $ \xi(t)$ és a $ Z(t)$ megfelelő peremeloszlásfüggvényei. Speciálisan, ilyen eset az amikor $ g$ monoton növekvő. Például, ha

$\displaystyle g(x)=sgn(x+a)\left\vert x+a \right\vert ^r h(x),$

ahol $ r>0$ és $ h$ szimmetrikus $ a$ -ra és növekvő a $ (a,+\infty)$ intervallumon.

Megállapíthatjuk, hogy ha $ r<0.5,$ akkor

$\displaystyle D=2-\frac{1}{1+2r}\alpha.$

5.8. Megjegyzés.   A szokásos módszerek a fraktáldimenzió meghatározására. Legyen a fraktál görbe poligonos megközelítésének a hossza $ l(s),$ ekkor

$\displaystyle \ln l(s)=(D-1)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1),$

ha $ s\to 0.$ A gyakorlatban fontos a pontos $ l$ meghatározása az adatokból (profilogram feldolgozása). Ugyanez variogram alapú becsléseke setén

$\displaystyle \ln \left\vert v(s) \right\vert =2(2-D)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1),$

ha $ s\to 0.$ Előző példánkban kapott fraktáldimenzió és fraktálindex kapcsolat alapján ha $ r<0.5,$ akkor ezeket az alapegyenleteket a következőképpen kell megváltoztatni

$\displaystyle \ln l(s)=(0.5(2r+1)D-2r)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1),$

$\displaystyle \ln \left\vert v(s) \right\vert =(2r+1)(2-D)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1).$

Tehát lényeges a tételeinkben megadott feltételek biztosítása, mert a regresszióval becsült érték az nem biztos, hogy megadja közvetlenül a fraktáldimenziót.

5.5. Fraktálindex sztochasztikus mezőkre

Általánosítás [11] alapján. Legyen $ \xi(t)$ egy stacionárius sztochasztikus folyamat (vagy véletlen mező), amelynek realizációja $ d$ -dimenziós geometriai struktúra (ha $ d=1,$ akkor görbe és ha $ d=2,$ akkor felület), és

$\displaystyle R(t)=cov(\xi(t),\xi(0)).$

Továbbá $ \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert $ jelöli az euklideszi normát. A folyamat fraktálindexét definiálhatjuk, mint az

$\displaystyle a=\sup\{\beta>0\vert R(0)-R(t)={\cal O}(\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^\beta),\quad {\rm ha } \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert \to
0\},
$

$\displaystyle b=\inf\{\beta>0\vert \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^\beta={\cal O}(R(0)-R(t)), \quad {\rm ha } \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert \to
0\}
$

számok $ \alpha$ közös értékét. Gyakorlatban az $ a=b.$ Például izotróp esetben

$\displaystyle R(t)=R(0)-c\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^\alpha+o(\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^\alpha), \quad {\rm ha } \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert \to 0.$

Ha a $ \xi$ differenciálható, akkor $ \alpha=2,$ egyébként 0 és $ 2$ közé esik. Ha a fraktálindex létezik, akkor

$\displaystyle D=d+1-\frac{1}{2}\alpha,$

azaz a fraktáldimenzió meghatározott. A $ c$ konstans pedig tekinthető a topotéziának. Davies és Hall általánosabb eseteket is vzsgáltak [11] cikkükben. Például bizonyos anizotróp eseteket, amikor az $ \alpha$ egy irányban más értéket vesz fel illetve amikor a topotézia nem konstans.

Az izotróp eset általánosítása [8] és [9] alapján:

$\displaystyle R(t)=R(0)-\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^\alpha M\left(\frac{t}{\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert }\right)+{\cal O}(\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert ^{\alpha+\beta}),
\quad {\rm ha } \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert \to 0,$

ahol $ \alpha\in (0,2],$ $ R$ nemnegatív definit, $ \beta>0,$ $ \left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert $ az euklideszi norma és $ M$ sima függvény az $ {\bf R}^d$ egységgömbjén.

5.9. Megjegyzés.   Gyakorlatilag ehhez van közel a Blackmore-Zhou szimulációs modell.

5.10. Megjegyzés.   Ha $ M$ konstans, akkor visszakapjuk az izotróp esetet.

5.11. Megjegyzés.   Ha

$\displaystyle M\left(\frac{t}{\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert }\right)=
\left(\frac{{e_1}^2{t_1}^2+{e_2}^2{t_2}^2+2e_{12}t_{12}}
{{t_1}^2+{t_2}^2}\right)^\alpha,$

akkor megkapjuk az elliptikus kontúrmodellt, amely tekinthető a Greenwood-Williamson modell általánosításának is.

