Operációkutatás I.

Bajalinov, Erik

Nyíregyházi Főiskola, Matematika és Informatika Intézete

Bekéné Rácz, Anett

Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Új Széchenyi Terv logó.

Lektorálta: Dr. Mala József, egyetemi docens, Corvinus Egyetem

A tananyag a TÁMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0046 számú Kelet-magyarországi Informatika Tananyag Tárház projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/ 06 40 638-638

2010


Tartalom

1. Bevezetés
Optimumszámítási feladatok. A matematikai programozás feladata
A lineáris programozási feladat és alakjai
Általános lineáris programozási feladat
Standard lineáris programozási feladat
Kanonikus lineáris programozási feladat
Átalakítás
A lineáris programozási feladat geometriája
Gyakorlat
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
2. Szimplex módszer
A szimplex módszer elméleti háttere
Fő definíciók
Optimalitási kritérium
Szimplex tábla és műveletek
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
3. Induló lehetséges bázismegoldás előállítása
Nagy M módszer
Kétfázisú szimplex módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
4. Szimplex módszer - folytatás
Általános séma
Degeneráció
Kiválasztó szabályok
Bevezető szabályok
Kivezető szabályok
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
5. Dualitás
A duális feladat fogalma
Dualitási tételek
Árnyékárak
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
6. Érzékenységi analízis
A jobboldal változása
Változások a célfüggvényben
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
7. Szállítási feladat
A feladat fő alakjai
Hurokszerkesztéses szimplex módszer
Induló lehetséges megoldás előállítása
Északnyugati sarok módszer
Minimális költség módszer
Vogel módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
8. Szállítási feladat speciális esetei
Összetett szállítási feladat
Hozzárendelési feladat és magyar módszer
Modell (Munkák optimális kiosztása)
Magyar módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
9. Egészértékű programozás
Diszkrét, egészértékű, 0/1 LP feladatok, átalakítás
Korlátozás és szétválasztás módszere
Gomory módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
10. Bevezetés a hiperbolikus programozásba
A feladat alakjai és a grafikus módszer
Hiperbolikus gyártási feladat
HP feladatok alakjai
Grafikus módszer
Charnes és Cooper transzformáció
Dinkelbach módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
11. Szimplex módszer a hiperbolikus programozásban
A szimplex módszer "hiperbolikus" változata
Induló lehetséges bázismegoldás előállítása
Nagy M módszer
Kétfázisú szimplex módszer
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
12. Dualitás a hiperbolikus programozásban
Duális feladat
Dualitási tételek
Duális változók értelmezése
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
13. Érzékenységi analízis hiperbolikus programozásban
A jobboldal változása
Változások a célfüggvény számlálójában
Változások a célfüggvény nevezőjében
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
14. Szoftverek
Solver
LinGo
Gyakorlat
Minta
Gyakorló feladatok
Ellenőrző kérdések
Irodalomjegyzék

A táblázatok listája

2.1. Szimplex táblázat
3.1. Induló szimplex tábla a (3.1)-(3.3) feladathoz.
3.2. Nagy M módszer - Induló szimplex tábla
7.1. Szállítási szimplex táblázat
7.2. Szállítási feladat - Vannak hurkok
7.3. Szállítási feladat - Nincsenek hurkok
7.4. Északnyugati sarok módszer - Eredeti és 1. tábla
7.5. Északnyugati sarok módszer - 2. és 3. tábla
7.6. Északnyugati sarok módszer - 4. és 5. tábla
7.7. Északnyugati sarok módszer - 6. és 7. tábla
7.8. Vogel módszer - 1. tábla
7.9. Vogel módszer - 2. tábla
7.10. Vogel módszer - Végső tábla
8.1. Összetett szállítási tábla
11.1. HP szimplex tábla
11.2. Nagy M módszer - Induló táblázat
11.3. Nagy M módszer - Az első iteráció eredménye
11.4. Nagy M módszer - Az második iteráció eredménye
11.5. Nagy M módszer - Optimális táblázat

Az egyenletek listája

1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
10.11.
10.12.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
11.8.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
11.14.
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16.
12.17.
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
13.6.
13.7.
13.8.
13.9.
13.10.
13.11.
13.12.
13.13.
13.14.
13.15.
13.16.
13.17.
13.18.
13.19.
13.20.
13.21.
13.22.
13.23.
14.1.
14.2.

1. fejezet - Bevezetés

Az operációkutatás egy viszonylag új tudományág, melynek fejlődése és széleskörű alkalmazása szorosan összefügg a számítógépek kialakulásával, elterjedésével. Maga az operációkutatás kategória a második világháború idején alakult ki. A háború alatt a szövetséges hadseregek vezérkarai mellett létrehoztak olyan különböző szakmájú tudósokból álló kutatócsoportokat, amelyeknek az volt a fő feladata, hogy tudományos eszközök segítségével javaslatokat dolgozzanak ki a hadműveletek eredményes és hatékony irányításához. Innen ered az elnevezés, amelyben az operáció szó eredetileg katonai műveletre, hadműveletre utalt. A világháború után, a számítógépek fejlődésével és elterjedésével párhuzamosan az operációkutatás mind tartalmát, mind alkalmazási körét illetően igen gyorsan fejlődött, és napjainkban a társadalmi-gazdasági élet majd minden területén alkalmazást nyer.

Optimumszámítási feladatok. A matematikai programozás feladata

Az operációkutatás feladatának szemléltetéséhez tekintsük az alábbi problémát.

Készítsünk egy vállalatnak maximális nyereséget biztosító termelési tervet az alábbi információk alapján: A vállalat kétféle terméket gyárt, jelöljük ezeket A-val és B-vel.

 A termékB termék
Eladási ár (eFt/db)1000800
Önköltség (eFt/db)400300
Munkaidőigény (óra/db)1520
Alapanyag szükséglet (egység/db)32

A munkaidő-kapacitás 1440 óra, 240 egység alapanyag szerezhető be. Ezenkívül, a B termékből maximálisan 50 db-nak van piaca. Ha az egyes termékekből termelt, egyelőre ismeretlen mennyiségek x1, ill. x2 egység (melyek valós pozítiv számok lehetnek), akkor a munkaidő-, alapanyag- és piackorlátok így írhatók le:

1.1. egyenlet -


Nyilvánvaló, hogy a gyártandó mennyiség nem lehet negatív. Ebből kifolyólag:

1.2. egyenlet -


Jelöljük P(x1,x2)-vel a nyereséget:

1.3. egyenlet -


Ekkor a feladatot a következő módon lehet megfogalmazni: a 1.1 és 1.2 feltételeknek eleget tevő x1 és x2 értékekből keressük azokat, amelyek mellett a P(x1,x2) függvény, az ún. célfüggvény, maximális értéket vesz fel.

Az ilyen fajta optimalizálási feladatok hagyományos alakja a következő:

Vegyük észre, hogy a fenti feladatban minden összefüggés lineáris, éppen ezért az ilyen fajta feladatokat lineáris programozási feladatnak szoktuk nevezni. Azonban az általános optimumszámítási feladat esetén előfordulhat tetszőleges nem-lineáris kifejezés. Ilyenkor nemlineáris programozási feladatról vagy még általánosabb esetben matematikai programozási feladatról fogunk beszélni. Általános alakja:

attól függően, hogy maximális vagy minimális értéket kell keresnünk. Itt x-szel egy n-dimenziós vektort, azaz x=(x1,x2,...,xn) ∈ Rn, L betűvel pedig a keresendő változók értékeinek halmazát jelöltük, amelyek mellett teljesülnek a feladatban szereplő feltételek. Ezt az L halmazt lehetséges halmaznak szoktuk nevezni.

Ha az f(x) célfüggvénynek az L lehetséges halmazon van maximuma (minimuma), akkor azt az x ∈ L vektort, amelynél f maximális (minimális), optimális megoldásnak nevezzük és a továbbiakban x*-gal jelöljük. Egy feladatnak több optimális megoldása is lehet.

Könnyen adhatók olyan példák, amelyek azt mutatják, hogy a lehetséges megoldások L halmaza üres halmaz, máskor pedig azt, hogy a célfüggvény maximum feladat esetén felülről vagy minimum feladat esetén alulról nem korlátos az L halmazon. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a tekintett feladatnak nem létezik optimális megoldása, a feladat nem megoldható.

