A numerikus módszerek néhány fejezete

Ebben az alfejezetben röviden emlékeztetünk a mátrixok, vektorok körében bevezetett fontosabb műveletekre és azok tulajdonságaira. Általában mátrixokról beszélünk, és mivel a vektorokat is (speciális méretű) mátrixoknak tekintjük, ahol nem lényeges, ott nem említjük azokat külön is.

I. Összeadás. Csak azonos méretű mátrixok között értelmezzük, mégpedig elemenként. Azaz, ha , akkor

Az összeadás fontos tulajdonságai: kommutatív és asszociatív (a tagok sorrendje felcserélhető és csoportosítható), invertálható (adott mátrixokhoz létezik , hogy teljesül), továbbá van zéruselem (lásd a speciális mátrixoknál).

II. Számmal való szorzás. Legyen és legyen valós szám (azaz ). Ekkor

Nyilvánvaló, hogy , továbbá a fenti két művelet értelmezéséből következik az alábbi két – disztributívitást kimondó – szabály:

2.4. Megjegyzés. Az halmazt (vagy az halmazt) a fenti két művelettel algebrai struktúrának tekinthetjük és mint ilyen, rendelkezik mindazon tulajdonságokkal, amelyek a lineáris teret (más szóval – itt ugyan szokatlanul hangzik – vektorteret) definiálják; például van zéruselem, az összeadás invertálható, stb. Ezért nem lesz meglepetés, ha az általunk érzékelt háromdimenziós térben definiált vektorok bizonyos jellemzőit (pl. hosszúság) általánosítjuk többdimenzióban is, sőt ezt az általánosítást kiterjesztjük mátrixokra is.

III. Transzponálás (tükrözés). Az transzponáltját jelölje , amit a következőképpen definiálunk:

Úgy is fogalmazhatjuk: a sorokat és az oszlopokat felcseréljük. Fontos tudni a definícióból adódó szabályt.

Négyzetes mátrixok esetén a transzponálás a főátlóra való tükrözést jelent. (A főátlót azon elemek alkotják, melyek sor- és oszlopindexe megegyezik, azaz az elemek.)

A transzponálás felhasználásával az oszlopvektorokat meg lehet adni még az , a sorvektorokat pedig az

formában is.

IV. Szorzás. Ha , és , akkor a szorzatukat a

előírással definiáljuk.

Látható, hogy amint az összeadásnál, úgy itt is lényeges a műveletben szereplő operandusok (tényezők) mérete, csak itt más a követelmény: az első tényező oszlopainak száma és a második tényező sorainak a száma kell, hogy egyenlő legyen; az eredmény mérete a tényezőkéből következik. Megemlítjük, hogy esetén van egységelem (lásd a speciális mátrixoknál), a szorzás asszociatív és az összeadással összekapcsolva disztributív; de nem kommutatív, tehát általában (a két mátrix között többnyire nem is értelmezhető mindkét sorrendben a szorzás) és általában nem is invertálható. Az összeg transzponálásához analógiát mutat az szabály.

Ha akkor az szorzás neve skalár szorzás. A skalár szorzat eredménye egy skalár szám (-es mátrix), szokták külön is definiálni.

2.5. Definíció. Az skaláris szorzata:

A skalár szorzás definícióját (2.1)-gyel összevetve látható, hogy a szorzatmátrix bármelyik indexű elemét úgy kapjuk, mint egy skalár szorzatot: az első tényező -edik sorát (mint sorvektort) szorozzuk a második tényező -edik oszlopával, azaz

A továbbiakban a mátrix és mátrix-vektor műveletek felírásánál feltesszük, hogy az ott szereplő mátrixok, ill. vektorok méretei olyanok, amelyek lehetővé teszik az adott művelet elvégzését.

Mátrixokat sokféle szempontból osztályozhatunk. Itt most néhány olyan mátrixot, vektort sorolunk fel, melyeknek meghatározóan sok elemük azonos (gyakran éppen zérus) és ezek szabályosan helyezkednek el. Az ebből eredő különleges tulajdonságaikat a későbbiekben többször fogjuk használni.

2.6. Definíció. Az mátrix szimmetrikus, ha .

Nyilvánvaló, hogy csak négyzetes mátrix lehet szimmetrikus és ekkor ().

2.7. Definíció. Ha az mátrix összes eleme zérus, akkor -t zérusmátrixnak nevezzük:

A zérusmátrix az összeadásra nézve a zéruselem, és szorzásra nézve is az „elvárt” tulajdonságú: azaz megfelelő méretű mátrixok esetén

2.8. Definíció. Az mátrix egységmátrix, ha

Az egységmátrix (amit gyakran a magyar elnevezésének kezdőbetűjével, -vel is jelölünk) a szorzásra nézve egységelem, azaz minden esetén

2.9. Megjegyzés. Szokás az egységmátrix fogalmát a nem négyzetes mátrixokra is kiterjeszteni, a definícióját úgy adva meg, hogy az azonos indexpárú elemei 1-esek, a többi zérus (például ). Ilyenkor persze az egység elnevezés már nem jogos, félrevezető. Mindenesetre nagyon hasznos kiterjesztés, több matematikai szoftver (a MATLAB is) él vele.

Az egységmátrix mellett fontos fogalom az egységvektor.

2.10. Definíció. Az vektort (-edik) egységvektornak nevezzük, ha az -edik komponense 1-es, a többi pedig zérus.

A transzponáltját felírva, tehát:

2.11. Definíció. A mátrixot diagonálmátrixnak nevezzük, ha esetén .

A diagonális elemek indexei azonosak, ezért egyetlen indexszel hivatkozhatunk rájuk: . Magát a diagonálmátrixot gyakran a vagy () formában is jelöljük.

2.12. Megjegyzés. Szokták a diagonális fogalmat is kiterjeszteni, úgy tekintve, mint azon mátrixelemek összességét, melyeknél az oszlopindex és a sorindex különbsége állandó, és ezt a számot nevezzük a diagonális sorszámának. Így például a főátló (az ún. fődiagonális), a -adik az e fölötti átlók sorszáma pozitív, az alattiaké pedig negatív. Példa rá az alábbi -es mátrix, ahol a -edik és az -edik átló elemeit írtuk be, a többi elemet -gal jelöltük:

2.13. Definíció. A mátrix permutációmátrix, ha minden sorában és oszlopában pontosan egy darab 1-es van és a többi elem zérus.

Például az alábbi mátrix egy -es permutációmátrix:

2.14. Definíció. Az mátrix alsó háromszög alakú, ha minden esetén és felső háromszög alakú, ha minden esetén .

Az alsó háromszögmátrixok alakja sematikusan a következő

a felső háromszögmátrixoké pedig

Gyakran csak ábrával jelöljük, hogy (alsó vagy felső) háromszögmátrixról van szó:

2.15. Megjegyzés. Beszélni szoktunk valamely négyzetes mátrix alsó és felső háromszögrészéről, amelyekre a , illetve jelöléssel hivatkozunk. Ezeket értelemszerűen úgy kapjuk, hogy az eredeti mátrix főátlója feletti, illetve alatti elemeit kicseréljük zérusokra. Például az mátrix esetén

(Az az angol lower, pedig az upper szó kezdőbetűje. A szakirodalomban több helyen találkozhatunk az angol elnevezésből eredő jelöléssel; ilyen például az egységmátrixra használt jelölés is.)

2.16. Definíció. Az mátrix sávmátrix alsó sávszélességgel és felső sávszélességgel, ha teljesül, hogy

Más szóval: a ()-edik diagonálisuk alatti és -adik diagonálisuk feletti elemeik zérusak. A sávot, amelynek elemei lehetnek nem zérusok is, azon elemek alkotják, amelyek indexeire teljesül, hogy , vagy ekvivalens módon . Sematikusan, illetve ábrán is megmutatva:

Például a diagonális mátrix egy alsó és felső sávszélességű mátrix. Végső soron minden mátrix felfogható lenne sávmátrixként is, de nyilván csak akkor érdekesek, ha és jóval kisebb mint . Tárolásukra is speciális, helytakarékos módok léteznek, hiszen a zérusokat nem kell tárolni, ha tudjuk, hogy azok hol szerepelnek.

2.17. Megjegyzés. Általában ritka mátrixoknak nevezzük azokat a mátrixokat, amelyek viszonylag sok, ismert pozíciójú zérust tartalmaznak. Ilyenek pédául a sávmátrixok, vagy lehetnek szabálytalan (de ismert, rögzített) elhelyezkedésű sok zérust tartalmazó mátrixok is. Az ilyen mátrixok tárolása a zérusok figyelmen kívül hagyásával helytakarékosan oldható meg, és a velük való különböző manipulációkat végrehajtó programok is gazdaságosan, művelettakarékosan írhatók meg. (Persze, tudni kell, hogy közben nem változnak-e meg a zérusok, illetve azt, hogy legfeljebb hol változhatnak.) Ebből a szempontból ritkának tekinthetők a háromszögmátrixok is, a nemzérus elemek tárolása történhet vektorban, például oszlopfolytonos sorrendben. A szimmetria is tekintetbe vehető; ilyen esetben elég csak az alsó (vagy a felső) háromszögrészt tárolni. (Itt is ügyelni kell a programozás során, hogy hol romlik el esetleg az algoritmus végrehajtása során a szimmetria.)

A particionálás részekre bontást jelent. Geometriai analógiával: ha egy négyzetrácsos („kockás”) papírra írnánk fel az mátrixot, akkor annak ollóval vízszintes és függőleges, széltől-szélig (ún. guillotine vágásokkal) való szétszabdalását jelenti. Egy papírdarabkára eső része a mátrixnak az egy partíciója, amit -vel jelölünk. Például, ha darab vízszintes és darab függőleges csíkra vágjuk a mátrixot, akkor

és ha történetesen az -edik vízszintes csík az eredeti mátrix sorindexű, valamint a -edik függőleges csík a oszlopindexű részét foglalja magában, akkor

ahol és .

A partíciót blokknak is szoktuk nevezni. Az értelmezésből következik, hogy az azonos sorban álló blokkok sorainak száma azonos. Hasonlóképpen, az azonos oszlopban álló blokkok oszlopainak száma azonos. Továbbá értelemszerűen fennállanak az

összefüggések.

A fenti részletes jelölés helyett használhatjuk a tömörebb alakot, azaz a sor- és oszlopindex helyére a megfelelő „tól-ig“ indexpárokat írjuk. Ha egyetlen sorból vagy oszlopból áll a partíció, akkor csak azt az egyet írjuk, illetve, ha teljes sor- vagy oszlophosszúságú a partíció, azt a kettőspont önálló használatával is jelölhetjük. Pédául:

(A legutóbbi a teljes mátrixot jelenti.)

Azonosan particionált mátrixok összegzését és skalárral való szorzását blokkonként végezhetjük, úgy mintha a blokkok számok lennének. Particionált mátrixok szorzását is végezhetjük blokkok szerint, de csak akkor, ha az első mátrix függőleges particionálása megegyezik a második tényező vízszintes particionálásával, hogy a kívánt blokkszorzatok egyáltalán kiszámíthatóak legyenek. Például az

particionált mátrixok szorzata a particionálás megtartásával akkor lehetséges, ha esetén . Ekkor (a példánkban) nyilván a többi megkívánt blokkszorzás is elvégezhető, mert például és . Így

Leggyakrabban sorok, illetve oszlopok szerint particionálunk, tehát, ha , akkor

Szokás még az mátrix -edik sorvektorát -vel, a -edik oszlopvektorát -vel jelölni, ezekkel

Mindenesetre ügyeljünk arra, hogy ez a jelölés félreértésre adhat okot. Tudniillik itt az és az nem egymás transzponáltja; valójában semmi közük egymáshoz, hanem

A sorok, illetve oszlopok szerinti particionálások felhasználásával az és mátrixok szorzata felírható

alakban is. Tehát a sorok és oszlopok skalárszorzataiból álló mátrix. Az mátrixszorzatot felírhatjuk még a következőképpen is:

Az egységvektorokkal való szorzás eredménye pedig:

azaz a másik tényező megfelelő sor-, illetve oszlopvektorát kapjuk eredményként.

Ezek után a diagonálmátrixszal való szorzás eredménye is egyszerűen belátható: a sorok, illetve az oszlopok szorzódnak a megfelelő diagonális elemmel. Legyenek az mátrixok sorok, illetve oszlopok szerint particionálva, ekkor tehát:

Minthogy a permutációmátrix sorai transzponált egységvektorok, oszlopai pedig maguk az egységvektorok, permutációmátrixszal való szorzás a másik tényező sorainak, illetve oszlopainak permutálását eredményezi (ez magyarázza is a permutációmátrix elnevezését):

ahol az és a az , illetve az számok egy-egy permutációja.