További általánosítás, amikor az $ \alpha$ is változik. Szokás erősen anizotrópnak nevezni, amikor $ \alpha$ is $ \frac{t}{\left\vert\left\vert t \right\vert\right\vert }$ függvénye. Természetesen mindez teljesen megváltozik, ha a folyamat nem stacionárius.

5.6. A fraktáldimenzió becslése

A stacionárius Gauss-folyamatok esetén hamar kialakult a fraktáldimenzió pontos értéke a fraktálindex alapján ezt terjesztette ki a Gauss-folyamatok függvényeire Hall és Roy [17].

A becslések egyrésze ún. ad-hoc becslés, azaz a fraktáldimenzió definíciója és a mérőeszközök tulajdonságai segítségével született. A szimulációk esetében gyakran nem történik becslés, mert feltételezik, hogy az elméleti értéknek megfelelően történt a szimuláció. Ezért fontos a Weierstrass-Mandelbrot függvény és a kifejlődött elmélet, Blackmore-Zhou szimuláció és becslési módszer, Davies-Hall és Chan-Wood által kifejlesztett fraktálindex leírások és becslések [11], [9].

A becslések egy fontos alapja, hogy log-log koordinátarendszert feltételezve visszavezethetők a lineáris regresszió valamelyik változatára. Vigyázat, ha nem teljesülnek a fraktáindexre megadott feltételek, akkor már viszonylag egyszerű $ g$ függvény esetén is lehetséges, hogy becsléseink nem konzisztensek, azaz nem tartanak a valódi paraméterértékhez.

Profilogram alapú becslések:

Legyen a fraktál görbe poligonos megközelítésének a hossza $ l(s),$ ekkor

$\displaystyle \ln l(s)=(D-1)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1),$

ha $ s\to 0.$

A gyakorlatban fontos a pontos $ l$ meghatározása az adatokból (profilogram feldolgozása). Utána egyszerű lineáris regresszióval a megfigyelt értékek $ (\ln l,
\ln s)$ párjainak sorozatára.

Variogram alapú becslések:

$\displaystyle \ln \left\vert v(s) \right\vert =2(2-D)\left\vert \ln s \right\vert +\hbox{konstans}+\hbox{\cal{o}}(1),$

ha $ s\to 0.$

Ez adódik abból a tételből, hogy Gauss-folyamatok esetén a négyzetes megváltozás egy valószínűséggel a hossz és a szórásnégyzet szorzata [6].

Hasonlóan az előzőhöz az $ s$ függvényében az eltérések négyzetének az átlaga alapján írható fel a lineáris regresszió.

Periodogram (semiperiodogram) alapú becslések. Bővebben [7].

Hatvány spektrum alapú becslések. Bővebben [21], [2], [17].


6. Biztosítási matematika

6.1. Életbiztosítás


$ T$ - élettartam (születéskor)

$ F(t)=P(T\le t)$ - eloszlásfüggvény ($ F(0)=0,$ $ F(\omega)=1$ )

$ \overline{F}(t)=P(T> t)$ - túlélésfüggvény

$ f(t)=\strut\displaystyle {\frac{d}{dt}F(t)}$ - sűrűségfüggvény, $ F(t)=\int\limits_{0}^{t} f(s)ds.$


Feltételes valószínűségek, jelölések, összefüggések:

$\displaystyle P(T\le x+t\vert T>x)={_tq_x},$

$\displaystyle P(T> x+t\vert T>x)={_tp_x},$

$\displaystyle {_tp_x}+{_tq_x}=1,$

$\displaystyle {_tp_0}=\overline{F}(t),$

$\displaystyle {_tq_0}=F(t).$


Halálozási intenzitás:

$\displaystyle \mu(t)=\lim_{h\to 0}\frac{P(T< t+h\vert T>t)}{h}=-\frac{d}{dt}\ln\overline{F}(t),$

azaz

$\displaystyle \overline{F}(t)=\exp\left(-\int\limits_{0}^{t}\mu(s)ds\right),$

$\displaystyle {_tp_x}=\exp\left(-\int\limits_{0}^{t}\mu(x+s)ds\right).$


6.2. Halandósági táblák


A díjkalkuláció egyik legfontosabb eleme a halandósági tábla. Erre azért van szükség, mert azt nem tudjuk előre, hogy egy konkrét ügyfél hány évig fog még élni, de ha egy nagy számú közösséget vizsgálunk, ott már megfigyelhetők bizonyos törvényszerűségek. Megállapítható például, hogy egy $ x$ éves férfi esetében mekkora a valószínűsége annak, hogy bizonyos éven belül meghal.