A lineáris programozási feladat és alakjai

Amint azt a fenti optimumszámítási modellnél láttuk, lineáris programozási feladaton olyan feltételes szélsőérték feladatot értünk, amelyben a feltételek lineáris egyenlőség és egyenlőtlenség formájában adottak, és ezen feltételek mellett keressük egy lineáris függvénynek, a célfüggvénynek, a minimumát vagy maximumát.

Általános lineáris programozási feladat

A lineáris programozási feladat általános formája a következőképpen írható fel:

adott a

1.4. egyenlet -


célfüggvény, amelyet maximalizálni (vagy minimalizálni) kell, az alábbi feltételek által meghatározott lehetséges megoldások L halmazán:

1.5. egyenlet -


1.6. egyenlet -


Itt x=(x1,x2,...,xn) ∈ Rn és m1 ≤ m2 ≤ m, n1 ≤ n.

Standard lineáris programozási feladat

A lineáris programozási feladat standard formája abban különbözik az általános feladattól, hogy

  1. a feltételrendszer csak relációkat tartalmaz

  2. a változók csak nemnegatív értékeket vehetnek fel, és

  3. a célfüggvény maximumát keressük.

Kanonikus lineáris programozási feladat

Egy LP feladat kanonikus alakú, ha

  1. a feltételrendszer csak = relációkat tartalmaz,

  2. a változók csak nemnegatív értékeket vehetnek fel, és

  3. a célfüggvény maximumát keressük.

Átalakítás

Az általános, standard és kanonikus alakú feladatok közötti átalakításhoz a következő három átalakító eljárásra lesz szükségünk:

  1. nagyobb vagy egyenlő ("") → kisebb vagy egyenlő ("")

    A "" alakú feltétel mindkét oldalát meg kell szoroznunk (-1)-gyel.

  2. kisebb vagy egyenlő ("≤") → egyenlő ("=")

    A "" alakú feltétel bal oldalába be kell vezetni egy nemnegatív értékű mesterséges változót:

  3. alulról nem korlátos xj változóalulról korlátos xj ≥ 0 nemnegatív változó

    az alulról nem korlátos xj változó helyett be kell vezetnünk két új nemnegatív változót: xj = x'j - x''j, x'j ≥ 0, x''j ≥ 0.

  4. minimalizációs célfüggvény (P(x) → min)maximalizációs célfüggvény (P(x) → max)

    Azt mondhatjuk, hogy

    az optimális megoldás szempontából. Tehát

    egyenlőség teljesül.

A lineáris programozási feladat geometriája

A következőkben 2 dimenziós lineáris programozási feladatokat oldunk meg grafikus eljárással.

A módszer azon alapul, hogy az egyenlőtlenség típusú feltételek félsíkokat határoznak meg a 2 dimenziós térben, és ezen félsíkok metszeteként előállítható a lehetséges megoldások L halmaza, melynek ismeretében meghatározható az optimális megoldás. Így, az eljárás a következő lépésekből áll:

  1. Határozzunk meg az L halmazt.

  2. Ha L = ∅, vége, a feladat nem megoldható. Egyébként

  3. állítsuk elő a p1x1+p2x2 = z egyenest, nívóvonalat, egy olyan z állandóval, hogy a nívóvonal metssze az L halmazt.

  4. Növeljük z értéket addig, amíg a nívóvonal metszi az L halmazt. Más szavakkal, azokból a z értékekből, amelyek mellett a metszet nem üres, válasszuk a legnagyobbat, z*-t. Vége.

Ha z* érték véges, akkor az az x* pont (csúcspont), amelyben a z* értéknek megfelelő nívóvonal metszi az L lehetséges halmazt, optimális megoldása a tekintett feladatnak. Előfordulhat, hogy több ilyen pont van (a szélső metszet több lehetséges x pontot tartalmaz). Ilyenkor, azt mondjuk, hogy a feladatnak több optimális megoldása van. Ha z* érték végtelen nagy, definíció szerint a feladat nem megoldható, mert a célfüggvény felülről nem korlátos.

A vázolt eljárás illusztrációjaként tekintsük a következő problémát.

Ábrázolva a megfelelő félsíkokat, megkapjuk a lehetséges megoldások halmazát, amely a (0,6),(0,0),(5,0),(3,4) pontok által meghatározott négyszög (ld. 1.1. Ábra). Így az ábrából látható, hogy a feladat optimális megoldása az x = (0,6) csúcspontban van. Ekkor a célfüggvény maximális értéke 120.

Lehetséges halmaz és nívó vonalak.

Gyakorlat

Gyakorló feladatok

Oldjuk meg grafikus módszerrel az alábbi LP feladatokat.

Ellenőrző kérdések

  1. Ha kiderült, hogy a megoldandó LP feladatban az L lehetséges halmaz üres, akkor ez mit jelent, mi a teendő és miért?

  2. Ha kiderült, hogy a megoldandó maximalizálási LP feladatban az L lehetséges halmazon a célfüggvény felülről nem korlátos, akkor ez mit jelent, mi a teendő és miért?

  3. Ha kiderült, hogy a megoldandó maximalizálási LP feladatban az L lehetséges halmazon a célfüggvény alulról nem korlátos, akkor ez mit jelent, mi a teendő és miért?

  4. A grafikus módszer használata során kiderült, hogy a célfüggvény maximális értékének megfelelő nívóvonal egyetlen egy pontban érinti a lehetséges halmazt. Mit jelent ez?

  5. A grafikus módszer használata során kiderült, hogy a célfüggvény maximális értékének megfelelő nívóvonal egybeesik a lehetséges halmazt korlátozó egyik egyenessel. Mit jelent ez?

  6. Egy megoldandó LP feladatban "≥" relációjú feltételt át kell alakítanunk "≤" relációjúra. Hogyan tehetjük ezt meg?

  7. Egy megoldandó LP feladatban "≥" relációjú feltételt át kell alakítanunk "=" relációjúra. Hogyan tehetjük ezt meg?

  8. Egy megoldandó LP feladatban "≤" relációjú feltételt át kell alakítanunk "≥" relációjúra. Hogyan tehetjük ezt meg?

  9. Egy megoldandó LP feladatban "≤" relációjú feltételt át kell alakítanunk "=" relációjúra. Hogyan tehetjük ezt meg?

  10. Egy megoldandó LP feladatban "=" relációjú feltételt át kell alakítanunk "≤" relációjúra. Hogyan tehetjük ezt meg?

2. fejezet - Szimplex módszer

A jelen fejezetben a szimplex módszert és annak elméleti hátterét fogjuk bemutatni. A módszer tárgyalása hasonlóan történik, mint a [Bajalinov, Imreh '01] jegyzetben, amely a [Dantzig '63] könyv tárgyalását követi, és nagy vonalakban a következőképpen vázolható.

Elsőként megmutatjuk a szimplex módszer elméleti hátterét és levezetjük a szükséges képleteket. Ezek után megadjuk a szimplex algoritmust és a módszer végrehajtására használt ún. szimplex-táblát. A fejezet gyakorlati mintával és kérdésekkel zárul.

A szimplex módszer elméleti háttere

Tekintsük a következő kanonikus alakú lineáris programozási feladatot:

2.1. egyenlet -


2.2. egyenlet -


2.3. egyenlet -


Fő definíciók

  1. Definíció. A (2.1)-(2.3) maximalizálási LP feladatot megoldhatónak fogjuk nevezni, ha

    • a (2.2)-(2.3) feltételek által meghatározott L lehetséges halmaz nem üres, azaz létezik legalább egy olyan x=(x1,x2,...,xn) vektor, amely kielégíti a feladat (2.2)-(2.3) feltételeit, és

    • a P(x) célfüggvény az L lehetséges halmazon felülről korlátos.

    Egyébként a (2.1)-(2.3) feladatot megoldhatatlannak fogjuk nevezni.

Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert:

ahol

és m ≤ n.

  1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az Aj vektorokból álló

    B = {As1, As2, ..., Asm}

    vektorrendszer bázist alkot, ha az As1, As2, ..., Asm vektorok lineárisan függetlenek, azaz B vektorrendszer lineárisan független.

Tegyük fel, hogy az adott B = {As1, As2, ..., Asm} vektorrendszer bázist alkot. Jelölje JB a B bázishoz tartozó Aj vektorok indexeinek halmazát, azaz

JB = {s1, s2, ...,sm}.

Ha J = {1, 2, ..., n}, akkor a JN = J \ JB indexhalmaz jelöli azon Aj vektorok indexeinek halmazát, amelyek nem szerepelnek az adott B bázisban.