A permutációmátrix néhány további tulajdonságával kapcsolatban a 2.7. alfejezet 6. feladatát ajánljuk figyelmükbe.

2.18. Megjegyzés. A MATLAB-ban a partíciók (részmátrixok) fogalmánál sokkal általánosabb módon is hivatkozhatunk az adott mátrix bizonyos elemeire, illetve azokból felépített másik mátrixra. Ezeket a lehetőségeket a 8.1. alfejezetben tárgyaljuk. Itt most két példát mutatunk be; az első:

illetve a második: ha fel kell cserélni egy mátrix -edik és -adik sorát, akkor ezt a

utasítással elérhetjük. Ezt a lehetőséget mi is fogjuk használni az algoritmusok leírásánál.

A későbbiekben szükségünk lesz az itt következő néhány fogalomra. Tekintsük a darab, egyenként komponensű vektort. Gyakran használjuk az jelölést is. Legyenek továbbá valós számok.

2.19. Definíció. A kifejezést az vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

2.20. Definíció. Az vektorok lineárisan függetlenek, ha a csak a triviális esetén teljesül.

Megemlítjük, hogy esetén ezzel ekvivalens: lineárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi lineáris kombinációjaként.

2.21. Definíció. Az vektorok közül kiválasztható maximális számú lineárisan független vektorok számát a vektorrendszer rangjának nevezzük.

2.22. Definíció. Egy mátrix rangja az oszlopvektoraiból (vagy sorvektoraiból) álló vektorrendszer rangja.

Nem magától értetődő, hogy a mátrix oszlop-, illetve sorvektorrendszer rangja megegyezik, de igaz. A rang jelölésére a kifejezést fogjuk használni.

Végezetül egy fontos megjegyzéssel zárjuk ezt a részt.

2.23. Megjegyzés. Az vektorok összes lineáris kombinációja lineáris teret (vektorteret) alkot (lásd a 2.4. megjegyzést is). A vektortér dimenziója éppen a közülük való maximálisan sok lineárisan független vektorok darabszáma és egy ilyen független vektorsokaság a tér egy bázisa. Maga a lineáris tér fogalma sokkal általánosabb: az összeadás és a skalár számmal való szorzás bevezetésével és annak tulajdonságaival kapcsolatos. Lineáris teret alkotnak például (a megfelelő műveletekkel) az méretű mátrixok vagy éppen az intervallumon folytonos függvények is.

Jelölje azt az -es mátrixot, amelyet az első sora és a -edik oszlopa elhagyásával kapunk, tehát particionálva:

2.24. Definíció. A

előírásokkal számított valós számot a négyzetes mátrix determinánsának nevezzük.

Megjegyezzük, hogy többnyire másként szokták a determináns fogalmát bevezetni, itt most ekvivalens módon, az ún. kifejtési tétellel (egyfajta kiszámítási szabállyal) definiáltuk.

2.25. Definíció. Az mátrixot a négyzetes mátrix inverzének nevezzük, ha , ahol az egységmátrix.

Ha az inverz mátrix létezik, akkor egyértelmű. Az inverz mátrix jelölése . Az inverz mátrixra fennállnak az alábbi tulajdonságok:

Azokat a mátrixokat, melyeknek létezik inverze, nemszinguláris mátrixoknak nevezzük.

2.26. Tétel. Az mátrixnak akkor és csak akkor van inverze, ha .

Értelemszerűen, ha , akkor a mátrixot szingulárisnak mondjuk.

Mint már korábban említettük, az akárhány komponensű vektorok (de az összeadás és a skalár számmal való szorzás bevezetésével értelmezett lineáris térben akár a mátrixok is) az általunk érzékelhető, geometriailag irányított egyenes szakasszal ábrázolható vektorok általánosításaként foghatók fel. Ezért bizonyos fogalmak is általánosíthatók, a leglényegesebb tulajdonságaik megtartásával. Ilyen fogalom a hosszúság, amelyet a lineáris térben normának nevezünk.

2.27. Definíció. Az függvényt mátrixnormának (vagy vektornormának, ha ) nevezzük, ha

A norma szokásos jelölése: .

Normát nyilván nagyon sokféleképpen adhatunk meg. Bár a vektorokat is (speciális méretű) mátrixokkal azonosítottuk, vannak szempontok, amelyek alapján mégis csak különböző objektumokról van szó, ezért konkrét normákat különböző módon vezetünk be. Vektorok esetén a normák fontos osztályát alkotják az ún. hatványnormák:

ahol egész szám. Ezek közül is a leggyakrabban használt vektornormák a következők:

A legutóbbit a határátmenettel kapjuk. (Az norma megfogalmazásánál természetesen a jobboldalon az abszolút érték jel elhagyható valós vektorok esetén, de akkor nem, ha az elemek komplexek.)

2.1. Példa. Legyen . Ekkor

,

, (kerekítve),

.

A háromkomponensű vektorok által bezárt szög skalár szorzás segítségével való kiszámításának szabályát kiterjesztve, értelmezhetjük az akárhány komponensű vektorok közötti szöget is.

2.28. Definíció. Az () vektorok szöge , amelynek koszinuszát a

összefüggés definiálja.

Legyen . A leggyakrabban használt mátrixnormák a következők:

(A Frobenius-normánál itt is csak komplex elemek esetén kell a jobboldalon az abszolút érték jel.)

2.29. Megjegyzés. A spektrálnormát más fogalom segítségével is szokták definiálni, itt csak a legismertebbet, a sajátértékkel valót közöltük. (Egy mátrix sajátértékének azt a valós vagy komplex számot nevezzük, melyhez létezik vektor, hogy fennáll.) Ennek a normának sok helyen különösen fontos szerepe van, ugyanakkor a meghatározása rendkívül nehéz feladat. A Frobenius-norma egyik nagy jelentősége, hogy felülről becsli a spektrálnormát (a hétköznapi életben is gyakran segít, ha egy távolság nagyságának legalább valamilyen felső korlátját ismerjük).

2.2. Példa. Legyen .

Ezen mátrix normái:

,

,

.

(Az .)

Az egyes mátrixnormák lábindexelését indokolhatjuk formálisan is: ha az objektumot -beli vektornak tekintjük és úgy számoljuk az említett normáit, ugyanakkor -beli mátrixként is meghatározzuk a megfelelő normákat, akkor azok megegyeznek. A mátrixnormák alábbi, fontos osztálya azonban a jelölésnek is mélyebb magyarázatát adja. (Itt és a továbbiakban is négyzetes mátrixokra szorítkozunk.)

2.30. Definíció. A mátrixnormát a vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha

Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése: az egységnormájú vektorok megnyújtásának maximális mértéke:

Könnyen igazolható, hogy az , az , pedig az vektornorma által indukált mátrixnorma.

2.3. Példa. Felhasználva az indukált mátrixnorma definícióját, igazoljuk, hogy esetén .

Megoldás. Az értelmezés szerint

Tehát a feltételes szélsőérték feladatot kell megoldanunk (). Analitikus eszközökkel könnyen előállítható a megoldás: . Eredményünket az egyenlőséglánc jobboldalába helyettesítve megkapjuk a példa állítását.

2.31. Tétel. Indukált mátrixnormában és ( és ).

2.32. Megjegyzés. Az állítás nem minden mátrixnormára igaz. Ha csak a 2.31. tételben szereplő első egyenlőtlenség teljesül, akkor azt mondjuk, hogy a két norma kompatibilis. A definíciók alapján világos, hogy az indukált mátrixnormák az őket indukáló vektornormákkal kompatibilisek, de a Frobenius norma – bár nem indukált norma – is kompatibilis az vektornormával, azaz

Végül megemlítjük a mátrixok kondíciószámát.

2.33. Definíció. Legyen nemszinguláris. A mennyiséget az mátrix kondíciószámának nevezzük.

A kondíciószám normafüggő, nyilván csak nemszinguláris mátrixok esetén értelmezhető. Bevezetésének motivációját a 7.1. alfejezetben adjuk meg.

1. Legyen és . Rögzített értékekhez adjuk meg -t és -et úgy, hogy mind az , mind a szorzás elvégezhető legyen.

2. Melyik mátrix szimmetrikus bármely mellett a következők közül?

(i) ,

(ii) .

3. Igazoljuk a következőket:

(i) két alsó (vagy felső) háromszögmátrix szorzata is alsó (vagy felső) háromszögmátrix,

(ii) egy háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata,

(iii) alsó (vagy felső) háromszögmátrix inverze is alsó (vagy felső) háromszögmátrix (ha létezik).

4. Legyen . Igazoljuk, hogy , .

5. Legyen diagonálmátrix. Tudva azt, hogy bármely diagonálmátrix sajátértékei megegyeznek a fődiagonális elemeivel, mutassuk meg, hogy

6. Legyen tetszőleges permutációmátrix.

(i) Mutassuk ki, hogy determinánsának abszolút értéke ,

(ii) igazoljuk, hogy az inverze megegyezik a transzponáltjával,

(iii) adjuk meg valamennyi tanult normáját,

(iv) igazoljuk, hogy ha nem az egységmátrix, akkor létezik olyan részmátrixa, amelynek determinánsa (),

(v) igazoljuk, hogy bármely két (azonos méretű) permutációmátrix szorzata is permutációmátrix.

7. Tekintsük az teret. Ábrázoljuk az , , és az „egységsugarú köröket” az kordinátarendszerben.

8. Igazoljuk, hogy mátrixnorma.

Mutassuk meg továbbá, hogy az mátrixokra .

9. Igazoljuk, hogy .

10. Felhasználva, hogy a -es mátrixnorma a -es vektornorma által indukált norma, igazoljuk a (2.13) egyenlőtlenséget.

11. A (2.3) mintájára írjunk egyetlen utasítást, amely az mátrixban elvégzi az , cseréket.

Valós számmal kifejezhető minden adatnak van egy elméleti – pontos – értéke; pédául a tér két adott pontja közötti távolság valamilyen mértékegységben egy elméleti érték. Ugyanígy a is létezik elméletileg, de hozhatnánk példákat az élet bármely területéről. Ezeket a pontos értékeket rendszerint nem ismerjük, csupán valamekkora hibát tartalmazó közelítéseiket (becsléseiket). Előző példáink mellett maradva, mondhatjuk, hogy Miskolc és Budapest két kijelölt pontja között a távolság légvonalban kb. 160 km. vagy, hogy . A közelítések akkor érnek valamit, ha a tévedésnek valamilyen felső korlátját ismerjük. Ilyen korlátok rendszerint megadhatók. A hibát és a hibakorlátot a következőképpen definiáljuk.

3.1. Definíció. Legyen pontos érték, pedig annak valamilyen közelítése. A mennyiséget az közelítés hibájának nevezzük, a számot pedig az abszolút hibájának. Azt a értéket pedig, amelyre fennáll, hogy , az abszolút hibakorlátjának mondjuk.

3.2. Megjegyzés. A előjele nem lényeges, gyakran (ha levezetésekben, bizonyításokban úgy kényelmesebb) fordított előjellel használjuk, a végcél úgyis mindig az abszolút értékének becslése. Felhívjuk továbbá a figyelmet arra, hogy a későbbiekben abszolút hiba helyett egyszerűen csak hibát mondunk, sőt rendszerint a hibakorlátot értjük rajta.

A definíció értelmében használjuk az hivatkozást is, ami annyit jelent, hogy . Nyilván annál jobb a közelítés, más szóval annál élesebb a becslés (és erre törekedni kell), minél kisebb a .

Az abszolút hiba sok esetben semmitmondó, vagy éppen félrevezető. Például ugyanaz a abszolút hibakorlátú közelítés egész más pontosságot jelent, ha egy elméletileg -res nagyságrendű érték közelítéséről van szó, mint ha a becsült érték nagyságrendje . A közelítés jóságát ezért az abszolút hiba és az abszolút hibának a pontos érték egységére eső része – a relatív hiba – együtt jellemzi.

3.3. Definíció. Az szám valamely közelítő értékének relatív hibája a mennyiség.

Minthogy az pontos érték általában nem ismeretes, ezért a helyett a közelítést használjuk. Az így elkövetett hiba elhanyagolható, ha értelmes becslésről van szó, azaz és lényegesen nagyobb a másodrendben kicsiny mennyiségnél.

Szokás a relatív hiba helyett annak százalékos értékét megadni, azaz .