A halandósági tábláknak két csoportja van; az egyik az ún. néphalandósági tábla. Ez népszámlálási adatokon alapul, és a teljes lakosságra vonatkozik. A másik csoportot a szelekciós táblák képezik. Ezt a lakosság bizonyos csoportjainak adatai alapján készítik el, például foglalkozás, lakóhely, családi állapot stb. szerint.

Jelölések:

$ l_0$ - az alap populáció nagysága (általában 100000).

$ l_x$ - az $ x$ kort túlélők száma ($ x$ itt egész).

$ d_x$ - az elhalálozások száma $ x$ korban.

Ha a táblázat nem determinisztikusnak tekintett, akkor ezek várható értékek. Gyakori, hogy $ x$ és $ (x+1)$ között az eloszlást egyenletesnek tekintik.

$\displaystyle {_tp_x}=\frac{l_{x+t}}{l_x},$

$\displaystyle {_tq_x}=\frac{l_x-l_{x+t}}{l_x}.$

$\displaystyle {_1q_x}=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}=q_x.$

Részlet az 1990-es halandósági táblából:

\begin{displaymath}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x & l_x & d_x & q_x & e_x \\ \hline
35& 94077 & 381 & 0.00405 & 32.60\\ \hline
36& 93696 & 412 & 0.00440 & 31.73\\ \hline
37& 93284 & 445 & 0.00477 & 30.87\\ \hline
38& 92839 & 479 & 0.00516 & 30.02\\ \hline
39& 92360 & 518 & 0.00561 & 29.17\\ \hline
40& 91842 & 562 & 0.00612 & 28.34\\ \hline
\end{array}
\end{displaymath}

$ e_x$ - az adott korban a várható élettartam:

$\displaystyle e_x=\int\limits_{0}^{\omega-x}{\mbox{}_{t}p_x}dt=\frac{l_{x+1}+l_{x+2}+l_{x+3}+\dots}{l_x}.$

6.3. Halandósági modellek

Szokásos modellek, példák:

1. Exponenciális

$\displaystyle \mu(t)=\lambda,\quad \overline{F}(t)=e^{-\lambda t}.$

2. Weibull

$\displaystyle \mu(t)=\beta \alpha^{-\beta}t^{\beta-1}, (\alpha>0,\beta>0),\quad\overline{F}(t)=\exp\left(-\left(\frac{t}{\alpha}^\beta\right)\right).$

3. Gompertz-Makeham

$\displaystyle \mu(t)=\alpha+\beta e^{\gamma t},(\alpha>0,\beta>0),\quad \overline{F}(t)=\exp\left(-\alpha t-\beta\frac{e^{\gamma t}-1}{\gamma}\right).$

6.1. Példa.   Az 1982-es dániai halandósági táblát jól közelíti, ha

    $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =5\cdot 10^{-4}$
    $\displaystyle \beta$ $\displaystyle =7.5858\cdot 10^{-5}$
    $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle =\ln(1.09144).$

6.4. Neméletbiztosítás,kockázati modellek

Egyedi kockázati modell:

$\displaystyle S=X_1+X_2+\dots X_n.$

$ X_i$ a kár nagyságát jelöli. Ha $ n$ elég nagy és teljesülnek a centrális határeloszlás-tétel feltételei, akkor alkalmazható a normális eloszlás, egyébként valószínűségi változók összegének (konvolúció) eloszlását kell meghatározni, ami általában nem könnyű.

Kollektív kockázati modell:

$\displaystyle S=X_1+X_2+\dots X_N.$

$ X_i$ a kár nagyságát, míg $ N$ a gyakoriságot (darabszám) jelöli. Általában feltehető, hogy $ X_i$ és $ N$ független, ekkor

$\displaystyle E(S)=E(N)E(X_1),$

ha az $ X_i$ valószínűségi változók azonos eloszlásúak. Továbbá,

$\displaystyle D^2(S)=E^2(X_1)D^2(N)+E(N)D^2(X_1).$

Gyakorisági (kárszám) modellek:

Poisson-eloszlás, binomiális eloszlás, negatív binomiális eloszlás. Ez utóbbi speciális esete a geometriai (Pascal) eloszlás.