  1. Definíció. Az adott x = (x1, x2, ..., xn) vektort bázismegoldásnak (vagy bázisvektornak) fogjuk nevezni, ha

    és xj = 0, ∀j ∈ JN.

Azokat az xj változókat, amelyek indexe a JB indexhalmazban van, bázisváltozónak szokás nevezni. Ha egy xj változó nem szerepel a bázisban, akkor ezt a változót nembázis változónak fogjuk nevezni.

  1. Definíció. Az L konvex halmaz x pontját extremális pontnak (vagy csúcspontnak) nevezzük, ha az L halmazban nem léteznek olyan x' és x'' pontok, ahol x' ≠ x'', amelyeknek az x pont lineáris kombinációja, azaz x = λx' + (1-λ)x'', ahol 0 < λ < 1.

Az extremális pontok nagyon fontos szerepet játszanak a szimplex módszerben. A csúcspontok és a bázismegoldások közötti kapcsolatot a következő tétel határozza meg:

  1. Tétel. Az Ax=b, x ≥ 0 lineáris rendszer által meghatározott L konvex halmaz egy x pontja akkor és csak akkor csúcspontja az L halmaznak, ha az x vektor ennek a rendszernek bázismegoldása.

Más szavakkal, minden csúcspontnak megfelel legalább egy bázismegoldás.

  1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az x bázismegoldás degenerált, ha a bázisváltozók között van legalább egy nulla értékű változó, azaz ∃ j: j ∈ JB, és xj = 0. Abban az esetben, ha xj ≠ 0, ∀j ∈ JB, akkor az x bázismegoldást nemdegeneráltnak nevezzük.

A nemdegenerált bázismegoldás fogalma nagyon fontos szerepet játszik a szimplex módszerben, mert a degenerált csúcspontnak általános esetben több bázis és ezért több bázismegoldás felel meg.

  1. Definíció. A (2.2) rendszer x bázismegoldását a (2.1)-(2.3) feladat lehetséges bázismegoldásának nevezzük, ha minden xj eleme nemnegatív.

  2. Definíció. A (2.1)-(2.3) kanonikus LP feladatot normálisnak vagy normalizáltnak fogjuk nevezni, ha a (2.2) egyenletrendszer jobboldali b = (b1, b2, ..., bm)T vektorának összes bi eleme nemnegatív.

Optimalitási kritérium

Tegyük fel, hogy a (2.1)-(2.3) lineáris programozási feladat normális, azaz bi ≥ 0, i=1, 2, ..., m. Továbbá, feltételezzük, hogy az x = (x1, x2, ..., xn) vektor a (2.1)-(2.3) feladat nemdegenerált lehetséges bázismegoldása, és ennek a bázismegoldásnak megfelel a B = (As1, As2, ..., Asm) bázis. Ez azt jelenti, hogy

, ahol J = {1, 2, ..., n}. Ezeknek a feltételezéseknek megfelelően

Mivel az x vektor bázismegoldás, ezért

2.4. egyenlet -


A szimplex módszer eljárásának megfelelően válasszunk egy Ak nembázis vektort (azaz k ∈ JN), és vezessük be ezt a vektort a bázisba. Mivel ilyenkor a B bázis változik, ezért változnak a benne levő bázisváltozók és az xk új bázisváltozó egy új értéket kap (eredetileg nulla értékű volt). Éppen ezek miatt a bázisban történő változások miatt a következő új jelölésekre van szükségünk:

  • θ jelölje az xk új bázisváltozó értékét és

  • xj(θ) jelölje a bázisban már meglévő, régi bázisváltozók új értékét.

Az új jelölések használatával a (2.4) képlet átírható a következő formában:

2.5. egyenlet -


Továbbá, mivel As1, As2, ..., Asm bázisvektorok lineárisan független vektorrendszert alkotnak, ezért ebben a rendszerben tetszőleges Ak vektor előállítható a lineáris kombinációjukként:

2.6. egyenlet -


Helyettesítsük a (2.5) képletben az Ak vektort a (2.6) egyenlet jobb oldalában szereplő kifejezéssel:

2.7. egyenlet -


Vegyük figyelembe, hogy a (2.4) és (2.7) egyenletek jobb oldalán szereplő kifejezések egyformák. Ebből kifolyólag

Mivel az As1, As2, ..., Asm vektorok lineárisan függetlenek az utóbbiból következik, hogy

2.8. egyenlet -


A (2.8) képlet x(θ) új bázismegoldás előállítására való használata biztosítja a (2.2) feltételrendszer kielégítését. Azonban ez a képlet nem biztosítja az x(θ) vektor elemeinek nemnegativitását ((2.3) feltételek). Tehát nem biztos, hogy x(θ) lehetséges bázismegoldása lesz a tekintett LP feladatnak. Ez azt jelenti, hogy a (2.8) képletben olyan θ-ra van szükségünk, amely mellett teljesülnek az

nemnegativitási feltételek. Más szavakkal, olyan értékű θ-t kell keresnünk, hogy teljesüljenek a következő feltételek:

2.9. egyenlet -


Mivel θ-val jelöltük az xk új bázisváltozó új értékét, ezért csak nemnegatív θ-t választhatunk, más szavakkal a (2.9) feltétel helyett a

2.10. egyenlet -


tartományt kell használnunk a θ kiválasztásához.

Továbbá, θ értékét nem érdemes nullának választani, mert ilyenkor a bázisban nem változik semmi (azaz xk változó marad nulla értékű és nem kerül a bázisba). Másrészt, nem választhatjuk θ értékéül a (2.10) tartomány belső pontját, mert ebben az esetben az új vektorrendszerben (m+1) darab vektor marad és azok nem alkothatnak lineárisan független vektorrendszert, azaz ilyenkor nem kapunk új bázist. Ezért a következő marad az egyetlen elfogadható θ érték:

2.11. egyenlet -


  1. Megjegyzés. Előfordulhat, hogy a kiválasztott Ak vektor számára nincs egyetlen egy olyan i index sem, amely mellett xik > 0, és ennek következtében a (2.9) tartományban a jobboldali felső korlát nem létezik. Ilyenkor θ értéke (és vele együtt az xk új bázisváltozó értéke is) felülről nem korlátos, és ebből kifolyólag végtelen nagy. Egy másik "rossz" eset is előfordulhat, ha a (2.11) képletben eredményül egynél több i index mellett kapjuk meg a minimális értéket.

Mivel már tudjuk miként kell θ értékét kiválasztani, tegyük fel, hogy

Ez utóbbi azt jelenti, hogy az új bázisban xr(θ) = 0, xk = θ és az Ak vektor az új bázisban az Ar vektor helyére kerül. Tehát, az eredeti B = {As1, As2, ..., Ar, ..., Asm} bázis helyett egy új, B = {As1, As2, ..., Ak, ..., Asm} bázist kapunk.

Számoljunk most ki a P(x) célfüggvény értékét az x(θ) pontban:

ahol

vagy röviden

2.12. egyenlet -


Jegyezzük meg, hogy a Δk-kat redukált költségeknek szokás nevezni.

A (2.12) képlet lehetővé teszi annak a kérdésnek a megválaszolását, hogy érdemes volt e bevezetni a bázisba az Ak vektort. Mivel θ > 0 (korábban feltételeztük, hogy x lehetséges bázismegoldás nemdegenerált, azaz minden báziseleme nemnulla értékű), ezért az Ak vektor bázisba való bevezetése (és ezáltal az x lehetséges csúcspontból az x(θ) csúcspontba való átmenet) miatt a P(x) célfüggvény értéke csökken vagy növekszik attól függően, hogy milyen előjelű a Δk redukált költség. Ha Δk < 0 , akkor a P(x) célfüggvény értéke növekszik, ha Δk > 0, akkor P(x) csökken. Nyilvánvaló, hogy ha Δk = 0, akkor a P(x) célfüggvény értéke változatlan marad.

Eredményeinket a következő tételben összegezhetjük:

  1. Tétel. (Optimalitási kritérium.) Egy adott x lehetséges bázismegoldás akkor és csak akkor optimális a 2.1 maximalizációs célfüggvény tekintetében, ha Δk ≥ 0, k=1, 2, ..., n.

Szimplex tábla és műveletek

A szimplex módszer végrehajtásakor a megoldandó LP feladathoz tartozó adatokat az ún. szimplex táblázatban szoktuk kezelni. Egy ilyen szimplex tábla tekinthető meg a 2.1. táblázatban.