Egy matematikai modell megoldása (például egy integrál kiszámítása) közben számítások egész sorát végezzük el: a bemenő (input) adatokból egy-egy bonyolult algoritmus sok-sok aritmetikai művelet végrehajtásával állítja elő a végeredményt, az ún. output adatokat. A végeredmény az eredetileg kitűzött probléma elméleti megoldásához képest hibát tartalmaz. Ezen hibákat keletkezésük oka szerint a következőképpen osztályozhatjuk:

analitikus hibák: az eredeti matematikai modell és a numerikusan ténylegesen megoldott feladat közötti eltérésből adódó hiba. Ilyen hiba keletkezik például, ha nem az eredeti függvény integrálját, hanem valami egyszerűbben számolható közelítő függvényt integrálunk; vagy ha egy végtelen sort az első néhány tagjával közelítünk. Ez utóbbit csonkolási hibának is szokás nevezni.

öröklött hibák: az input adatok hibáinak az eredményre pontosan végzett számítások mellett gyakorolt hatásai.

kerekítési hibák: a számításokat véges sok tizedesjeggyel (vagy más – például -es – számrendszerbeli jeggyel) végezzük, ezért közben kerekíteni kell. Ezek a kerekítések a végeredményben szükségszerűen hibákat okoznak.

Az analitikus hibákat az egyes eljárások kidolgozása során (mint azoknak a módszer használhatóságát jellemző tulajdonságát) kell vizsgálni. Az öröklött hibákkal elsősorban a klasszikus hibaanalízis, a kerekítési hibákkal pedig a lebegőpontos hibaanalízis foglalkozik. A kettő azonban nem függetleníthető egymástól.

A klasszikus hibaszámítás keretein belül tehát azt vizsgáljuk, hogy amennyiben az elméleti értékek helyett az adott hibakorlátú közelítésekkel – de azokkal pontosan – végeznénk a számításokat, úgy a kapott eredmény (legfeljebb) mennyivel térne el az ismeretlen elméleti végeredménytől. Mivel minden aritmetikai számítás végső soron valós számok között a négy alapművelet valamilyen sorozatának a végrehajtása (akkor is, ha azokat előttünk „rejtett“ , a számoló-, számítógépbe beégetett algoritmusok végzik; például a kiszámítását), ezért alapvető ezen műveletek eredményeinek öröklött hibáit ismerni.

A következő jelöléseket és elnevezéseket használjuk: pontos értékek, és a közelítő értékeik és hibakorlátokkal, azaz és .

Jelölje a , , , műveletek bármelyikét. Az művelet eredményét az elméleti eredmény közelítésének tekintjük és a

illetve a

becsléseket keressük, ahol a művelet hibáját, pedig abszolút hibakorlátját jelöli. Az additív műveletek (összeadás, kivonás) hibaszámítás szempontjából egymás között hasonlóságot mutatnak, ezért egyetlen tételben adjuk meg a megfelelő hibakorlátokat.

3.4. Tétel. Az additív műveletek abszolút hibakorlátjai a következők:

Bizonyítás.

amiből a fenti állításunk következik.

Mivel mindkét művelet esetén ugyanazt az eredményt kaptuk, valójában az előjelükre semmilyen kikötést nem kellett tenni. Az eredmény akárhány, tetszőleges előjelű tagra kiterjeszthető. Tekintsük a

összegzést. Könnyen belátható, hogy . Természetesen ez az esetek nagy részében jelentősen túlbecsli a tényleges abszolút hibát, hiszen azt tételezi fel, hogy az egyes tagok hibáinak előjele a legkedvezőtlenebbül alakul. Valószínűségszámítási eszközökkel élesebb becslés is adható, jó megbízhatósággal.

3.5. Tétel. A multiplikatív műveletek abszolút hibakorlátjai a következők:

Bizonyítás. A szorzat abszolút hibakorlátjára kapjuk, hogy

Ha és , akkor a másodrendű hibatagot elhanyagolhatjuk és azzal éppen az állításunkat kapjuk.

Az osztás esetén természetesen feltesszük, hogy a nevező nem zérus és azt kapjuk, hogy

Itt pedig hasonló meggondolással a tagot hanyagolhatjuk el az mellett, amivel állításunk kiadódik.

3.6. Megjegyzés. Az osztás abszolút hibakorlátja -hoz közeli esetén rendkívül nagy lehet, ezért algoritmusainkat úgy alakítsuk, hogy lehetőleg minél nagyobb abszolút értékű számmal kelljen osztani!

Rátérve a relatív hibákra, a következő állítást igazolhatjuk, kikötve, hogy a nevező sehol sem lehet zérus, az additív műveleteknél pedig az operandusok megegyező előjelét is előírva.

3.7. Tétel. Az aritmetikai műveletek relatív hibakorlátjai a következők:

Bizonyítás. Tulajdonképpen csak az összeadással kell foglalkoznunk, a kivonásra adott összefüggés megegyezik a definícióval, a szorzás és osztás pedig behelyettesítés után azonnal adódik.

Az utolsó egyenlőség az és azonos előjeléből következik.

Az additív műveletekhez hasonlóan, itt a multiplikatív műveletekre lehet több tényező esetén egyszerű relatív hibakorlátot adni ():

Megemlítjük, hogy a kivonásra is le lehet vezetni olyan relatív hibakorlátot, amelyben az operandusoknak is csak a relatív hibái szerepelnek, de annak árát nem érdemes megfizetni: amellett, hogy túl bonyolult, jelentősen durvul a korlát (az összeadásnál is durvítottunk kicsit, de az még – úgymond – megéri).

3.8. Megjegyzés. A kivonás relatív hibája, amennyiben az eredmény zérushoz közeli, igen nagy lehet, ezért kerüljük el az ilyen kivonást! Rendkívül „alattomos“ hatása lehet: az ábrázolt értékes jegyek száma csökkenhet, ami nem tűnik fel (szemben a zérushoz közeli számmal való osztással, ahol már esetleg figyelmeztetést is kapunk, gyakran le is áll a program), de kerekítési hibaként halmozódva teljesen hamis végeredményt produkálhat.

Összefoglalva: Additív műveletek esetén az abszolút hibakorlátok, multiplikatív műveletek esetén a relatív hibakorlátok adódnak össze.

3.1. Példa. Két ellenállást műszerrel megmértünk és a következő értékeket kaptuk: , . A párhuzamos kapcsolással kapott eredő ellenállást az ismert képlettel számoljuk. Határozzuk meg az input adatok relatív hibakorlátjait és az eredő ellenállás közelítő értékét. Számítsuk ki a közelítő érték abszolút és relatív hibakorlátját kétféleképpen is:

(i) az input adatoknak csak az abszolút korlátjait használva a -t és ezután a relatív korlátot,

(ii) az input adatoknak csak a relatív korlátjait használva a relatív korlátot és ezután a abszolút korlátot.

Magyarázzuk meg, miért térnek el az eredmények.

Megoldás. , az eredő ellenállás közelítőleg .

(i) , a relatív hiba: .

(ii) .

Az eltérések a két számítás során alkalmazott különböző elhanyagolások, illetve eltérő becslések miatt adódnak.

3.2. Példa. Ismertek a és közelítő értékek, amelyek közös abszolút hibakorlátja , a közös relatív hibakorlát pedig . Számítsuk ki a közelítő értékét és annak relatív hibakorlátját.

Megoldás. A kivonás elvégzésével kapjuk, hogy , amelynek relatív hibakorlátja az általános formulából

azaz (a kiinduló adatok relatív hibáinak közel -szerese). Most lehetőségünk van az elméleti relatív hiba kiszámolására is, ami „csak“ . Ez a valóságos hiba is jelentős mértékű, a kiinduló adatokéihoz képest kb. -szoros. A különbség képzését elkerülhetjük a

átalakítással. A számláló pontos érték. A nevező abszolút hibája , a hányados relatív hibája pedig , azaz . Ez összhangban van az input relatív hibáival és lényegesen kisebb, mint amit a közvetlen kivonásnál kaptunk.

Hasonló fogásokat lehet alkalmazni más esetekben is.

Külön foglalkozunk az egy- és a többváltozós esetekkel. Legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható függvény, . Az helyett -t számoljuk. Az

másodrendű Taylor-formulából kapjuk, hogy

ahol (). A másodrendű tagot elhanyagolva kapjuk, hogy a függvénybehelyettesítés abszolút hibája

Rátérve a többváltozós esetre, legyen legalább kétszer folytonosan differenciálható függvény és , valamint , ahol . A többváltozós Taylor-formulából az egyváltozós esethez hasonlóan a másodrendű tagot elhanyagolva, kapjuk:

ahol . Ebből pedig adódik a

becslés.

3.9. Megjegyzés. Ezzel az (ún. lineáris) hibabecsléssel azonban óvatosan kell bánni, a másodrendű tag (az , ahol a Hesse mátrix valamely közbülső helyen) elhanyagolása gyakran nem jogos.

Függvények relatív hibája értelemszerűen

3.3. Példa. Oldjuk meg a 3.1. példát harmadikféleképpen is, az eredő ellenállást a két ellenállás (kétváltozós) függvényének tekintve.

Megoldás. , . Ezeket a közelítő értékekkel kiszámolva, majd behelyettesítve (3.10)-be, kapjuk, hogy . A relatív hiba pedig: .

Feltűnő ezen eredménynek a többitől való kissé nagyobb mértékű eltérése, ami demonstrálja, hogy az elsőrendű (másképpen: lineáris) hibabecsléssel szemben gyakran fenntartással kell élni (bár jelen példánkban az egyező nagyságrendek miatt éppen el is fogadhatjuk az eredményt).

A gyakorlatban csak véges sok számjeggyel dolgozhatunk, így a számítógépek is csupán egy véges számhalmazt ábrázolnak és az aritmetikai műveleteket ezekkel a számokkal végzik, mégpedig a tudományos-műszaki számítások zömét ún. lebegőpontos aritmetikában. Ennek legáltalánosabban elfogadott modellje a következő.

4.1. Definíció. A lebegőpontos számok halmaza

ahol

A -át az feltétel miatt kellett külön a halmazhoz adni.

A három leggyakrabban használt számrendszer a következő:

Minthogy a mantissza , egy -beli számot felírhatunk az

alakban is, ahol , de (az feltétel miatt). Az ilyen számrendszereket normalizáltaknak nevezzük. A normalizált alak mantisszájának jegyei az értékes számjegyek.

Az halmaz elemeinek száma könnyen meghatározható: az említett feltételek miatt féle mantissza és féle kitevő lehet, egy szám pozitív és negatív előjelet is viselhet, azonkívül külön számoljuk a -át; tehát összesen szám alkotja -et.

A mantissza egész része zérus (az miatt); ezt a -át és a tizedes- (bináris, stb.) pontot értelemszerűen nem szokás ábrázolni. Ha , akkor az első jegy csak az lehet, amelyet szintén felesleges ábrázolni.

Az halmaz elemei nem egyenletesen helyezkednek el a számegyenesen.

4.1. Példa. Legyen , , és . Adjuk meg az elemeit.

Megoldás. A mantissza lehetséges értékei (binárisan): és vagy tízes számrendszerben (racionális törtként felírva): és ; a tényező pedig az és számok valamelyike. Elegendő a -val kiegészített, összesen elemű halmaz pozitív részét megadni (a könnyebb összehasonlíthatóság érdekében mindegyiket nyolcadokban kifejezve):

A példa is mutatja, hogy az azonos kitevőjű szomszédos elemek távolsága , tehát növekedésével exponenciálisan nő ez a távolság: a legnagyobb távolság , a legkisebb pedig .

A mantissza legkisebb értéke (mint már többször is említettük) , a legnagyobb pedig akkor lesz, ha minden számjegye a lehető legnagyobb, azaz . Ha ehhez -t hozzáadunk, könnyen látható, hogy az eredmény éppen lesz, a legnagyobb mantissza tehát . Jelölje és a nem zérus elem abszolút értékének lehetséges legkisebbikét, illetve legnagyobbikát. Előbbiekből következik, hogy

Legyen nem feltétlenül -beli, de . Az helyett a lebegőpontos aritmetikában az -hez legközelebbi -beli elem ábrázolása történik; jelölje ezt az elemet . Ílymódon az ábrázolást leképezésnek tekinthetjük és kerekítésnek nevezzük. Például ötjegyű decimális aritmetika esetén a számot a számhoz kerekítjük. Ha két szomszédos -beli szám az -től egyenlő távol van, akkor általában a nagyobbik számhoz kerekítünk.