NEGATÍV BINOMIÁLIS ELOSZLÁS:

$\displaystyle P(N=k)=\strut\displaystyle {{\alpha+k-1} \choose k}q^k(1-q)^\alpha, \quad k=0,1,2,\dots,$

ahol $ 0<q<1,$ $ \alpha>0.$ Ha $ \alpha=1$ a geometriai eloszlást kapjuk.

$\displaystyle P(N=k)=\frac{\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma{k+1}\Gamma(\alpha)}q^k(1-q)^\alpha.$

Kárnagyság modellek:

lognormális eloszlás, Pareto-eloszlás, $ \Gamma$ -eloszlás, exponenciálisok keveréke.

Irodalom szerint: tűzkár (lognormális, Pareto, exponenciálisok keveréke), gépkocsi töréskár ($ \Gamma$ -eloszlás), betegség időtartama (csonkított lognormális, exponenciálisok keveréke).

LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS:

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(\ln x-m)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \sigma>0, x>0.$

PARETO-ELOSZLÁS:

$\displaystyle f(x)=\frac{\alpha \beta^\alpha}{x^{\alpha +1}},\quad \alpha>0, x>\beta>0.$

EXPONENCIÁLISOK KEVERÉKE:

$\displaystyle f(x)=p\alpha e^{-\alpha x}+(1-p)\beta e^{-\beta x},\quad \alpha>0, \beta>0, 0\le p\le 1, x>0.$

Kollektív kockázati modell hosszútávra:

$\displaystyle U(t)=u+ct-S(t),$

ahol $ u$ a kezdeti többlet (tőke), $ ct$ a biztosításidíj befizetés és $ S(t)$ az aggregált kárösszeg.

6.5. Díjszámítási elvek

A biztosítások díja általában három részből tevődik össze: kockázati díjrész, biztonsági pótlék, vállalkozói díjrész.

Az életbiztosítások díja két részből áll: kockázati díjrész, vállalkozói díjrész.

A kockázati díjrészt nettó díjnak szokták nevezni, a kockázati díjrész és a vállalkozói díjrész összegét bruttó díjnak. A kockázati díjrész szolgál a vállalt kockázatok fedezetéül, a biztosító ebből a díjrészből felhalmozott forrásokból fizeti ki biztosítási esemény bekövetkezésekor (halál, elérés) a biztosítási szerződésben vállalt szolgáltatásokat. Mivel azonban az életbiztosítások esetében a káralakulás igen nagy biztonsággal meghatározható, ezért életbiztosítások esetében nem szoktak biztonsági pótlékot kalkulálni. A vállalkozói díjrész a biztosító költségeit kell hogy fedezze, a biztosítót mint vállalkozót illeti meg, aki a pénzét befekteti a gazdaságba.

A biztosítási díj kalkulációját - bizonyos alapadatok felhasználásával és a valószínűségszámítás törvényszerűségeire építve - a biztosításmatematikusok (aktuáriusok) végzik. A díjkalkuláció alapelve az ún. ekvivalencia elv, amely így szól: a bevételek jelenértékének várható értéke egyenlő a kiadások jelenértékének várható értékével, azaz

$\displaystyle \pi(X)=E(X),$

ahol $ X$ a követelést jelöli és valószínűségi változó.

A fenti képletben a várható érték fogalom azt jelenti, hogy nagy számú, azonos paraméterekkel rendelkező szerződésre érvényes, hogy a bevételek jelenértékének meg kell egyeznie a kiadások jelenértékével. A jelenérték kifejezés a képletben azért fontos, mert az ajánlat felvételekor meghatározott biztosítási összeg kifizetése egy távoli, nem pontosan meghatározott időben következik majd be, az ennek megfelelő díjat pedig már az ajánlatfelvételkor ismerni kell.

Egyszerűbben: az azonos típusú életbiztosítások jelenleg fizetendő biztosítási díját úgy kell meghatározni, hogy a befizetett díjak fedezetet nyújtsanak a jövőben kifizetésre kerülő biztosítási szolgáltatásokra.