2.1. táblázat - Szimplex táblázat

p1

p2

...

pk

...

pn

B

PB

xB

A1

A2

...

Ak

...

An

P(x)

Δ1

Δ2

...

Δk

...

Δn

As1

ps1

xs1

x11

x12

...

x1k

...

x1n

As2

ps2

xs2

x21

x22

...

x2k

...

x2n

Ar

pr

xr

xr1

xr2

...

xrk

...

xrn

Asm

psm

xsm

xm1

xm2

...

xmk

...

xmn


Ahol az alábbi jelölések jelentése a következő:

  • B: Az aktuális bázist alkotó vektorok oszlopa

  • PB: Az aktuális bázist alkotó vektorok célfüggvény együtthatóinak oszlopa

  • xB: Az aktuális bázismegoldás oszlopa

  • Ai: A feltételmátrix i. oszlopvektora

  • s1, ..., sm: Aktuális bázis indexek

A táblázatban szereplő k-dik oszlopot generáló oszlopnak, az r-dik sort generáló sornak, az xrk elemet pedig generáló elemnek szoktuk nevezni. Az egyik bázisról a másik bázisra való áttéréssel kapcsolatos műveleteket szimplex transzfomációnak hívjuk.

Az egyik bázisról a másikra való áttérés során a szimplex táblázat a következő transzformációs képletek szerint módosul:

2.13. egyenlet -


A (2.13) képlet érvényes az xB oszlopban is.

Gyakorlat

Minta

A szimplex iteráció illusztrálásához tekintsük a következő szimplex-táblát:

 5328
B PB xB A1 A2 A3 A4
P(x) = 2025 000-5
A1 51251002
A2 32500101
A3 2325001-5

Az adott tábla szerint B = {A1, A2, A3} és A4 oszlop nincs a bázisban. Ezenkívül, Δ4 = -5 < 0, azaz B nem optimális bázis. Vezessük be a bázisba az A4 vektort. Ennek megfelelően ki kell számolnunk a θ értéket:

θ = min { 125/2, 250/1 } = 62,5

Mivel θ értékét az 1. számú sorban kaptuk, ez azt jelenti, hogy az A4 vektor a bázis első pozíciójában álló A1 vektor helyére kerül. Más szavakkal, A1 vektor kiesik a bázisból. Így, a generáló elem a generáló oszlop (A4) és generáló sor (A1) kereszteződésében álló '2'. A (2.13) képleteken alapuló átalakítások után a következő új táblát kapjuk:

 5328
B PB xB A1 A2 A3 A4
P(x) = 2337,5 2,5000
A4 862,50,5001
A2 3187,5-0,5100
A3 2637,52,5010

ahol

62,5 = θ = 125/2; 0,5 = 1/2; 0 = 0/2; 0 = 0/2; 1 = 2/2;

187,5 = 250 - 125×1/2; -0,5 = 0-1×1/2, 1 = 1 - 0×1/2; 0 = 0-0×1/2 stb.

Gyakorló feladatok

Az alábbi szimplex táblában állítsa be az üres cellákban a helyes értékeket, majd számolja ki a célfüggvény értékét és a Δj redukált költségeket! Szükség esetén hajtson végre egy vagy több szimplex iterációt!

 53286
B PB xB A1 A2 A3 A4 A5
P(x) = ? ?????
A1 5125 0120
A2 3250 -410
A5 2325 01-51

Ellenőrző kérdések

  1. Ha kiderült, hogy a megoldandó maximalizálási LP feladatban P(x)=0, ∀ x ∈ L, akkor mi a teendő és miért?

  2. Ha kiderült, hogy a megoldandó maximalizálási LP feladatban P(x) ≤ 0, ∀ x ∈ L, akkor mi a teendő és miért?

  3. Ha kiderült, hogy a megoldandó maximalizálási LP feladatban P(x) ≥ 0, ∀ x ∈ L, akkor mi a teendő és miért?

  4. A szimplex módszer használata során kiderült, hogy az egyik xj bázisváltozónál Δj > 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  5. A szimplex módszer használata során kiderült, hogy az egyik xj bázisváltozónál Δj < 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  6. A szimplex módszer használata során kiderült, hogy az egyik xj nembázis változónál Δj = 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  7. Egy maximalizálási LP feladatban a szimplex módszer használata során kiderült, hogy az összes nembázis változónál Δj ≥ 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  8. Egy maximalizálási LP feladatban az optimális szimplex táblában az egyik nembázis változónál Δj = 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  9. Egy maximalizálási LP feladatban az optimális szimplex táblában az összes nembázis változónál Δj = 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

  10. Egy minimalizálási LP feladatban az optimális szimplex táblában az összes nembázis változónál Δj = 0. Mit jelent ez és mi a teendő?

3. fejezet - Induló lehetséges bázismegoldás előállítása

Amikor az előző fejezetben a szimplex módszert tárgyaltuk, feltételeztük, hogy rendelkezünk egy x lehetséges bázismegoldással (LBM), és abból az x induló LBM-ból kiindulva leírtuk a szimplex módszer elméleti hátterét. Bizonyos esetekben az induló LBM könnyen előállítható. Pl. ha az A mátrixban van m darab olyan Aj oszlopvektor, amelyekből könnyen össze lehet állítani egy (m × m) méretű egységmátrixot. Világos, hogy a gyakorlatban ilyen feladatok viszonylag ritkán fordulnak elő.

Mielőtt áttérünk az általános esetre, tekintsünk egy "könnyű" esetet. Tegyük fel, hogy a megoldandó LP feladat feltételrendszerében csak "≤" relációjú feltételek szerepelnek:

és b = (b1, b2, ..., bm)T vektor minden bi, i = 1, 2, ..., m, eleme nemnegatív. Ilyenkor a kanonikus alakra való átalakításnál a feladatba be kell vezetnünk m darab xn+1, xn+2, ..., xn+m mesterséges változót. Ezekhez a mesterséges változókhoz tartozik m darab An+1, An+2, ..., An+m egységvektor, amelyek (m × m) méretű egységmátrixot alkotnak, mivel

azaz

Így, induló lehetséges bázismegoldásként használhatjuk a következő vektort:

  1. Megjegyzés. Az ilyen módon bevezetett xn+1, xn+2, ..., xn+m mesterséges változók a célfüggvényben nem kapnak helyet, azaz az összes pj = 0, j = n+1, n+2, ..., n+m. Így kapjuk az átalakított (3.1)-(3.3) feladatot.

    3.1. egyenlet -


    3.2. egyenlet -


    3.3. egyenlet -


Nyilvánvaló, hogy a (3.1)-(3.3) LP feladatnak megfelel a 3.1. táblázatban szereplő induló szimplex tábla.

3.1. táblázat - Induló szimplex tábla a (3.1)-(3.3) feladathoz.

p1

...

pn

0

...

0

B

PB

xB

A1

...

An

An+1

...

An+m

P(x) = 0

-p1

...

-pn

0

...

0

An+1

0

b1

a11

...

a1n

1

...

0

An+2

0

b2

a21

...

a2n

0

...

0

An+m

0

bm

am1

...

amn

0

...

1


  1. Megjegyzés. Vegyünk észre, hogy a 3.1. táblázatban az xij együtthatók helyett (azaz xij együtthatókként) szerepelnek az eredeti aij koefficiensek. Ez azért van így, mert az induló lehetséges bázisban szereplő An+i, i = 1, 2, ..., m, vektorok egységvektorok és emiatt

Sajnos, általános esetben az induló LBM előállítása nem triviális feladat. Éppen ezért a könyvünk jelen fejezetében olyan módszereket tárgyalunk, amelyek segítségével a szimplex módszer indításához szükséges induló LBM-t állíthatunk elő.

Nagy M módszer

A módszer alkalmazásakor az eredeti normalizált kanonikus alakú (2.1)-(2.3) LP feladat feltételrendszerében minden i. feltételben be kell vezetni egy-egy mesterséges xn+i, (i = 1, 2, ..., m) változót, így összesen m darab xn+1, xn+2, ..., xn+m mesterséges változó kerül a feltételrendszerbe. Ezenkívül, ezeket a mesterséges változókat be kell vezetni a P(x) függvényben is (-M) együtthatóval. Így, az eredeti normalizált kanonikus alakú (2.1)-(2.3) LP feladat helyett a következő M-feladatot kapjuk:

3.4. egyenlet -


3.5. egyenlet -


3.6. egyenlet -


ahol M egy tetszőlegesen nagy pozitív számot jelöl (ez a szám nem igényel semmiféle konkrét numerikus értéket, csak úgy kell kezelnünk, hogy ez egy nagyon nagy pozitív szám), azaz M ≫ 0.