Az alapműveleteket tekintve, legyen és jelölje a négy aritmetikai művelet bármelyikét. A következő esetek lehetségesek:

(pontos eredmény),

(aritmetikai túlcsordulás),

(aritmetikai alulcsordulás),

, (nem ábrázolható eredmény).

Az utolsó két esetben a lebegőpontos aritmetika az eredményhez hozzárendeli a legközelebbi -beli számot.

4.2. Megjegyzés. A fentebb említett eljárást helyes kerekítésnek nevezzük (vannak másfélék is), a helyesen kerekített szám számjegyeit pedig helyes jegyeknek. Az értékes jegyek egyben helyes jegyek is, ezért az a jó gyakorlat, ha csak helyes jegyeket írunk le. Előbbi számról mondhatjuk, hogy körülbelül , de nem mondhatjuk, hogy körülbelül , mert ezzel azt sugallanánk, hogy négy tizedesjegyre helyesen van kerekítve, pedig ez nem igaz.

A kerekítés során keletkezett hiba a kerekítési hiba. A számítások végeredményét nagy mértékben befolyásolják a kerekítési hibák, ezért nagyon fontos az abszolút és a relatív kerekítési hibák nagysága. Mint láttuk korábban, két szomszédos szám távolsága , azaz a közöttük elhelyezkedő számhoz rendelt szám abszolút kerekítési hibakorlátja . Ez bizony igen nagy lehet, de a relatív kerekítési hiba a változó kitevőtől független, a -n kívül csak az aritmetikára nézve konstans -től függ és annak növekedésével exponenciálisan csökken.

4.3. Tétel. Legyen . Az kerekítés relatív hibájára teljesül

A tétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a lebegőpontos aritmetikában a kerekítés relatív hibája korlátos és ez a korlát , az egységnyi kerekítés mértéke. Az egységnyi kerekítés elnevezést az indokolja, hogy éppen az -hez való kerekítés legnagyobb abszolút (és a alapján egyben relatív) hibája.

Az aritmetika pontosságának jellemzésére az kétszeresét, az értéket szokás használni, amit gépi epszilonnak nevezünk. Az az és a hozzá legközelebbi -nél nagyobb szám távolsága. Bináris alap esetén a következő algoritmussal határozhatjuk meg az értékét

MATLAB program a gépi epszilon meghatározására:

  1    function [epsM]=gepieps() 
  2    x=1; 
  3    while 1+x>1; 
  4       x=x/2; 
  5    end 
  6    epsM=2*x; 
  7    return 

Duplapontosságú szabványos lebegőpontos aritmetikában: .

Két, egyébként -beli és közötti művelet eredményére már nem feltétlenül igaz a 4.3. tétel állítása, hanem csak akkor, ha a kivonás esetén rendelkezésre áll egy tartalék jegy, az ún. ellenőrző jegy. Ez a legtöbb számítógépnél meg is van, de nincs például a CRAY szuperszámítógépeknél, és jó néhány zsebkalkulátornál. Követve a szabványos modellt, mindenesetre feltesszük a lebegőpontos aritmetikai műveletek eredményére vonatkozóan a következőt:

A feltevés fontos következménye, hogy esetén a műveletek relatív hibájára ugyancsak teljesül, hogy

Tehát az aritmetikai műveletek relatív kerekítési hibája kicsi.

Lebegőpontos aritmetikában a műveletekre vonatkozó algebrai azonosságok a kerekítések miatt általában nem állnak fenn.

4.2. Példa. Számoljuk ki a algebrai egyenlőség két oldalát számjegyű, -es számrendszerű aritmetikában.

Megoldás. A műveletekben szereplő valamennyi tag pontosan ábrázolható, azokat tehát külön nem kell kerekíteni. Ugyanakkor , írható tehát, hogy

és

Megjegyezzük, hogy az utóbbi adta a helyesebb eredményt, sőt, az adott aritmetikában attól pontosabb eredmény nem is érhető el. (A duplapontos szabványos aritmetikát megvalósító MATLAB 6.5-ös rendszerben ugyancsak az utóbbi eredmény adódik.)

4.3. Példa. Írjunk MATLAB programot az

összeg kiszámítására a felírt és a fordított, tehát

sorrendben is a természetes

     
    for 
       
    end

rekurzív algoritmussal. Hasonlítsuk össze az eredményeket az esetén.

Megoldás.

MATLAB program a (4.3) és (4.4) számítására:

  1    function [s,sf]=szumma(n) 
  2    s=1; 
  3    for i=1:n 
  4       s=s+1/(i*(i+1)); 
  5    end 
  6    sf=0; 
  7    for i=n:-1:1 
  8       s=s+1/(i*(i+1)); 
  9    end 
 10    sf=sf+1; 
 11    return 

A fentebb említett MATLAB rendszerben a (4.3) formulával (azaz az összegzést a tagok nagyság szerint csökkenő sorrendjében végezve) az , míg a (4.4) összefüggéssel (vagyis növekvő sorrendben összegezve) az eredményt kapjuk. Tehát az utóbbi adta az általános formulára igazolható eredmény -re pontos értékét.

Amikor az összegzést a kisebb tagokkal kezdjük, akkor ezek összegei értékes jegyeket érnek a végső eredményben. Ez a magyarázata annak, hogy az előző két példában a tagok növekvő sorrendben való összegzése adta a jobb eredményt.

Nagy mennyiségű, előjelben és nagyságrendben eltérő szám nagy pontosságú összeadása nem egyszerű feladat. Külön válogatva az azonos előjelűeket és azok megfelelő (azaz abszolút értékben növekvő) sorrendű összegzése, majd a két részösszeg kivonása után érhetnénk el a legkedvezőbb eredményt, ez azonban a rendezés miatt nagyon időigényes (költséges) eljárás. Több módszer ismeretes, amelyek megtakarítják a rendezés költségeit, bár nyilván azoknál is növekedik a műveletek száma. Ha nem is adják az optimális végeredményt, de elfogadhatóan közelítik azt. Az egyik legérdekesebb, ilyen célra kifejlesztett eljárás, W. Kahantól származik.

MATLAB program Kahan algoritmusára:

  1    function [s]=kompenzaltsum(x) 
  2    n=length(x); 
  3    s=0; 
  4    kvazi0=0; 
  5    for i=1:n 
  6       temp=s; 
  7       modxi=x(i)+kvazi0; 
  8       s=temp+modxi; 
  9       kvazi0=(temp-s)+modxi; 
 10    end 
 11    return 

Mint látjuk, az algoritmus az algebrailag mindenkor zérus (ténylegesen viszont nem szükségképpen nullához kerekített, azaz aktuálisan csak közel zérus értékűnek ábrázolt) változónak az -hez való hozzáadásával csökkenti a kerekítési hibákat. Megjegyezzük hogy a MATLAB rendszerben a fenti eljárás a (4.3) sorrendű összegzésre is ugyanazt az eredményt adja (vagyis a helyesebbet), mint a (4.4).

Az ANSI/IEEE Std 754-1985 bináris () lebegőpontos aritmetikai szabványt 1985-ben hozták nyilvánosságra. A szabvány specifikálja az alapvető lebegőpontos műveleteket, összehasonlításokat, kerekítési módokat, az aritmetikai kivételeket és kezelésüket, valamint a különböző aritmetikai formák közti konverziót. A négyzetgyökvonás az alapvető műveletek közé tartozik. A szabvány nem mond semmit az exponenciális és transzcendens függvényekről.

A szabvány két fő lebegőpontos formátumot ismer: az egyszeres és a dupla pontosságút:

Mindkét formátumban egy bitet az előjelnek tartanak fenn. Minthogy a lebegőpontos számok normalizálva vannak és az első jegy mindig (bináris alap!), ez a jegy nincs tárolva. A mantissza számjegyeinek számában szereplő ezt a rejtett bitet jelzi.

Az IEEE aritmetika zárt rendszer. Minden aritmetikai műveletnek van matematikailag értelmes vagy értelmetlen eredménye. A kivételes műveleteknél jelzést ad, amely után a számításokat előírásszerűen folytatja. Kivételes művelet például a vagy az (ahol véges nem zérus). Előbbi eredménye NaN (Not a Number), utóbbié . Az IEEE aritmetikai szabvány kielégíti a (4.2) modellt.

Egyszeres pontosság esetén a mantissza hossza kb. 7 értékes jegynek felel meg a tizes számrendszerbe átszámolva, míg dupla pontosság esetén kb. 16 értékes jegynek. (Tudniillik és ). Létezik még egy 80 biten ábrázolt, ún. kiterjesztett pontosság is, ahol , a kitevő pedig bites.

Egy függvényérték kiszámítása rendszerint egy algoritmussal történik (tulajdonképpen már egyetlen aritmetikai művelet is annak tekinthető), ezért érdekes megvizsgálni, hogy az input adat relatív hibáját az algoritmus hányszorosra „nagyítja“ fel, amit a

mennyiség fejez ki. Egyszerű átalakításokkal adódik, hogy

5.1. Definíció. A

mennyiséget az függvény pontbeli kondíciószámának nevezzük.

Egy függvényt numerikusan instabilnak, vagy rosszul kondicionáltnak nevezünk, ha nagy a kondíciószáma. A függvény stabil, vagy jól kondicionált, ha a kondíciószám kicsi. Természetesen a kicsi és nagy jelző relatív. Ezek a relatív jelzők adott feladat esetén a rendelkezésre álló számítógép aritmetikájától és a közelítés megkövetelt pontosságától függenek.

5.1. Példa. Vizsgáljuk az függvényt. Ennek kondíciószáma , amely esetén nagy. Tehát az értékekre a relatív direkt hiba nagy lesz.

5.2. Példa. Az és . Ekkor

ami tetszőlegesen nagy lehet, ha elég közel van -hez. Ezért a példa függvénye numerikusan instabil. Ha bevezetjük az új változót, akkor kapjuk, hogy . Ennek a függvénynek a helyen vett kondíciószáma

Ha , azaz , akkor a kondíciószám kicsi marad. Tehát stabilizáltuk a számítást egy egyszerű átalakítással.

5.3. Példa. Tegyük fel, hogy -t hibakorláttal tudjuk kiszámítani. Melyik kifejezést lehet kisebb relatív hibával kiszámítani és hányszor kisebbel az alábbi, elméletileg egyenlő két kifejezés közül:

(i) ,

(ii) .

Magyarázzuk is meg, miért.

Megoldás. Legyen , , , . , . Az (i) kifejezést tehát kb. 5577-szer kisebb relatív hibával számíthatjuk ki.

Magyarázni azzal is lehet, hogy az függvénynek jóval nagyobb a kondíciószáma az -nél, mint a -nak. Ugyanis , , behelyettesítve az értéket, majd alkalmazva az (5.1) összefüggést, előbbi kb. , utóbbi pedig kb. . A két kondíciószám aránya éppen az előbbi 5577.

A kondíciószámot értelmezhetjük az többváltozós (ún. vektor-vektor) függvényre is (lásd az 5.4. példát). A levezetést mellőzve az (5.1) összefüggésből formálisan is adódik, hogy

ahol az ún. Jacobi-mátrix.

A kondíciószám normafüggő.

5.4. Példa. Mutassuk meg, hogy az kifejezés numerikusan instabil esetén.

Számítsuk ki a kifejezés értékét esetén. Alakítsuk át a kifejezést numerikusan stabillá.

Megoldás. Az és a számítása során keletkezett kerekítési hibák egymástól függetlennek tekinthetők, tehát az függvény viselkedését vizsgálhatjuk az esetén.

, , így euklídeszi normája , és mivel az függvény határértéke az pontban , ezért . Ezeket behelyettesítve (5.2)-be, megkapjuk a kondíciószámot: . Tekintettel arra, hogy , ez a kondíciószám tetszőlegesen nagy lehet, az (és így az eredeti is) tehát igen rosszul kondicionált az adott pontban. Zérushoz közeli -ekre , és ezekkel számolva a kondíciószám pl. -nél kb. . MATLAB-ban -nél (a kb. helyett).

Az azonosság másik oldala viszont numerikusan stabil a megadott környezetben. A kondíciószám meghatározását akár a (ahol ), akár a (ahol ) függvénynél az olvasóra bízzuk.

Az alábbi két ábra jól szemlélteti a viszonyokat.

Kékkel (a baloldali ábrán csak néhány pontot megadva) a helyes függvényt ábrázoltuk, pirossal pedig az eredeti -et. A jobboldalon a környezetében kinagyítottuk az ábrát.