Az ekvivalencia elvet kifejező egyenletben a bevételek és a kiadások jelenértékre vetítve szerepelnek, mert a bevételek ( a díjak befizetése) különböző időpontokban jelentkeznek és a kiadások sem mind egyidejűleg merülnek fel. A különböző időpontban jelentkező pénzeket így csak akkor lehet összehasonlítani, ha egységesen mérjük őket. Ennek számszerűsítéséhez a jelenérték számítás módszerét kell alkalmazni.

A jelenérték kiszámításához el kell dönteni, hogy a diszkontálást milyen kamatlábon végezzük. Ez a kamatláb az ún. technikai kamatláb. Ez egy olyan, a biztosító által választott és rögzített kamatláb, melyet minden biztosító alkalmaz a díjkalkulációnál és a tartalékszámításnál. A technikai kamatláb megválasztásánál azt kell figyelembe venni, hogy csak olyan kamatlábbal kalkulálhat a biztosító, amelyet hosszú távú szerződéseinél is biztosnak tekinthet.

Technikai kamatláb az ügyfél részére ez egyben garantált hozamot is jelent. A biztosító garantálja, hogy a díjtartalék befektetésével legalább ekkora hozamot ér el, s juttat vissza a szerződőnek, még abban az esetben is, ha a biztosító befektetései nem érnék el ezt a hozamszintet.

Az életbiztosítók nagyságát és piaci erejét a díjbevétel mellett elsősorban a díjtartalék nagyságával szokták jellemezni. A díjtartalék az ügyfél által fizetett díjakból a későbbi kifizetésekre (elérés, halál) felhalmozott pénzösszeg. A díjtartalék nem egyenlő az ügyfél által befizetett díjak összegével.

A díjtartalék másképp alakul a tiszta kockázati és a tőkerésszel rendelkező biztosításokq-nál, ezért külön kell vizsgálni a két esetet.

A biztosító úgy számolja ki a kockázati életbiztosítás díját, hogy (ha az ügyfél nem végez értékkövetést) az ügyfél minden évben ugyanannyi díjat fizessen. Az első években az alacsonyabb kor miatt a kockázat jóval kisebb, mint a tartam vége felé. Ezáltal a tartam elején befizetett díjak nagyobbak lesznek, mint azt a kockázat indokolná, a tartam végén pedig kisebbek. A tartam elején jelentkező relatív díjtöbblet miatt jelentkezik a kockázati biztosítás díjtartaléka. A tényleges és szükséges díj különbsége az első években a díjtartalékba kerül, amiből azután folyamatosan pótolják a későbbi években felmerülő hiányt.

Az elérési életbiztosításoknál a tartam alatt fokozatosan jöjjön létre az a pénzösszeg, amelyet lejáratkor biztosítási összegként a biztosító köteles kifizetni az ügyfélnek. Az elérési biztosítás díjtartaléka a befizetett díjak elérési szolgáltatásra szánt díjrészei révén folyamatosan nő, hasonlóan mint egy kamatozó bankbetét, azzal a különbséggel, hogy a növekedés üteme gyorsabb a díjtartalék esetében (mert a tartam folyamán meghaltak pénze is növeli a még élők számláján lévő díjtartalékot). T artam elején a díjtartalék értéke $ 0,$ tartam végén egyenlő a biztosítási összeggel.

A díjtartalék növekedésének három forrása van: a rendszeresen beérkező díj, a díjtartalék hozama (a technikai kamat mértékéig) és a tartam közben elhunytak díjtartalékának egy része. Azt, hogy egy adott pillanatban mekkora lesz a díjtartalék, kamatos kamatszámítással nem lehet megállapítani.

A vegyes életbiztosítás díjtartaléka felfogható úgy is, mint egy kockázati és egy elérési biztosítás díjtartalékának az összege. A vegyes életbiztosítás díjtartalékának nagyságára az elérési biztosításnál említett tényezőkön túl még az is hatással van, hogy a tartam folyamán történő haláleseti kifizetéseket is a díjtartalékból fedezik.

A díjfüggvénytől megkövetelt tulajdonságok:

1. Nemnegatív terhelés:

$\displaystyle \pi(X)\ge E(X).$

2. Maximális veszteség:

$\displaystyle X\le m \quad \Rightarrow \pi(X)\le m .$

3. Monotonitás:

$\displaystyle X\le Y\quad \Rightarrow \pi(X)\le \pi(Y).$

4. Szubadditivitás:

$\displaystyle \pi(X+Y)\le \pi(X)+\pi(Y).$

Díjszámítási elvek és tulajdonságaik:

1. Várható érték elv:

$\displaystyle \pi(X)=(1+a)E(X),\quad (a>0).$

Teljesül a nemnegatív terhelés, a monotonitás, a szubadditivitás és nem teljesül a maximális veszteség tulajdonsága.