Továbbá, az ilyen módon előállított M-feladatnál induló lehetséges bázismegoldásként használhatjuk a

3.7. egyenlet -


vektort. Tehát, a szimplex módszer indításához szükséges lehetséges bázismegoldás megvan, a szimplex módszer ezen az M-feladaton már elindítható.

Tegyük fel, hogy x̃ = (x̃1, x̃2, ..., x̃n, x̃n+1, ..., x̃n+m)T optimális megoldása a (3.4)-(3.6) M-feladatnak. A következő esetek fordulhatnak elő.

  1. Tétel. Ha vektor optimális megoldása a (3.4)-(3.6) M-feladatnak és n+i = 0, i = 1, 2, ..., m azaz x̃ = (x̃1, x̃2, ..., x̃n, 0, 0, ..., 0), akkor az x* = (x̃1, x̃2, ..., x̃n)T optimális megoldása az eredeti (2.1)-(2.3) feladatnak.

  2. Tétel. Ha vektor optimális megoldása a (3.4)-(3.6) M-feladatnak és a mesterséges változók között van legalább egy pozitív értékű, akkor az eredeti (2.1)-(2.3) feladat nem megoldható, mert a lehetséges megoldások halmaza üres, azaz L = ∅.

  1. Megjegyzés. Az M-feladat lehetséges halmaza nem üres, mert tartalmaz legalább egy x (3.7) LBM vektort, amely kielégíti a (3.5) és (3.6) feltételeket. Éppen ezért olyan eset, amikor az M-feladat nem megoldható, mert a lehetséges halmaza üres, nem fordulhat elő.

  2. Megjegyzés. Az M-feladatban nem mindig szükséges m darab mesterséges változó. Nyilvánvaló, hogy ezek a mesterséges változók azért kellenek, hogy az A mátrixban legyen m darab egységvektor. Természetesen, ha a mátrixban már van néhány egységvektor, akkor csak annyi mesterséges változóra van szükség, hogy az egységvektorok száma pontosan m legyen.

Tehát, ha az eredeti LP feladat megoldható, akkor a Nagy M módszer használatával meghatározhatjuk a feladat optimális megoldását. Ha viszont az eredeti LP feladat nem megoldható, mert a lehetséges halmaza üres vagy a célfüggvény felülről nem korlátos, akkor a Nagy M módszer ezt jelzi.

Az M-feladathoz tartozó induló szimplex tábla a 3.2. táblázatban megtekinthető.

3.2. táblázat - Nagy M módszer - Induló szimplex tábla

p1

...

pn

-M

...

-M

B

PB

xB

A1

...

An

An+1

...

An+m

P(x)

Δ1

...

Δn

0

...

0

An+1

-M

b1

a11

...

a1n

1

...

0

An+2

-M

b2

a21

...

a2n

0

...

0

An+m

-M

bm

am1

...

amn

0

...

1


Kétfázisú szimplex módszer

A kétfázisú szimplex módszer első fázisában a megoldandó normál alakú kanonikus LP feladat feltételrendszerébe be kell vezetnünk az xn+1, xn+2, ..., xn+m mesterséges változókat. Ugyanúgy, mint az előző részben leírt Nagy M módszer esetén, most is az a célunk, hogy a mátrixban legyen m darab egységvektor. Ha bevezettük a mesterséges változókat, akkor a következő lineáris programozási feladatot kell megoldanunk:

3.8. egyenlet -


3.9. egyenlet -


3.10. egyenlet -


Tekintsük ezt a (3.8)-(3.10) Első fázisú feladatot. Mivel

vektor kielégíti a (3.9)-(3.10) feltételeket, ha bi ≥ 0, i = 1,...,m és mivel (3.8) célfüggvény alulról korlátos, ebből következik, hogy a (3.8)-(3.10) feladat megoldható.

Tegyük fel, hogy az x' = (x'1, x'2, ..., x'n, x'n+1, ..., x'n+m)T vektor a (3.8)-(3.10) feladat optimális megoldása. Ilyenkor a következő két lehetséges eset fordulhat elő:

  1. Z(x')=0, azaz x'n+i = 0, i = 1, 2, ..., m. Ebben az esetben x'' = (x'1, x'2, ..., x'n)T vektor az eredeti LP feladat lehetséges bázismegoldása. A módszer második fázisában x'' vektor használatával indíthatjuk a szimplex módszert.

  2. Z(x')>0, azaz ∃ i0 : x'n+i0 > 0, 1 ≤ i0 ≤ m. Ilyenkor az eredeti LP feladat nem megoldható, mert a lehetséges halmaza üres.

Gyakorlat

Minta

Tekintsük az alábbi numerikus példát:

Határozzuk meg a feladat megoldásához szükséges induló lehetséges bázismegoldást. Első lépésben alakítsuk át a feladatot standard alakra:

Továbbá, konvertáljuk a feltételeket kanonikus alakúra. Ehhez vezessük be a szükséges kiegyenlítő változókat:

Majd normalizáljuk a feltételeket, ehhez megszorozzuk a második feltétel mindkét oldalát (-1)-gyel:

Így kaptuk a következő normál alakú kanonikus feladatot:

A kapott feladatot helyettesítsük a következő M-feladattal:

Az ilyen módon kapott M-feladatnál induló LBM-ként használhatjuk az x = (0, 0, 30, 0, 10, 20) vektort, amelynek megfelel a következő bázis: B = (A3, A6, A5).

Gyakorló feladatok

Az alábbi LP feladatot alakítsa kanonikus normál alakra! Alkalmazza a Nagy M módszert és a kétfázisú szimplex módszert!

Ellenőrző kérdések

  1. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az egyik mesterséges változó negatív értékű lett. Mit jelent ez?

  2. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az egyik mesterséges változó nulla értékű lett. Mit jelent ez?

  3. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az összes mesterséges változó pozitív értékű lett. Mit jelent ez?

  4. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény negatív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  5. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  6. Egy kanonikus alakú LP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény pozitív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  7. Egy LP maximalizálási feladatnál a Nagy M módszer végrehajtása során az egyik táblázatban az egyik mesterséges bázisváltozónál a Δj negatív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

  8. Egy LP maximalizálási feladatnál a Nagy M módszer végrehajtása során az optimális táblázatban az egyik mesterséges bázisvátozónál a Δj nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

  9. Egy LP maximalizálási feladatnál a kétfázisú szimplex módszer első fázisának végrehajtása során az egyik táblázatban az egyik mesterséges bázisvátozónál a Δj nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

  10. Egy LP maximalizálási feladatnál a kétfázisú szimplex módszer első fázisának végrehajtása során az optimális táblázatban minden mesterséges bázisvátozónál a Δj nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

4. fejezet - Szimplex módszer - folytatás

Ebben a fejezetben azt mutatjuk meg, hogy hogyan alkalmazhatjuk a szimplex módszert LP feladatok megoldására.

Általános séma

A szimplex módszer menete a következő módon írható le:

  1. Ha a megoldandó LP feladat nem kanonikus és nem normalizált alakú, akkor a feladatot át kell alakítani normál alakúra, majd következik a 2. lépés.

  2. Ha van lehetőség, keressünk egy induló lehetséges bázismegoldást. Ez lehet egy nagyon egyszerű dolog, ha eredetileg a feladatban csak "" relációjú feltételek szerepelnek és a jobboldali b vektorban minden elem nemnegatív. Ilyenkor, az átalakításkor bevezetett mesterséges xn+i, i = 1, 2, ..., m változókat használhatjuk bázisváltozókként.

    Ha az induló lehetséges bázismegoldás "manuális" előállítása nem valósítható meg, akkor a megfelelő módszert (Nagy M módszer vagy kétfázisú szimplex módszer) kell használnunk.

    Miután az induló LBM-et előállítottuk, következik a 3. lépés.

  3. Állítsunk elő az aktuális LBM-hez tartozó szimplex táblát.

    3.a.

    Ha az összes nembázis változóhoz (xj, ∀ j ∈ JN) tartozó Δj redukált költség nemnegatív értékű, azaz ha Δj ≥ 0, ∀ j ∈ JN, akkor az aktuális lehetséges bázismegoldás optimális. Vége.

    3.b.