A függvényértékek számítása során – mint már említettük – hiba következhet be. Jelölje és a pontos értékeket és legyen pontosan , a ténylegesen számított behelyettesítési érték pedig . Az eltérést, azaz a értéket direkt hibának nevezzük. Amennyiben az -ra valamely értékkel pontosan fennáll, hogy , akkor a értéket inverz hibának mondjuk.

Az ábra a kétféle hibát szemlélteti (, ). Kék színnel itt is a pontos számítást (a folytonos vonal a pontos értékkel, a szaggatott a megváltoztatott inputtal történőt jelöli) mutattuk be, piros pont-vonallal pedig a tényleges számítást (tehát aminek a végén csak valamilyen közelítő érték jelenik meg). Az és az megváltozást (vagy megváltoztatást) perturbációnak is szoktuk említeni. Az inverz hiba elemzését és becslését inverz hibaanalízisnek nevezzük. Ha több inverz hiba is létezik, akkor a (valamilyen normában) legkisebb inverz hiba meghatározása az érdekes. (Gondoljunk például arra, hogy ha és , akkor többféle is szolgáltathatja ugyanazt az eredményt.)

A direkt és az inverz hiba kapcsolatának vizsgálatához tegyük fel, hogy kétszer folytonosan differenciálható. Ekkor tehát felírható a következő Taylor-polinom: , ahol . Így a számított megoldás abszolút hibája

A relatív hiba pedig

Innen kapjuk az (5.1) figyelembe vételével az alábbi, hibaszámítási „ökölszabálynak“ is nevezett

közelítő egyenlőtlenséget, amely szóban kifejezve a következő:

Az egyenlőtlenség azt mutatja, hogy egy rosszul kondicionált probléma számított megoldásának nagy lehet a (relatív) direkt hibája. Egy értéket számító algoritmust direkt stabilnak nevezünk, ha a direkt hiba kicsi és inverz stabilnak nevezzük, ha bármely értékre olyan számított értéket ad, amelyre a inverz hiba kicsi. A „kicsi“ jelző környezetfüggő. Egy direkt stabil módszer nem feltétlenül inverz stabil. Ha az inverz hiba és a kondíciószám kicsi, akkor az algoritmus direkt stabil.

5.2. Megjegyzés. A gyakorlatban természetesen a számítás végeredményének a hibája, a direkt hiba a fontos. Az inverz hibaanalízis jelentősége abban áll, hogy sokszor az inverz hibát tudjuk becsülni. Az alkalmazott számítógép számábrázolási pontossága rendszerint ismert, gyakran annak mérőszámát, a gépi epszilont vagy az azzal arányos mennyiséget tekinthetjük inverz hibának. Az arányossági tényező megállapítása tapasztalatok alapján történik, szakkönyvek is ajánlanak értékeket. Jól kondicionált feladat esetén pedig az inverz hibából következtethetünk a direkt hibára.

Példaként említjük az aritmetikai műveleteket. Az összeadás és a szorzás stabil művelet bármilyen két adattal végezve is. Ugyanakkor a kivonás vagy az osztás bizonyos input adatok mellett érzékeny, instabil. A műveletek érzékenysége kapcsán figyelmükbe ajánljuk az 5.3. alfejezet 14. feladatát.

Rosszul kondicionált (érzékeny, instabil) feladat megoldását általános célú algoritmussal rendszerint nem tudjuk elfogadható hibahatáron belül elérni, az valamilyen speciális eljárást igényel, sokszor a feladat átalakítását. Ilyesmit láttunk a 3.2. vagy az 5.4. példában is. Most egy más jellegű példát mutatunk be.

5.5. Példa. Tekintsük az , , és

sorozatot és vizsgáljuk meg a feladat (pl. az kiszámítása) érzékenységét, ha input adatoknak az és értékét tekintjük (az együtthatókat pontos állandóknak tartjuk).

Megoldás. Az (5.5) képlet egy ún. rekurzív előírás a sorozat elemeire (magát az egyenletet szokás differenciaegyenletnek is nevezni, amelynek az a független változója és annak differenciája ). A rekurzió lineáris, a régóta ismert elmélettel megoldható és a sorozat általános tagjára az explicit összefüggést kapjuk, ahol és tetszőleges konstansok. Figyelembe véve az input adatokat (vagyis az , előírást), a és adódik. Tehát a konkrét feladat megoldása:

Ha a megadott kezdeti értékekhez képest kicsit más input adatokkal oldjuk meg a feladatot (például mérési hibák miatt), akkor a és értéke is kicsit változik, de akármilyen kicsi is a , a zérustól különböző értéke miatt a tag előbb-utóbb hatalmas változást okoz (5.6)-hoz képest. A következő ábrán szemléltetjük az elméleti (5.6) megoldást és mellette az (5.5) direkt alkalmazásával írt MATLAB program eredményeit.

Szemléltessük egy ábrasorozaton külön-külön is az eseteket (kékkel itt is a pontosnak tekinthető (5.6), pirossal a rekurzív (5.5) formulával számolt értékek szerepelnek):

Az ábrákból is látható, hogy a rekurzióval számolva -től kezdve az elméleti megoldáshoz képest lényeges és egyre növekvő eltérés jelentkezik. Ráadásul a monotonitás is elvész, sőt a nemnegatívitás is. A sorozat úgy viselkedik, mintha a tag is zérustól különböző együtthatóval szerepelne. A problémát valójában az okozta, hogy a számítások során kerekítési hibák léptek fel. Ha a kerekített eredményt tekintenénk pontosnak, az kerekítések nélkül más, megváltozott (perturbált) input adatokból származna. Jelentkeznek tehát a és a inverz hibák; mintha az input adatok valamely és lennének. Például, ha a pontos , helyett a MATLAB számítás során az (5.5) képlettel kapott (kerekítési hibákkal terhelt) , értékeket vesszük pontos adatoknak, akkor a és adódik; tehát nagyon pici inverz hiba hatalmas direkt hibát okozott. Ugyanakkor az ebből adódó és értékek alig változtak az eredeti , illetve értékekhez képest.

Itt meg is érkeztünk egy másik problémához, az algoritmusok stabilitásához (itt is használatos a jellemzésre az ellentett fogalom, az érzékenység). Az algoritmusoknak a kerekítési hibákra való érzékenységét (vagy éppenséggel kevésbé érzékenységét, robusztusságát) értjük rajta. Éppen ezért szokták a numerikus jelzővel összekapcsolni és numerikus stabilitásnak nevezni. Használatos itt is a jól (vagy gyengén) kondicionált algoritmus kifejezés is. Kapcsolat van a feladat érzékenységével (előbb láttuk hogy az instabil feladat végrehajtása közben a kerekítések hatása olyan, mint az input adatok perturbációja), de valójában más fogalom. Említettük, hogy az összeadás stabil művelet: akárhány azonos tag összeadásának elméleti eredménye relatíve nem változik jelentősen, ha az összeadandókba kis relatív hibák kerülnek. Ugyanakkor, ha azt az algoritmust találnánk ki, hogy olyan sorrendben adjuk össze az adatokat, hogy a meglévő részösszeghez a hátralévők közül – mindaddig, amíg lehetséges – azt adjuk, amelyik egyirányú kerekítést (például mindig lefelé kerekítést) okoz – és lehetőleg minél nagyobbat –, akkor sok szám összeadása után valószínűleg csodálkoznánk a végeredményen. Ez az algoritmus instabil. Ellentétben a Kahán-algoritmussal, amelyik éppen kompenzálni akarja a kerekítési hibákat, és numerikusan stabilnak mondható.

Fontos szabály, hogy a gyakorlatban csak stabil (jól kondicionált) algoritmusokat használunk. Instabil (inkorrekt kitűzésű), vagy rosszul kondicionált feladatot általános célú algoritmusokkal általában nem tudunk megoldani.

1. A fény sebessége légüres térben km/s. Mekkora a relatív hibakorlátja? Miért helytelen, ha a fény sebességét légüres térben durván km/s-nak adjuk meg? Hogyan kell helyesen megadni?

2. A normálfogazású fogaskerék modulusza: , ahol az osztást jelenti mm-ben (két szomszédos fog távolsága az ún. osztókörön mérve). A moduluszok szabványosítva vannak. Az osztókör ívén értékét mm-nek mértük. Mekkora a relatív hiba, ha tudjuk, hogy a modulusz pontosan ?

3. Egy gömbalakú kondenzátor kapacitása

ahol és a fegyverzetek külső és belső sugara, pedig az anyag dielektromos állandója, melyet pontos értéknek tekintünk.

A mérési eredmények: cm, cm. Számítsuk ki relatív hibáját.

4. Az cm hosszú inga lengésidejét mp-nek mértük. Határozzuk meg a

képletből közelítő értékét a mérés helyén. Adjunk becslést a közelítés abszolút és relatív hibájára a közelítésének abszolút hibája függvényében. Konkrét hibakorlátot is adjunk, ha -t 6 tizedesjegy pontossággal ismerjük.

5. Az és pontok magasság különbségét műszerrel állapítottuk meg. A mért adatokat táblázatba foglaltuk:

A keresett szintkülönbséget a könnyen belátható geometriai összefüggésből számítjuk. Adjuk meg közelítő értékét és becsüljük meg a hibáját, ha értékét 4 tizedesjegy pontossággal ismerjük.

6. A erővel húzott hosszúságú és átmérőjű acéldrót megnyúlása

ahol a -t és az rugalmassági modulust is magába foglaló konstans helyes jeggyel megadott értéke . Feltéve, hogy a erő pontosan , mekkora közös abszolút hibakorláttal kell megadnunk a kb. m nagyságú és a kb.  mm nagyságú értékét, hogy a képletből a megnyúlás  mm pontossággal meghatározható legyen?

7. Az háromszögről a következő adatokat ismerjük:

 m

 m

Legfeljebb mekkora lehet abszolút hibája, ha a -t a koszinusz-tétel alkalmazásával

(i)  m,

(ii)  m

hibakorláttal akarjuk kiszámítani? Adjunk magyarázatot a két eredmény jelentős eltérésére.

8. Egy bója függőleges állásában magasan van a vízszint felett. A felfüggesztő zsinór a vízszintet az pontban döfi. A feltámadó szél megdönti úgy, hogy a felfüggesztő zsinór továbbra is egyenes marad, de a bója éppen a víz felszínére kerül, az ponttól távolságra. Állapítsuk meg a víz mélységét az adatokból és becsüljük meg az eredmény hibáját. (.)

9. A földi gravitációs gyorsulás (a tengerszint feletti magasság függvényében)

ahol a gyorsulás magasságban, a gyorsulás a tenger szintjén, pedig a föld középsugara. Ha , akkor használhatjuk a

közelítő képletet is. Adjuk meg függvényében a abszolút és relatív hibáját.

10. Számítsuk ki az oldalú háromszög területét kétféleképpen:

(i) , ahol ,

(ii) .

Melyik képlet ad pontosabb eredményt , esetén és miért?

11. Vizsgáljuk meg kiszámításának alábbi módjait:

Legyen és , valamint és a hozzájuk tartozó relatív hibakorlátok. Adjuk meg az és relatív hibakorlátait és függvényében. Melyik eljárás mikor jó?

12. Ha elég kicsi, akkor az alábbi (i)-(iii) feladatokban alkalmazhatjuk az ott megadott közelítéseket. Igazoljuk, hogy a közelítő összefüggésből kapott értékek relatív hibakorlátjai az egyes feladatokban százalékosan megadott értékek.

(i) , a relatív hibakorlát:

(ii) , a relatív hibakorlát:

(iii) , a relatív hibakorlát:

13. A

konvergens sor összege . Ha csak az első tagot (de azokat pontosan) vesszük figyelembe, akkor a maradék sor elhagyásából származó hiba kisebb, mint .

Milyen pontossággal kell az egyes tagokat kiszámítani, hogy ezen tizedik részletösszeggel való közelítés hibakorlátja legyen?

14. Tekintsük az alapműveleteket kétváltozós függvényeknek, azaz , ahol a műveletek valamelyike.

(a) Vezessük le az alapműveletek hibakorlátjait, mint kétváltozós függvényekét.

(b) Adjuk meg ezen függvények kondíciószámát. Mikor rosszul kondicionáltak ezek a függvények?

(c) Vezessünk le hibakorlátot a hatványozásra; úgy is, hogy a kitevőt pontos értéknek tekintjük és úgy is, hogy mind az alap, mind a kitevő hibával terhelt.

(d) Legyen és . Adjuk meg függvényében az maximális hibakorlátját úgy, hogy az közelítéssel számolva relatív hibakorlátja legfeljebb legyen.

15. Számítsuk ki az rekurzió első 50 tagját, ha és . Ábrázoljuk a értékeket és vessük össze az eredményt az elméleti megoldással.