2. Szórás elv:

$\displaystyle \pi(X)=E(X)+aD(X),\quad (a>0),$

ahol $ D(X)$ a szórás. Teljesül a nemnegatív terhelés, a szubadditivitás és nem teljesül a maximális veszteség, a monotonitás tulajdonsága. Jól alkalmazható a centrális határeloszlás-tétel alapján a normális eloszlás.

3. Szórásnégyzet elv:

$\displaystyle \pi(X)=E(X)+aD^2(X),\quad (a>0).$

Teljesül a nemnegatív terhelés és nem teljesül a maximális veszteség, a monotonitás, a szubadditivitás tulajdonsága.

4. Exponenciális elv:

$\displaystyle \pi(X)=\frac{1}{a}\ln E\left(e^{aX}\right),\quad (a>0).$

5. Esscher elv:

$\displaystyle \pi(X)=\frac{E\left(Xe^{aX}\right)}{E\left(e^{aX}\right)}.$

6. Kvantilis:

$\displaystyle \pi(X)=(\min \{m\vert P(X>m)\le a\}).$

Irodalomjegyzék

1
Bognár J-né, Mogyoródi J., Prékopa A., Rényi A., Szász D.: Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.

2
P. Abrahamsen: A Review of Gaussian Random Fields and Correlation Functions, Internet, 1997.

3
R. Adler, J. Taylor: Random Fields and Geometry, Springer Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2007.

4
M. Arató: Linear stochastic systems with constant coefficients. Springer-Verlag, Berlin, 1982.

5
M. Arató, S. Fegyverneki: New statistical investigation of Ornstein-Uhlenbeck process with simulations, Comput. Math. Applic., 44, 2002, pp. 677-692.

6
G. Baxter: A strong limit theorem for Gaussian process, Proc. Amer., Math. Soc., 7, 1956, pp. 522-525.

7
G. Chan, P. Hall, D. S. Poskitt: Periodogram-based estimators of fractal properties, Ann. Statist., 23, 1995, pp. 1684-1711.

8
G. Chan, A. T. A. Wood: Increment-based estimators of fractal dimension for two-dimensional surface data, Statistica Sinica, 10, 2000, pp. 343-376.

9
G. Chan, A. T. A. Wood: Estimation of fractal dimension for a class of non-gaussian stationary processes and fields, The Annals of Statistics, 32, 2004, pp. 1222-1260.

10
Deák I.: Véletlenszámgenerátorok és alkalmazásaik, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1986.

11
S. Davies, P. Hall: Fractal analysis of surface roughness by using spatial data (with discussion), J. R. Stat. Soc. Ser., B61, 1999, pp. 3-37.

12
R. M. Dudley: Real Analysis and Probability, Wadsworth, Belmont, CA, 1989.

13
S. Fegyverneki: Robust estimators and probability integral transformation, Math. Comput. Modelling, 38, 2003, pp. 803-814.

14
W. Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978.

15
I. I. Gihman, A. V. Szkorohod: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.

16
B.V. Gnedenko (1975): The Theory of Probability, Mir Publishers, Moscow, 1975.

17
P. Hall, R. Roy: On the relationship between fractal dimension and fractal index for stationary stochastic processes, Ann. Appl. Probab., 4 1994. pp. 241-253.

18
R.V. Hogg, A.T. Craig: Introduction to Mathematical Statistics, The MacMillan Company, New York, 1969.

19
S. Karlin, H. M. Taylor: A second course in stochastic processes, Academic Press, New York, 1981.

20
A.N. Kolmogorov: A valószínűségszámítás alapfogalmai, Gondolat, Budapest, 1982.

21
G. Lindgren: Lectures on stationary stochastic processes, Centrum Scientarium Mathematicarum, Lund University, 2006.

22
Lukács O.: Matematikai statisztika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

23
R. S. Liptser, A. N. Shiryayev: Statistics of random processes, Academic Press, London-New York, 1980.

24
M. M. Rao: Probability theory with applications, Academic Press, New York, 1984.

25
Rényi A.: Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1954.

26
Solt Gy.: Valószínűségszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973.

27
I.M. Szobol: A Monte-Carlo módszerek alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

28
Vincze I.: Matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.