    Ha van legalább egy negatív értékű Δj, azaz ∃ j: Δj < 0, j ∈ JN, akkor a negatív értékű Δj-vel rendelkező nembázis változókból ki kell választani az egyiket (a megfelelő szabályokat később fogjuk tárgyalni, lásd (4.3.1.) alfejezet), és a lejjebb leírtaknak megfelelően vagy befejezni az eljárást, vagy áttérni a 4. lépésre.

  4. A kiválasztott változót és a megfelelő Aj vektort be kell vezetni a bázisba, ezzel előállítva az új LBM-t. Majd vissza a 3. lépéshez.

Jegyezzük meg, hogy a 3.a. esetben a feladat meg van oldva és az aktuális LBM a feladat optimális megoldása.

  1. Megjegyzés. Ha a 3.a. esetben kiderült, hogy a Δj-k között van legalább egy nulla értékű, akkor ez azt jelenti, hogy az adott LP feladatnak több optimális megoldása is van (lásd. (2.12) képletet). Ilyenkor azt mondjuk, hogy a LP feladatnak van alternatív megoldása.

Vizsgáljuk meg részletesebben a 3.b. lépést. A kiszámolt Δj-k elemzése során a következő esetek fordulhatnak elő:

  1. b.1. Létezik legalább egy j0 nembázis index, hogy Δj0 negatív és az összes xij0, i = 1, 2, ..., m együttható nem pozitív, azaz

    JN- = {j: j ∈ JN; Δj < 0} ≠ ∅

    és

    JN-- = {j: j∈ JN-; xij ≤ 0, ∀i = 1, 2, ..., m} ≠ ∅

  2. b.2. Létezik legalább egy j0 nembázis index, hogy Δj0 negatív és minden ilyen j0 index esetén legalább egy xij0 együttható pozitív értékű, azaz

    JN- = {j: j ∈ JN; Δj < 0} ≠ ∅

    és

    JN-- = {j: j∈ JN-; xij ≤ 0, ∀i = 1, 2, ..., m} = ∅

A 3.b.1. esetben a szimplex táblában kaptunk legalább egy nembázis indexű, negatív értékű Δj0 redukált költséggel rendelkező oszlopot, amelyben xij0 együtthatók között nincs egyetlen egy pozitív szám sem. Ilyen esetben az eredeti (2.1)-(2.3) LP feladat nem megoldható, mert a célfüggvény felülről nem korlátos. A (2.10) képletnek megfelelően, ilyenkor a θ értéknek nincs felső korlátja és emiatt tetszőleges nagy lehet. Ahogy ez a (2.8) képletből következik, ilyenkor az x(θ) új vektor lehetséges vektor marad a θ érték nagyságától függetlenül és ezért tetszőleges nagy xj(θ) elemeket tartalmazhat. Ebből kifolyólag a lineáris célfüggvény felülről nem korlátos, ami definíció szerint azt jelenti, hogy a feladat nem megoldható.

A 3.b.2. esetben minden Δj0 negatív értékű redukált költség esetén a megfelelő θ érték felülről korlátos és a maximális értéke meghatározható a (2.11) képletből. Ez utóbbi pedig azt jelenti, hogy a nem üres JN- halmazban csak olyan j0 indexek vannak (lásd. (2.12) képlet), hogy

P(x(θ)) - P(x) = -θΔj0 > 0, mégpedig -θΔj0 < ∞, ∀ j0 ∈ JN-

Ebből következik, hogy ha Aj0 vektort bevezetjük a bázisba, akkor olyan x(θ) új bázismegoldást fogunk kapni, amelynél P(x(θ)) > P(x). Tehát, a 2. esetben az x aktuális lehetséges csúcspontból áttérünk egy szomszédos x(θ) lehetséges csúcspontba, amelyben a célfüggvény értéke "jobb" (maximalizálási feladatnál - nagyobb).

Degeneráció

Jelen jegyzet minden előző részében feltételeztük, hogy az aktuális lehetséges bázismegoldás nem degenerált (lásd. 2.5. Definíció). Azonban előfordulhat, hogy az aktuális LBM tartalmaz legalább egy nulla értékű bázisváltozót, azaz a megoldás degenerált. Ez a jelenség ahhoz vezethet, hogy a szimplex módszer végrehajtása során többször fordul elő ugyanaz a bázis. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a módszer ciklizál. Szerencsére, a szimplex módszert lehet úgy finomítani, hogy soha ne történjen ciklizálás [Bland '77], [Dantzig '63]. A gyakorlatban a degeneráció nem szükségképpen vezet mindig ciklizáláshoz. Magának a ciklizálásnak az előfordulása rendkívül ritka esemény [Kotiah, Slater '73], [Kotiah, Steinberg '77].

A szakirodalomban található "ciklizáló" lineáris programozási feladatok többsége "mesterséges" jellegű, azaz a kutatók által tudatosan konstruált feladatok [Rothenberg '79]. Azonban, léteznek speciális alakú feladatok, ahol a degeneráció és ciklizálás, viszonylag gyakori esemény, ilyenek pl. a sorbanállás elmélet speciális feladatai [Kotiah, Steinberg '77]. A szimplex módszer elméleti hátterének tárgyalásánál feltételeztük, hogy

  1. a kiválasztott j indexre a (2.11) θ-teszt pozitív értéket eredményez, azaz

  2. A bázisból kivezetendő változó (vagy másképpen a generáló sor) indexét egyedi módon sikerült azonosítani, azaz

  3. Minden iterációs lépésben a célfüggvény értéke szigorúan növekszik.

Ha az aktuális LBM nem degenerált, akkor az 1. számú feltételezés azt jelenti, hogy a bázisba kerülő xj változó értékül kap egy szigorúan pozitív θ-t, és ennek köszönhetően az új bázismegoldás sem lesz degenerált. Ebben az esetben, ha az xj változóhoz tartozó Δj redukált költség szigorúan negatív értékű, akkor a (2.12) képletnek megfelelően a P(x) célfüggvény értéke szigorúan növekszik és azért teljesül a 3. számú feltételezésünk.

Ha így alakul az összes iterációs lépes, nyilvánvaló, hogy véges számú iteráció után optimális megoldást kapunk. Szóval, ilyenkor a ciklizálás nem fordulhat elő.

Tegyük fel például, hogy a megoldandó LP feladatban szerepel 10 darab változó és 5 feltétel. Továbbá, tegyük fel, hogy a feladat összes lehetséges bázismegoldása nem degenerált. Az ilyen feladat legfeljebb

darab bázismegoldással rendelkezik. Mivel az összes lehetséges bázismegoldás nem degenerált, és emiatt a szimplex módszer nem ciklizál, ezért legfeljebb 252 iterációs lépés végrehajtása után megkapjuk az optimális megoldást.

A 2. számú feltételezésünk biztosítja a degeneráció elkerülését. Tegyük fel, hogy

Ebből következik, hogy az xj új bázisváltozó az új bázisban vagy az xs1 vagy az xs2 változó helyét foglalja el. Ilyenkor, ha xs1 (vagy xs2) változó kerül ki a bázisból és xs2 (vagy xs1) változó marad a bázisban, akkor az xs2 (vagy xs1) bázisváltózó új értéke nulla lesz. Szóval ilyenkor az új bázismegoldás degenerálódik.

1977-ben R.G.Bland [Bland '77] kifejlesztett a lineáris programozási feladatokra egy olyan szabályt, amely a rendezett indexű változók használatával biztosítja a ciklizálás elkerülését.

Bland szabály (Legkisebb index szabály)

  • Ha több mint egy nembázis változó vezethető be a bázisba, akkor válasszuk a legkisebb indexűt.

  • Ha több mint egy változó kerülhet ki a bázisból, akkor válasszuk a legkisebb indexűt.

Ezenkívül, R.G.Bland megfogalmazta és bizonyította [Bland '77] a következő állítást.

  1. Tétel. A fenti szabály alkalmazása esetén a szimplex módszer nem ciklizálhat és ezért véget ér véges számú iterációs lépes után.

Kiválasztó szabályok

A nem optimális szimplex táblában történő Δj-k vizsgálata során előfordulhat, hogy a redukált költségek között van több negatív értékű. Ilyenkor felmerül a kérdés, hogy melyik nembázis vektort kell bevezetni a bázisba. Továbbá, ha sikerült kiválasztani egy ilyen vektort, akkor a θ-teszt során előfordulhat, hogy a bázisban több olyan pozíció van, ahova be lehet vezetni a kiválasztott nembázis vektort. Ilyenkor felmerül még egy kérdés, hogy melyik bázisvektort kell kivezetni a bázisból? Ezekre a kérdésekre azért kell választ adnunk, mert ettől függ egyrészt a módszer hatékonysága, másrészt az eljárás számítógépes implementálása.