16. Számítsuk ki az rekurzió első 70 tagját, ha , és . Ábrázoljuk a értékeket és vessük össze az eredményt az elméleti megoldással. Stabil-e a rekurzió a kezdeti értékekre nézve?

17. Vizsgáljuk meg kiszámításának alábbi két módját:

(i) ,

(ii) .

A közbülső és eredmények relatív hibával vannak kerekítve. Melyik változat a jobbik?

18. Számítsuk ki kétféleképpen az függvény értékét a intervallumon az pontokban :

(i) ,

(ii) .

Ábrázoljuk az eredményeket. Mi az eredmények magyarázata?

19. Számítsuk ki az függvény értékét az intervallum darab ekvidisztans pontjában háromféleképpen is:

(i) a binomiális tétel kifejtésével kapott

polinom tagjait összegezve,

(ii) a polinomot a Horner séma szerint számolva:

(iii) közvetlenül hatványozva: .

Ábrázoljuk az eredményeket. Mi az eredmények magyarázata?

20. Ismert, hogy nemnegatív és mellett a számtani közép nem kisebb a mértaninál, azaz

és az egyenlőség csak esetén áll fenn. Így van-e ez numerikusan is? Ellenőrizzük kísérletileg az állítást, ha és nagyságrendje azonosan igen kicsiny, illetve igen nagy, valamint ha jelentősen eltérő.

21. Mutassuk meg, hogy a következő kifejezések numerikusan instabilak esetén:

(i) ,

(ii) ,

(iii) ,

(iv) .

22. Legyen lebegőpontos szám az IEEE duplapontos rendszerben és teljesüljön, hogy . Mutassuk meg, hogy értéke vagy vagy ( a gépi epszilon).

23. Legyen . Ezt az értéket az esetleges túlcsordulást elkerülendő a formulával számíthatjuk, ahol . Igazoljuk, hogy az alulcsordulás nem okoz számottevő hibát. (Másképpen: ha számítása során alulcsordulás lép is fel, az eredmény nem változik lényegesen ahhoz képest, mintha a korrekt értékkel számolnánk és a végén kerekítenénk.) Igaz-e ez az állítás akkor is, ha ?

24. Melyik állítás és mikor igaz az alábbiak közül:

(i) ; ,

(ii) ,

(iii) ,

(iv) ,

(v) ,

(vi) , ha .

1. Oldjuk meg Gauss-eliminációval, részleges és teljes főelemkiválasztással is az alábbi egyenletrendszereket:

(i)     ,

(ii)     .

2. Oldjuk meg -módszerrel, részleges főelemkiválasztással az alábbi egyenletrendszert:

Számítsuk ki az együttható mátrix inverzét is Gauss-Jordan eliminációval.

3. Oldjuk meg Jacobi- és Seidel-iterációval is az alábbi egyenletrendszert, végtelen normában hibakorláttal:

Hasonlítsuk össze az iteráció két változatával kapott eredményeket és az iteráció számokat.

Oldjuk meg Gauss-eliminációval is. Mekkora a tényleges hibája az iterációval kapott közelítéseknek?

4. Tekintsük az egyenletrendszert, ahol

Oldjuk meg kétféleképpen is az egyenletrendszert:

(i) Gauss-eliminációval, részleges főelemkiválasztást alkalmazva,

(ii) végigszorozva az egyenletet -vel és az egyenletnél Cholesky-módszert alkalmazva.

Figyelembe véve az -vel való szorzást is, melyik módszer a költségesebb és mennyivel?

5. Adott az

mátrix.

(i) Adjuk meg azt az -felbontását, ahol , , továbbá teljesül.

(ii) Adjuk meg azt az szorzatra bontást, amelyben egység alsó, egység felső háromszögmátrix, pedig diagonál mátrix.

Mint láttuk az 5. fejezetben, érzékenységen azt értjük, hogy milyen mértékben reagál az output adat az input adatok (a feladat bemenő paraméterei) kismértékű változására. Lineáris egyenletrendszer paraméterei az és a , ezért három modellt állíthatunk fel, annak megfelelően, hogy csak az egyik, csak a másik, vagy mind a két paraméter változik. A lineáris egyenletrendszerek érzékenysége szoros összefüggésben van az együtthatómátrix kondíciószámával, amit ezen mennyiség bevezetésének motivációja is érzékeltet:

Legyen nemszinguláris mátrix, és tekintsük az függvényt, ahol (azaz az lineáris egyenletrendszer megoldása a jobboldali vektor függvényében). Egyszerű számolással megmutatható, hogy ezen függvény kondíciószáma , és ez a becslés pontos. Joggal nevezhetjük tehát a kifejezést az mátrix kondíciószámának.

7.1. Megjegyzés. A legtöbb, változóiban lineáris feladat kapcsolatba hozható egy mátrixszal, amelynek kondíciószáma egyben a feladat kondíciószámára is rámutat. Kézenfekvő példa erre a mátrix kondíciószámának előbb megmutatott motivációja, de megemlíthetnénk például az 5.5. példát is. Ennél az (5.6) képletben szereplő és együtthatókat az

egyenletrendszer megoldása adja, ahol az együtthatómátrix kondíciószáma (például) esetén .

A becslésére több eredmény is született, itt most Wilkinson eredményét mutatjuk be, részben a pivotelemek növekedési tényezőjének demonstrálása céljából is.

7.6. Tétel. Az egyenletrendszer Gauss-módszerrel lebegőpontos aritmetikában kapott közelítő megoldása kielégíti az

egyenletrendszert, ahol

és a pivot elemek növekedési tényezője, pedig az aritmetika egységnyi kerekítése.

Pl. a (7.2) példában figyelembe véve, hogy , , pedig -re adódott, a eredményt kapjuk.

Minthogy a gyakorlatban kicsi (főelemkiválasztás esetén), a

relatív inverz hiba is az.

A tételből kapjuk, hogy

Kis kondíciószám esetén feltehetjük, hogy , így a 7.4. tételből esetén a relatív direkt hibára az alábbi közelítő becslést kapjuk:

Ez az összefüggés is rámutat, hogy a feladatérzékenység és a numerikus stabilitás egymástól független fogalmak: külön-külön befolyásolják a számított eredmény pontosságát. Lineáris egyenletrendszernél a feladatérzékenységet a , míg a Gauss-módszer numerikus stabilitását a jellemzi. A 6.2. példában sem a feladatérzékenység okozta a főelemkiválasztás nélküli esetben keletkezett durva hibát, hiszen ott , hanem a pivotelemek növekedési tényezője (korábban már megmutattuk, hogy az említett példában ).

A (7.12) a kondicionáltságnak a számított eredmény hibájára gyakorolt hatása mellett Gauss-módszer esetén a pivotelemek növekedése fontosságát igazolja elméletileg is.

A valamilyen módszerrel kapott közelítő megoldás hibájának utólagos becslésére azért van szükség, hogy elképzelésünk lehessen az eredmény megbizhatóságáról. Itt csupán a gyakorlatban jól használható Auchmuty-tételt ismertetjük, bizonyítás nélkül.

7.7. Tétel. Jelölje az egyenletrendszer valamilyen módon kiszámított közelítő megoldását. Ekkor igaz, hogy

ahol a (konstansnak nevezett) az -tól és az hibavektor irányától függ (a nagyságától nem), továbbá .

Az összefüggés alapján a reziduális hiba és az hányados meghatározásával nagyságrendileg helyesen becsülhetjük a közelítő megoldás abszolút hibáját. A számítógépes tapasztalatok azt mutatják, hogy nem túl nagy szám, gyakran . De ha kételyeink vannak és van időnk, költségünk az adott -hoz -nek megbízhatóbb becslésére, úgy magunk is kísérletezhetünk. Az adott mátrixnál több vektort felvéve meghatározzuk a jobboldali vektorokat, majd véletlenszerű perturbációkat választva kiszámoljuk az reziduális hibákat, és a (7.13)-ból kifejezve kapjuk -ket. Ezek közül nyilván a legnagyobbat választjuk, egy biztonsági tényezővel (pl. -zel) szorozva és ezzel felső becslését a tétel segítségével megbízhatóan kaphatjuk.

7.3. Példa. Legyen

(Ez a Lotkin-mátrix.) Írjunk MATLAB programot az -hoz tartozó meghatározásához, és futtassuk -re, kísérletet végezve.

Megoldás. Az mátrix előállítását az olvasóra bízzuk.

MATLAB program az Auchmuty-tételre:

  1    function c=auchm(A,k) 
  2    n=length(A); 
  3    c=zeros(n,1); 
  4    rand('state',0); 
  5    for i=1:k 
  6       x=rand(n,1); 
  7       b=A*x; 
  8       dx=2e-10*(2*rand(n,1)-1); 
  9       xp=x+dx; 
 10       r=A*xp-b; 
 11       c(i)=norm(dx)*norm(A'*r)/norm(r)^2; 
 12    end 
 13    return 

A futtatás végeredménye:

.

Itt a legnagyobb érték a , az említett biztonsági tényezővel, kerekítve a megbízhatóan választható a felső korlát becsléséhez.

7.8. Megjegyzés. Sok kísérletet persze nem érdemes végezni, hisz költséges lehet, márpedig általánosan is kimondhatjuk: hibabecsléshez csak az eredeti probléma megoldása költségétől nagyságrendben alacsonyabb költségű módszert illik alkalmazni.

Az egyenletrendszer valamilyen módszerrel (például Gauss-módszerrel) kapott javítására is születtek ötletek, ezek egyikét, mint iteratív módszert ismertetjük. Alapgondolata a következő. Legyen a pontos megoldás és a közelítő , a köztük fennálló összefüggéssel. Ekkor az egyenletből a meghatározása után ismert lehetne a pontos megoldás. Csakhogy nyilván -nek is csak egy közelítését határozhatjuk meg, így azzal nem pontossá tehetjük, hanem reményeink szerint is csupán javíthatjuk az közelítést.

Az iteratív javítás algoritmusa

Legyen

for

    

    Számítsuk ki az egyenletrendszer közelítő megoldását

    

end

Az eljárás különféle változatai ismertek. Az egyenletrendszerek megoldására az -módszer előnyös, hisz több, azonos együtthatójú olyan rendszert kell megoldani, melyek jobboldalai előre nem ismertek. Kilépési feltételként a egy korlát alá kerülését ajánlják, ám a tapasztalatok szerint sem a , sem az nem csökken monoton, ezért aztán elég szigorú korlátot egész váratlanul vagy egyáltalán nem ér el az algoritmus. Néhány lépést érdemes elvégezni és ezek közül kiválasztani a legkisebb reziduális hibájút. Mindenesetre elméletileg igazolt, hogy az iteratív javítás még egyszeres pontosságú lebegőpontos aritmetikában is javíthatja a közelítő megoldás pontossága.

7.4. Példa. Írjunk MATLAB programot iteratív javításra lépésben, majd javítással oldjuk meg az egyenletrendszert, ahol

az ú.n. Faddeev-Sominskii mátrix, és

(Az mátrix előállítását itt is az olvasóra bízzuk.)

Megoldás.

MATLAB program az iteratív javításra:

  1    function [rnorm,xlegjobb]=itjav(A,b,k) 
  2    n=length(b); 
  3    rnorm=zeros(k+1,1); 
  4    %egy kozelito megoldas + k javitas 
  5    [L,U,P]=lu(A); 
  6    b1=P*b; 
  7    y(n:-1:1)=fhmatrixszal(L(n:-1:1, n:-1:1), b1(n:-1:1)); 
  8    x=fhmatrixszal(U, y); 
  9    xlegjobb=x; 
 10    r=A*x-b; 
 11    rlegjobb=norm(r,inf); 
 12    rnorm(1)=rlegjobb; 
 13    % 
 14       for i=1:k 
 15  15         h=P*r; 
 16  16         y(n:-1:1)=fhmatrixszal(L(n:-1:1, n:-1:1),h(n:-1:1)); 
 17  17         d=fhmatrixszal(U, y); 
 18  18         x=x-d; 
 19  19         r=A*x-b; 
 20  20         rnorm(i+1)=norm(r,inf); 
 21  21         if rlegjobb>rnorm(i+1) 
 22  22            rlegjobb=rnorm(i+1); 
 23  23            xlegjobb=x; 
 24  24         end % if 
 25  25      end % i 
 26  26   return 

(A programban többször is használt fhmatrixszal nevű függvénnyel kapcsolatban utalunk a 6.1.1. alfejezetben megírt programra és annak a 6.1.6. alfejezetbeli alkalmazására.)

Hívás: [rnorm,xlegjobb]=itjav(A,b,4). A kapott eredmények:

Az eredményekből látható, hogy itt az első lépés javítás helyett éppen rontott, a második javító lépés szolgáltatta a legkisebb reziduális hibát ( normában), és így azt az eredményt őrizte meg a program, mint a megoldás legjobb közelítését, majd ismét elkezdett a sorozat romlani.

1. Oldjuk meg az

egyenletrendszert és vizsgáljuk a megoldás hibáját.

2. Tekintsük az

lineáris egyenletrendszert. Ennek pontos megoldása 8 tizedesjegyre helyesen kerekítve:

(i) Oldjuk meg az egyenletrendszert 8 tizedesjegy hosszú mantisszájú lebegőpontos aritmetikában és magyarázzuk meg, hogy a kapott eredmény pontossága miért annyira rossz. (A részleges főelemkiválasztás itt semmitmondó, teljes főelemkiválasztást pedig ne alkalmazzunk.)

(ii) Oldjuk meg az egyenértékű

egyenletrendszert részleges főelemkiválasztással. Mit tapasztalunk?

(iii) Számoljuk ki mindkét feladat mátrixának kondíciószámát végtelen-normában.

3. Tekintsük az (i) és az (ii) egyenletrendszert, ahol

pedig kétkomponensű vektor.

A két egyenlet közül melyik érzékenyebb a perturbációjára? Az érzékenyebb egyenletnél a -t hányszor kisebb relatív hibával kell ismernünk, hogy ugyanolyan pontossággal határozhassuk meg a megoldást, mint a másiknál?

4. Legyen . Oldjuk meg az egyenletrendszereket a sima és a részleges főelemkiválasztásos Gauss módszerrel is az alábbi adatok esetén. Határozzuk meg a kondíciószámokat és vizsgáljuk meg a kapott megoldások hibáját a fejezet módszereivel iteratív javítással és anélkül.

(i)

(ii)

(iii)

Mi a kapcsolata az egyes egyenletrendszereknek?

5. Legyen , és , ().

(i) Adjuk meg kondíciószámát és a relatív inverz hibát függvényében.

(ii) Szintén az függvényében mekkora az relatív reziduális hibája (azaz az érték, ahol ), ha az

pontos megoldása?

6. Legyen az ismeretlenes lineáris egyenletrendszer pontos megoldása, pedig egy tetszőleges komponensű vektor. Legyen továbbá az reziduális hibája: .

Igazoljuk, hogy indukált normában fennállnak a következő egyenlőtlenségek:

Értelmezze az egyenlőtlenségeket.

7. Tekintsük az lineáris egyenletrendszert, ahol a negyedrendű Hilbert mátrix, vagyis . Legyen továbbá . Ismert, hogy rosszul kondicionált, ezért az inverzét approximáljuk -vel, ahol

Tehát az megoldás egy közelítése: . Ez nyilván nem a pontos eredmény, de még csak nem is elfogadható közelítés, mert tudjuk, hogy a pontos megoldásnak is csak egész komponensei vannak. Alkalmazzuk az iteratív javítást az elfogadható integer megoldás megkeresésére, az helyett annak közelítését használva.

8. Tekintsük az lineáris egyenletrendszert, ahol

Mivel szimmetrikus, pozitív definit, ezért a Cholesky módszerrel oldjuk meg. Adjuk meg a pontos felbontást és az egyenletrendszer pontos megoldását.

9. Oldjuk meg az egyenletrendszert, ahol

és

Számítsuk ki a mátrix determinánsát, kondíciószámát és becsüljük is meg a közelítés hibáját a reziduális hibabecslés alapján. A közelítő megoldás elfogadható relatív hibája: 5%.

A MATLAB legfontosabb adattípusa a valós vagy komplex elemű mátrix. Mindazonáltal a skalárokra és vektorokra nem kell (bár lehet) két indexszel hivatkozni, továbbá az újabb verziókban a többindexes tömbök és egyéb objektumok is megjelentek.

A mátrixokat legegyszerűbben elemeik sorfolytonos felsorolásával adhatjuk meg. A sorokat pontosvesszővel vagy enter-rel választjuk el, ugyanazon mátrixsorban álló elemeket pedig helyközzel vagy vesszővel. Az egész felsorolást szögletes zárójelbe tesszük. Pl. az

mátrixot megadhatjuk a következőképpen:

              

Mindjárt az értékadásra is láttunk példát. A mátrixok deklarációja a rájuk, vagy egy elemükre vonatkozó első értékadó utasítással automatikusan megtörténik. Azonosítót a szokásos módon választhatunk. Vannak foglalt azonosítók, ezek a HELP parancs segítségével megismerhetők. Most csak az eps foglalt azonosítót említjük ami a konkrét számábrázolástól függő, ún. gépi epszilon (rendszerint ) értékét jelenti. Nehezen kideríthető hibát okozhat a jelentésétől eltérő használata.

Egy mátrixot kisebb mátrixokból (blokkokból, partíciókból) is felépíthetünk. Pl. a

utasítás az előbbi -val a

mátrixot adja.

A mátrix valamelyik elemére kerek zárójelek segítségével hivatkozunk: . Példáinknál maradva előbbi értéke 2, utóbbié . Sor- vagy oszlopvektor (azaz vagy méretű mátrix) elemére egyetlen indexszel is hivatkozhatunk. Bizonyos esetekben nincs jelentősége annak, hogy egy vektor sor- vagy oszlopvektor-e, sokszor viszont igen. Ha a vektor egyindexes elemeit külön-külön adjuk meg, akkor az sorvektor lesz. Skalár adatot pedig más programnyelvben megismert módon írhatunk, egy legáltalánosabb példa: (vagyis: ).

Ha k,h,m már definiált számértékek, akkor a vektorok felépítésére egy speciális lehetőség is rendelkezésünkre áll:

Itt egy sorvektort definiáltunk: elemei rendre lesznek. Az utolsó elem a , vagy a relációkból adódik, attól függően, hogy pozitív vagy negatív. A elhagyható, ha értéke 1. A vektor (vagy mátrix) üres is lehet.

Láttuk, hogy egy mátrixot részmátrixok segítségével is megadhatunk. A fordítottját is megtehetjük: egy mátrixból kiemelhetünk egy-egy blokkot (részmátrixot). A következő

utasítás a

mátrixot hozza létre. Ha vagy , akkor elég az egyiket megadni. Teljes sort vagy oszlopot pedig elég a (kettőspont)-tal jelölni.

Fontos alkalmazása a részmátrixoknak az

utasítás, amely az mátrix -edik sorához hozzáadja a -adik sor -szeresét.

Egy mátrix elemeiből a részmátrixhoz képest sokkal általánosabb módon is felépíthető egy új mátrix a MATLAB-ban. Nevezetesen: ha egy elemű, pedig egy elemű vektor (mindegy, hogy sor-, vagy oszlopvektor), akkor a

utasítás azt az méretű mátrixot hozza létre, amelynek elemeire teljesül. Az kifejezés értékadó utasítás jobboldalán is állhat; pl. egyetlen utasítással felcserélhetjük két sorát:

Speciális mátrixokat beépített függvényekkel is létrehozhatunk. Néhány függvényhívás:

Ezek a függvények rendre az méretű egységmátrixot, a csupa 1-esekből álló mátrixot, a zérusmátrixot, illetve véletlenmátrixot adnak. (Akármilyen méretű egységmátrixot a következőképpen értelmezünk: az azonos indexű elemei 1-esek, a többi eleme 0.) Ha , akkor a függvényeknél elég egy argumentumot írni, pl.: .

A RAND a -be eső (itt most egyenletes eloszlású) véletlenszámokat állít elő, a utasítás inicializálja a véletlenszám generátort.

Logikailag ide (kis erőltetéssel akár a részmátrixokhoz is) tartozik további három függvény. A TRIL(A) egy alsó, a TRIU(A) pedig felső háromszögmátrixot képez az mátrix megfelelő pozíciójában lévő elemeiből. A DIAG tárgyalása előtt meg kell említeni, hogy a mátrixok diagonálisaira sorszámukkal is hivatkozhatunk. Az -es mátrix fődiagonálisának sorszáma 0, a fölötte lévőké rendre , az alatta lévőké pedig . Precízebben szólva a -adik diagonálist azon elemek alkotják, amelyekre . Legyen egy hosszúságú vektor. A DIAG(v,k) azt a mátrixot hozza létre, melynek -adik diagonálisa a elemeit tartalmazza, többi eleme pedig 0. DIAG(A,k) pedig azt a oszlopvektort adja, amelynek elemei az mátrix -adik diagonálisában találhatók. Ha , akkor feltüntetése elmaradhat.

Mátrixok, vektorok, skalárok között a jelekkel az algebrában megismert műveleteket végezhetjük el és a várt eredményt kapjuk. Van egy kivétel: skalárt bármilyen méretű mátrixhoz hozzáadhatunk (kivonhatunk). Ilyenkor a skalár a mátrix minden eleméhez hozzáadódik. A ^ a hatványozás jele. Az művelet ()-szer szorozza -t önmagával, ha pozitív egész, illetve esetén az inverzet adja, ha az létezik.

A és műveletekhez hasonlóan a szorzás, osztás és a hatványozás is elemenként történik, ha a műveleti jelet a (pont) előzi meg. Pl.: eredménye lesz, míg a eredménye . Speciális mátrixművelet a transzponálás: . Alkalmas méretű mátrixok között és jelű műveleteket is használhatunk. Itt csak a legfontosabb esetet említjük. Az

eredménye az lineáris egyenletrendszer megoldása (ha az egyenletrendszer konzisztens).

A MATLAB rendszerben nagyon sok beépített függvény és eljárás segíti a programozói munkát. (Eljáráson itt a hagyományos függvénykiértékelésnek nem tekinthető műveletsort – pl. képernyőre rajzolás – értünk.) Mindezen alprogramok körét maga a programozó is bővítheti, így aztán egy MATLAB program általában kevés utasításból és sok-sok függvény, illetve eljárás behívásából áll.

EGY FELADAT MEGOLDÁSÁNAK FÁZISAI

(i) Megfogalmazás, célkitűzés.

(ii) Szakmai modell felállítása.

(iii) Matematikai modell kialakítása.

(iv) Algoritmus készítés, hibaelemzés

(v) Program készítés, futtatás.

(vi) értékelés, esetleg visszacsatolás.

A numerikus módszerek alapvető feladata a (iv) fázis,

azaz már kész matematikai modellek megoldására

elfogadható hibahatáron belüli számszerű erdményeket

produkáló eljárások kidolgozása.

MÁTRIX ÉS VEKTOR FOGALMA

Az típusú (méretű) valós mátrixon valós

számok alábbi táblázatát értjük:

Az típusú valós mátrixok halmazát jelöli,

ennek megfelelően például az azt jelenti,

hogy egy típusú (méretű) valós mátrix.

Az egyetlen sorból vagy egyetlen oszlopból álló mátrixot

vektornak nevezzük.

TÖMÖREBB JELÖLÉSEK

Ha a sorok és oszlopok száma megegyezik, akkor a

mátrixot négyzetesnek nevezzük. Például az méretű

mátrix jelölése ekkor:

Ha egyszerűen csak vektort említünk és nem tesszük

hozzá, hogy az sor- vagy oszlopvektor-e, akkor azon

mindig oszlopvektort értünk. A komponensek kettős

indexelése ekkor felesleges (az egyik mindig 1).

Az vagy a mátrix-, illetve vektorelemekre való

hivatkozás történhet

formában is.

MŰVELETEK

Összeadás.

Számmal való szorzás.

Transzponálás (tükrözés).

Szorzás.

Ha , akkor az szorzat neve:

Skalárszorzat. Ezzel az elemei

MŰVELETEK FONTOS TULAJDONSÁGAI

SPECIÁLIS MÁTRIXOK, VEKTOROK

Zérusmátrix ()

Egységmátrix, -edik egységvektor ()

Diagonálmátrix ()

Permutációmátrix: minden sorában és oszlopában

pontosan egy darab -es van és a többi elem zérus

Háromszögmátrixok ()

Sávmátrixok (, alsó- és felső

sávszélességgel)

MÁTRIXOK PARTICIONÁLÁSA ()

Figyelem: itt és nem egymás transzponáltja

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA ÉS INVERZE ()

Determináns:

Inverz mátrix:

mátrix- (vagy vektornoma, ha ), ha

A norma szokásos jelölése:

Leggyakoribb vektornormák:

Leggyakoribb mátrixnormák ():

Mátrixok kondíciószáma:

HIBASZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK

: pontos érték,          : közelítő érték}

: az hibája,          : abszolút hibája

: abszolút hibakorlát, ha

: az relatív hibája;         

analitikus hibák: az eredeti matematikai modell és a numerikusan ténylegesen megoldott feladat közötti eltérésből adódó hiba.