Ebben a szekcióban olyan szabályokkal foglalkozunk, amelyek éppen az ilyen kérdésekre adnak választ.

Bevezető szabályok

Legmeredekebb növekedés

Az adott szabály szerint a bázisba az a nembázis változó kerül, amelyhez a legnagyobb abszolut értékű negatív Δj tartozik. Más szavakkal, ha

, ahol JN-={j : j ∈ JN; Δj(x) < 0 }, akkor az xj0 változó kerül a bázisba.

Legnagyobb növekedés

Az adott szabály szerint az a változó kerül a bázisba, amelyiknek a bázisba való bevezetése a célfüggvény értékének legnagyobb növekedéséhez vezet. A (2.12) képletnek megfelelően ez azt jelenti, hogy minden iterációs lépésnél meg kell határozni azt a j0 indexet, amelynél

és xj0 változót bevezetni a bázisba.

  1. Megjegyzés. Az adott szabály átlagosan több időt és számolást igényel egy iterációs lépes alatt, de gyakran kevesebb számú iterációs lépést eredményez.

Lexikografikus szabály

Ezek a szabályok feltételezik, hogy a szimplex módszer indítása előtt a feladatban szereplő változók valamely kritérium szerint rendezve vannak. Ez a rendezési szabály tetszőleges lehet, de ha egyszer kiválasztottuk az egyik rendezési szabályt, akkor ez fix marad a szimplex módszer befejezéséig. Az adott szabályok szerint a bázisba bevezethető változók közül az a változó kerül a bázisba, amelyik a rendezési sorrend szerint legbaloldalibb, vagy legjobboldalibb. Például, ha rendezési szabályként a növekvőleg legbaloldalibb (legjobboldalibb) j indexet választottuk, akkor az az xj0 változó kerül a bázisba, amely számára teljesül a

feltétel.

  1. Megjegyzés. Ha a megoldandó LP feladat több optimális megoldással rendelkezik, a fenti szabályok általában más-más optimális megoldáshoz vezetnek.

A fenti szabályok hatékonyságának összehasonlítására 1963-ban H.W. Kuhn és R.E.Quandt végeztek számítógépes kísérleteket. Ennek során véletlenszám generátorral előállított LP feladatok sorozatán hajtották végre mindhárom eljárást és összehasonlították az iterációs lépések számát, valamint a futási időket. A kapott eredmények azt mutatták, hogy a legmeredekebb növekedés szabály alkalmazása átlagosan alacsonyabb iterációszámhoz vezet és ebben az esetben a futási idők átlaga is kisebb.

Kivezető szabályok

A szimplex módszer végrehajtása során előfordulhat, hogy a bázisba bevezetendő változó meghatározása után az ún. θ-teszt (lásd. (2.11) képlet) nem csupán egy olyan változó indexet eredményez, amelyet ki kell vezetni a bázisból. Ilyenkor a következő szabályokat alkalmazhatjuk.

Legfelső sor

Ennek a szabálynak megfelelően azt a sort választjuk a szimplex táblában, amely a legfelső pozíciót foglalja el.

Lexikografikus szabály

A lexikografikus szabályok használata esetén a szimplex módszer indítása előtt meg kell határoznunk egy rendezési szabályt, amelynek megfelelően kell majd kiválasztanunk a bázist elhagyó változókat. A rendezési szabályokról szóló részletes leírásokat a következő forrásokban megtalálhatjuk: [Hoffman, Mannos '53], [Kuhn, Quandt '63], [Liebling '77], [Orden '76], [Terlaky, Zhang '93], [Wolfe, Cutler '63].

Gyakorlat

Minta

A szimplex iteráció végrehajtása során előfordulható (3.b.1.) eset illusztrálásához tekintsük a következő nem optimális szimplex táblát:

A1

A2

A3

A4

A5

B

PB

xB

5

3

2

8

6

P(x) = 5200

0

0

-35

-25

0

A1

5

500

1

0

0

2

0

A2

3

250

0

1

-3

1

0

A5

6

325

0

0

-4

-5

1

Ebben a szimplex táblában JN- = {3, 4}, azaz az új bázisba be lehet vezetni az A3 vagy az A4 vektort. Az A3 vektor esetén θ érték felülről nem korlátos, mivel az A3 vektor oszlopában nincsenek pozitív értékű elemek (x13 = 0, x23 = -3, x33 = -4). Viszont, ha A4 vektor kerül a bázisba, akkor a θ = min{500/2, 250/1} értéke véges és az A4 vektor bekerülhet a bázisba vagy az A1 vagy az A2 vektor helyére. Attól függetlenül, mi lett az A4 vektorral kapcsolatos elemzés eredménye, az adott feladat nem megoldható, mert a célfüggvény felülről nem korlátos.

Gyakorló feladatok

Adott az alábbi nem optimális szimplex tábla:

A1

A2

A3

A4

A5

B

PB

xB

5

3

2

8

6

P(x) = 5200

0

0

-17

-25

0

A1

5

500

1

0

0

2

0

A2

3

250

0

1

3

1

0

A5

6

325

0

0

-4

-5

1

Ezen a táblán hajtson végre szimplex iterációt előbb az A3, majd az A4 vektor bázisba való bevezetésével. Az utóbbi esetben tekintsen két külön esetet : A4 vektor az A1 helyére kerül és A4 vektor az A2 helyére kerül! Hasonlítsa össze a kapott eredményeket!

Ellenőrző kérdések

  1. Egy szimplex táblában az összes Δj negatív értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  2. Egy szimplex táblában az összes nembázis indexű Δj negatív értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  3. Egy szimplex táblában az összes nembázis indexű Δj nulla értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  4. Egy szimplex táblában az összes nembázis indexű és nembázis indexű Δj nulla értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  5. Egy optimális szimplex táblában az összes bázis indexű és nembázis indexű Δj nulla értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  6. Egy szimplex táblában egy nembázis indexű, negatív értékű Δj-vel rendelkező oszlopban csak egy xij elem szigorúan pozitív. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  7. Egy szimplex táblában egy nembázis indexű, negatív értékű Δj-vel rendelkező oszlopban van két szigorúan pozitív xij elem. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  8. Egy maximalizálási feladathoz tartozó szimplex táblában az összes nembázis indexű Δj pozitív értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  9. Egy maximalizálási feladathoz tartozó szimplex táblában az összes nembázis indexű Δj negatív értékű lett. Mit jelent ez? Mi a teendő?

  10. Egy maximalizálási feladathoz tartozó optimális szimplex táblában az egyik nembázis indexű Δj nulla értékű lett, de a hozzá tartozó oszlopban az összes xij elem vagy nulla vagy negatív. Mit jelent ez? Mi a teendő?

5. fejezet - Dualitás

A matematikai programozás elmélete szerint tetszőleges, folytonos (azaz csak folytonos változókat tartalmazó) optimalizálási feladat számára konstruálható egy ún. duális feladat. Az eredeti (vagy primál) és a duális feladat közötti kapcsolatból eredő tulajdonságokat, állításokat, összefüggéseket számos elméleti és alkalmazási területeken használják fel. A dualitási kapcsolat megjelenik számos különböző matematikai, fizikai, gazdasági, statisztikai problémában és alkalmazásokban. Ez a kapcsolat különösen hasznos szerepet játszik olyan lineáris és hiperbolikus programozási feladatokban, amelyekben elemezni kell a feladat optimális megoldását és választ adni a "Mi lenne, ha ...?" jellegű kérdésekre.

Könyvünk ezen fejezetében fogjuk tanulmányozni a dualitási elv legfontosabb eredményeit a lineáris programozásban.

A duális feladat fogalma

Egy tetszőleges lineáris programozási feladathoz hozzárendelhető egy másik lineáris programozási feladat, az illető feladat duálisa. Ez a hozzárendelés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. a duális feladatban is ugyanazon paraméterek szerepelnek, mint az induló feladat standard alakjában,

  2. a duális feladat duálisa megegyezik az induló feladattal.

Tekintsük az alábbi LP feladatot, amelyet primál feladatnak nevezünk.