öröklött hibák: az input adatok hibáinak az eredményre pontosan végzett számítások mellett gyakorolt hatásai.

kerekítési hibák: a számításokat véges sok számjeggyel végezzük, és ez a végeredményben szükségszerűen hibákat okoz.

AZ ALAPMŰVELETEK ÖRÖKLÖTT HIBÁI

pontosak és a közelítések

és

FÜGGVÉNYEK HIBÁI

Egyváltozós eset ()

Kondíciószám:

Többváltozós eset}

(, , , )

Kondíciószám ():

LEBEGŐPONTOS HIBASZÁMÍTÁS

Ha , akkor

,         kerekítés:

az egységnyi kerekítés; a gépi epszilon:

A műveletekre is feltesszük, hogy

ÉRZÉKENYSÉG, STABILITÁS

Direkt hibák, inverz hibák

Legyenek és a pontos, és pedig a közelítő értékek.

direkt hiba:

inverz hiba: , ha

Az inverz hiba elemzése: inverz hibaanalízis

Hibaszámítási „ökölszabály”

FELADATÉRZÉKENYSÉG

Pontos számítás mellett mennyire érzékeny a végeredmény az input adatok változására(perturbációjára).

Egyik jellemzője a kondíciószám.

Algoritmusok numerikus stabilitása

A kerekítési hibákra való érzékenysége (vagy éppenséggel a kevésbé érzékenysége, robusztussága)

Példa:

Ha és , akkor az

rekurzióval definiált sorozatban és .

ám, ha

és

,

akkor és az .

A rekurziós képlettel, duplapontos aritmetikában az

eredeti és kezdőértékekkel nem a pontos, hanem éppen az és az eredményeket kapjuk.

Tehát

Itt a direkt hibák:

igen nagyok, pedig az input adatok megváltozásai, a

rendkívül kicsinyek.

Ha az , értékeket tekintjük pontosnak, akkor a , mennyiségek az inverz hibák.

Látható a feladatérzékenység és a kerekítési hibák kölcsönhatása: a kerekítési hibák hatása olyan, mintha a perturbált input adatokkal pontosan számolnánk.

A kerekítési hibák halmozódását a következő ábrasorozat mutatja (a vízszintes tengelyen az , a függőlegesen pedig az (kék színnel) és az (piros színnel) látható.

(Az algoritmusok stabilitására példát a lineáris egyenletrendszereknél mutatunk be.)

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

( egyenlet és ismeretlen)

Ha

akkor tömör alakban:

Ha , akkor az egyenletrendszer

Ha

akkor a megoldás az alábbi hipersíkok közös része:

Három eset lehetséges:

(i) nincs megoldás

(ii) pontosan egy megoldás van

(iii) végtelen sok megoldás van

A továbbiakban feltesszük hogy . Ekkor

Cramer-szabály:

A Cramer-szabály alkalmazása költséges, más utat kell keresni.

A költséget a flopok számával mérjük.

Háromszögmátrixú egyenletrendszerek

Sémájuk:

Ez utóbbi kirészletezve:

Ha , akkor , tehát a

megoldó algoritmus:

A ciklus magját írhatjuk így is:

Ezen algoritmus költsége a mai számítógépeken nagy méret esetén is alacsony:

flop.

Cél tehát az eredeti egyenletrendszer ekvivalens (megoldásőrző) átalakítása háromszögmátrixúvá, elfogadható költséggel.

A Gauss-módszer

Ekvivalens (megoldásőrző) átalakítás:

-adik lépés:

Ha a -adik egyenlet alattiakból kivonjuk a -adik egyenlet

szorosát, úgy az -edik egyenletből is kiiktatjuk

(elimináljuk) a -adik ismeretlent:

A nyilván kimarad, de a is, hisz a későbbiekben mindegy, mi áll a főátló alatt.

Fenti algoritmus középső sora az ismert jelöléssel:

A Gauss-módszer MATLAB programja

  1  function [x]=Gauss(A,b) 
  2  n=length(b); 
  3  % 
  4  %eliminációs fázis: 
  5  % 
  6  for k=1:n-1 
  7    for i=k+1:n 
  8       g=A(i,k)/A(k,k); 
  9       A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-g*A(k,k+1:n); 
 10          b(i)=b(i)-g*b(k); 
 11    end % i 
 12  end % k; 
 13  % 
 14  %vége az eliminációs fázisnak 
 15  %visszahelyettesitő fázis: 
 16  [x]=fhmatrixszal(A,b) 
 17  return 
     
  0  % a háromszögmátrixú e.r.-t megoldó program 
  1  function [x]=fhmatrixszal(A,b) 
  2  n=length(A); 
  3  x=zeros(n,1); 
  4  for i=n:-1:1 
  5    x(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); 
  6  end 
  7  return 

A Gauss-módszer műveletigénye: flop.

A Gauss-elimináció determináns számításra is alkalmas.

Főelemkiválasztás

Ha a pivotelem, azaz , akkor szükséges a sorok (és/vagy oszlopok) cseréje. De a numerikus stabilitás érdekében legyen mindenkor lehetőleg nagy abszolút értékű a pivotelem.

Részleges főelemkiválasztás: A -adik lépésben a -adik oszlop () elemei közül kiválasztjuk a maximális abszolút értékűt, majd annak sorát a -adik sorral felcseréljük. A pivotálás után teljesül, hogy

Teljes főelemkiválasztás: A -adik lépésben az () mátrixelemek közül választjuk ki a maximális abszolút értékűt. Ha ennek indexpárja (), akkor a -adik és a -edik sort, valamint a -adik és az -edik oszlopot felcseréljük. A pivotálás után teljesül, hogy

Figyelem: oszlopcsere esetén változócsere is történik.

A pivotelemek növekedési tényezője

A Gauss-módszer eliminációs fázisában egy

ekvivalens egyenletrendszerekből álló sorozatot képezünk, ahol

A végső állapotban

ahol a -adik fő-, vagy pivotelem. A pivotelemek növekedési tényezője:

befolyásolja az eljárás numerikus stabilitását.

Példa. Az egyenletrendszer jól kondicionált (, kicsi), a pontos megoldás: , , bináris duplapontos aritmetikában: , . (Kézi számítással is tanulságos végigszámolni a 16 jegyű decimális aritmetikában.) Főelemkiválasztás nélkül igen nagy és a nagyon rossz , adódik, míg részleges főelemkiválasztással és lehető legjobb , közelítő megoldást kapjuk.

A Gauss-módszer főelemkiválasztással numerikusan nem stabil, míg főelemkiválasztással az.

Gauss-Jordan elimináció részl. főelemkiválasztással

egyenletrendszer:

  1  function [X]=Gauss_Jordan(A,B) 
  2  [n,m]=size(B); r=n+m; 
  3  A=[A,B]; 
  4  % I.1 fazis: foatlo alatti eliminacio 
  5  for k=1:n-1 
  6    for i=k+1:n 
  7       [amax,ind]=max(abs(A(k:n,k))); 
  8          t=ind+k-1; 
  9  %      ind: az A(k:n, k)-beli index, t az A-beli 
 10       if t k 
 11  %         a k-adik es a t-edik sor csereje: 
 12          A([k,t], :)=A([t,k], :); 
 13       end % if 
 14       g=A(i,k)/A(k,k); 
 15       A(i,k+1:r)=A(i,k+1:r)-g*A(k,k+1:r); 
 16    end % i 
 17  end % k; 
 18  % I.2. fazis: foatlo folotti eliminacio 
 19  for k=n:-1:1 
 20  % A kovetkezo i ciklus k=1 eseten ures 
 21    for i=1:k-1 
 22       g=A(i,k)/A(k,k); 
 23       A(i,n+1:r)=A(i,n+1:r)-g*A(k,n+1:r); 
 24    end % i 
 25    X(k,1:m)=A(k,n+1:r)/A(k,k); 
 26    end % k; 
 27  % II. fazis itt nincs: barmely j-re    () 
 28  % az Ax=B(:, j) egyenletrendszer megoldasa: X(:, j) 
 29  % pl. B=I eseten X=inv(A) 
 30  return 

Műveletigény, ha n=m (pl. invertálás): flop.

Az -felbontás

A=LU, ahol L alsó-, U felső háromszögmátrix:

Egy nemszinguláris mátrixnak akkor és csak akkor létezik -felbontása, ha összes főminor mátrixa is nemszinguláris, azaz

Gauss-eliminációval:

azaz: oszlopai osztva a főátlóbeli elemmel

()

Egyenletrendszer megoldása -módszerrel

Minden nemszinguláris mátrixhoz létezik olyan permutációmátrix, hogy a mátrixnak van -felbontása.

Az -módszer algoritmusa

1. Határozzuk meg a felbontást

(így: adódik)

2. Oldjuk meg az egyenletrendszert -ra

3. Oldjuk meg az egyenletrendszert -re

Cholesky-felbontás

Ha az mátrix szimmetrikus és pozitív definit, akkor létezik olyan -felbontása, hogy (ez a Cholesky-felbontás).

Műveletigénye: flop.

Iteratív módszerek

Legyen az pontos megoldása , az pedig az -hoz konvergáló sorozat ().

Jacobi-iteráció

Skalár alakban:

Seidel-iteráció

MATLAB program a Seidel-iterációra

  1  function [x, iszam]=Seidel(B, c, x0, q, tol, imax) 
  2    n=length(c); 
  3    p=q/(1-q); 
  4  %   hogy legalabb egy iteraciot biztos vegrehajtson: 
  5    d=inf; 
  6    iszam=0; 
  7    x=x0; 
  8    while (d>tol) & (iszam<imax) 
  9       iszam=iszam+1; 
 10       for i=1:n 
 11          x(i)=B(i,:)*x; 
 12       end % i 
 13       d=p*norm(x-x0, inf); 
 14       x0=x; 
 15    end % while 
 16    return 

Konvergencia-tétel

Ha , akkor mind a Jacobi-, mind a Seidel-iteráció val előállított sorozat tetszőleges választása esetén az egyetlen megoldáshoz konvergál. Érvényes továbbá a következő hibabecslés:

Iteratív módszerek előnyei

(i) a kerekítési hibák nem halmozódnak

(ii) egzakt hibabecslés, ha a feltételek teljesülnek

(iii) adott esetben kisebb műveletigény

            (egy lépés csak flop)

Lineáris egyenletrendszerek hibabecslése

elméleti megoldás: , a közelítő megoldás:

direkt hiba:

reziduális hiba:

inverz hibák: ,

Inverz hiba a jobboldali vektorban

Ha nemszinguláris és , akkor

Inverz hiba az együtthatómátrixban

Ha nemszinguláris, és , akkor

Egyidejű inverz hiba a jobb- és baloldalon

Ha nemszinguláris, és , akkor

A , és a kondíciószám becsléséhez utalunk a szabadon hozzáférhető LINPACK programcsomagra.

Az inverz hibákra több helyen ajánlják a , választást, ahol az abszolútérték elemenként értendő, pedig a gépi epszilon.

A mindig használható.

A inverz hiba becslése Wilkinson tételével

Az egyenletrendszer Gauss-módszerrel lebegőpontos aritmetikában kapott közelítő megoldása kielégíti az

egyenletrendszert, ahol

és a pivot elemek növekedési tényezője, pedig az aritmetika egységnyi kerekítése.

A relatív direkt hiba becslése Wilkinson tételével

A tételből:

Kis kondíciószám esetén feltehetjük, hogy

és ezzel

Utólagos hibabecslés Auchmuty tételével

ahol a (konstansnak nevezett) az -tól és az () hibavektor irányától függ, továbbá .

A kísérletileg becsülhető, tapasztalat szerint többnyire .

Iteratív javítás

Mivel a közelítést határozhatjuk meg, így reményeink szerint is csupán javíthatjuk az közelítést.

Algoritmusa:

Legyen

for

    

    Számítsuk ki az közelítő megoldását

    

end

Az egyenletrendszerek megoldására az -módszer előnyös.

Tapasztalatok szerint sem a , sem az nem csökken monoton, ezért az irodalomban kilépési feltételként ajánlott

nem mindig megbízható.

Helyette néhány lépés megtételét, és a kapott közelítések közül a legkisebb reziduális hibájú választását javasoljuk.