5.1. egyenlet -


5.2. egyenlet -


5.3. egyenlet -


5.4. egyenlet -


Az (5.1)-(5.4) feladathoz tartozó duális feladaton a következő lineáris programozási feladatot értjük:

5.5. egyenlet -


5.6. egyenlet -


5.7. egyenlet -


5.8. egyenlet -


Ha a primál feladatban a P(x) célfüggvény maximumát (minimumát) keressük, akkor a duális feladatban a φ(y) célfüggvény minimumát (maximumát) keressük. A duális feladatban az yi változók száma megegyezik a primál feladat (5.2)-(5.3) feltételeinek számával. Az (5.6)-(5.7) feltételek száma pedig egyenlő a primál feladat xj változóinak számával. A p = (p1, p2, ..., pn) és b = (b1, b2, ..., bm) vektorok helyet cserélnek. Az A = ||aij||m×n mátrix helyett AT a duális feladat együtthatómátrixa. Relációkról: Ha a primál feladatban az xj változóhoz tartozik nemnegativitási megszorítás, akkor a megfelelő j indexű feltétel a duális feladatban "" relációjú, egyébként szigorú egyenlőség, azaz "=". Ha a primál feladat i-dik feltétele "" relációjú, akkor a megfelelő yi duális változó nemnegatív értékű, szigorú egyenlőség esetén a megfelelő yi duális változó nemnegativitási feltétellel nem rendelkezik.

A duális feladat előállítási szabályainak illusztrálásához tekintsük a következő numerikus példát:

5.9. egyenlet -


5.10. egyenlet -


5.11. egyenlet -


5.12. egyenlet -


5.13. egyenlet -


Először szorozzuk meg az (5.11) feltétel mindkét oldalát -1-gyel és írjuk át a feladatot a következő formában:

Mivel a primál feladatban 3 feltétel és 2 változó szerepel, ez azt jelenti, hogy a megfelelő duális feladatban 3 változó és 2 feltétel lesz:

5.14. egyenlet -


5.15. egyenlet -


5.16. egyenlet -


5.17. egyenlet -


Soroljuk fel a duális feladat előállításakor használt szabályokat:

  1. (5.14) - duális feladatban a célfüggvényt minimalizálni kell, mert a primál feladatban a maximalizálás a cél;

  2. (5.15) - az adott feltétel együtthatói a primál feladatban az x1 változóhoz tartozó oszlopvektor transzponáltja. Mivel az x1 változó nemnegatív értékű, ezért az adott feltétel "" relációjú;

  3. (5.16) - az adott feltétel együtthatói a primál feladatban az x2 változóhoz tartozó oszlopvektor transzponáltja. Mivel az x2 változó nem rendelkezik nemnegativitási korláttal, ezért az adott feltétel "=" relációjú;

  4. (5.17) - csak az y1 és y2 duális változók rendelkeznek nemnegativitási feltétellel, mert ezeknek a primál feladatban megfelel a "" reláció. Mivel az (5.12) feltétel "=" relációjú, ennek következtében az y3 változó felvehet negatív értékeket is.

Dualitási tételek

Fogalmazzuk meg ezek után a tekintett két feladat közötti kapcsolatot leíró állításokat.

  1. Lemma. Ha x = (x1, x2, ..., xn) vektor az (5.1)-(5.4) primál feladat lehetséges megoldása és y = (y1, y2, ..., ym) vektor az (5.5)-(5.8) duális feladat lehetséges megoldása, akkor P(x) ≤ φ(y).

  2. Lemma. Ha x* vektor az (5.1)-(5.4) primál feladat lehetséges megoldása, y* vektor az (5.5)-(5.8) duális feladat lehetséges megoldása és teljesül a

    5.18. egyenlet -


    egyenlőség, akkor x* és y* vektor a megfelelő feladatnak optimális megoldása.

  3. Lemma. Ha az (5.5)-(5.8) duális feladat φ(y) célfüggvénye az 5.10-5.13 által definiált Y lehetséges halmazon alulról nem korlátos, akkor az (5.1)-(5.4) primál feladat L lehetséges halmaza üres.

    Fordítva, ha az (5.5)-(5.8) duális feladat lehetséges halmaza üres, akkor az (5.1)-(5.4) primál feladat P(x) célfüggvénye felülről nem korlátos a saját L lehetséges halmazán.

Most következik a duálitás elméletének egyik legfontosabb állítása.

  1. Tétel. (A dualitás fő tétele.) Ha az (5.1)-(5.4) primál feladat és az (5.5)-(5.8) duális feladat közül valamelyiknek van optimális megoldása, akkor a másiknak is van, és bármelyik x* és y* optimális vektorokra teljesül a P(x*) = φ(y*) egyenlőség.

Soroljunk fel néhány állítást, amely következik az előbbi 5.1. tételből.

  1. Következmény. Ahhoz, hogy az (5.1)-(5.4) és (5.5)-(5.8) feladatok közül az egyik megoldható legyen, szükséges és elégséges, hogy mindkét feladat rendelkezzen legalább egy lehetséges megoldással.

  2. Következmény. Ahhoz, hogy az x* és y* lehetséges megoldások az (5.1)-(5.4) és (5.5)-(5.8) feladatok optimális megoldásai legyenek szükséges és elégséges, hogy teljesüljön a következő egyenlőség P(x*) = φ(y*).

Mielőtt áttérünk a dualitás második tételéhez vezessük be a következő definíciókat.

  1. Definíció. Az (5.2) és (5.8) feltételeket rögzített i = 1, 2, ..., m1 indexek mellett és az (5.4) és (5.6) feltételeket rögzített j = 1, 2, ..., nl indexek mellett duális feltétel-pároknak nevezzük.

  2. Definíció. Az (5.1)-(5.4) LP feladatban az (5.2) és (5.4) feltételeket megfelelő, rögzített i vagy j index mellett rögzített feltételnek nevezzük, ha az adott j. vagy i. feltétel bármelyik x* optimális megoldás mellett szigorú egyenlőségként teljesül.

  3. Definíció. Az (5.5)-(5.8) duális feladatban az (5.6) és (5.8) feltételeket megfelelő, rögzített i vagy j index mellett rögzített (kötött) feltételnek nevezzük, ha az adott j. vagy i. feltétel bármelyik y* optimális megoldás mellett szigorú egyenlőségként teljesül.

  4. Definíció. Az (5.1)-(5.4) LP feladatban az (5.2) és (5.4) feltételeket megfelelő, rögzített i vagy j index mellett szabad feltételnek nevezzük, ha az adott j. vagy i. feltétel legalább egy x* optimális megoldás mellett szigorú egyenlőtlenségként teljesül.

  5. Definíció. Az (5.5)-(5.8) duális feladatban az (5.6) és (5.8) feltételeket megfelelő, rögzített i vagy j index mellett szabad feltételnek nevezzük, ha az adott j. vagy i. feltétel legalább egy y* optimális megoldás mellett szigorú egyenlőtlenségként teljesül.

  1. Tétel. Ha a primál és duális feladatok megoldhatóak (van optimális megoldásuk), akkor a duális feltétel-párok bármelyikében az egyik feltétel rögzített, a másik pedig szabad.

Árnyékárak

Tekintsük a következő kanonikus alakú LP feladatot:

5.19. egyenlet -


5.20. egyenlet -


5.21. egyenlet -


Tegyük fel, hogy x* = (x1*, x2*, ..., xn*) vektor az (5.19)-(5.21) feladat optimális megoldása. Jelöljük LP(b)-vel az (5.19)-(5.21) feladatot és cseréljük az LP(b) feladatban a b = (b1, b2, ..., bm)T vektort egy másik b' = (b'1, b'2, ..., b'm)T vektorra. Az ilyen módon összeállított új LP feladatot LP(b')-vel fogjuk jelölni.

A fenti módon bevezetett két LP feladat közötti kapcsolatot a következő állítás írja le:

  1. Tétel. Tegyük fel, hogy az LP(b) feladat megoldható és x* vektor ennek a feladatnak nemdegenerált optimális megoldása. Ha

    |bi - b'i| < ε, i = 1, 2, ..., m,

    akkor az LP(b') feladat is megoldható és tetszőleges x' optimális megoldása mellett teljesül a következő egyenlőség

    5.22. egyenlet -


    ahol ε elegendően kicsi pozitív szám és az y* = (y0*, y1*, y2*, ..., ym*) vektor az LP(b) feladathoz tartozó duális feladat optimális megoldása.

Más szavakkal, ha a jobboldali vektorban változás történik, és ez a változás nem "túl nagy", akkor az yi duális változók használatával lehet kiszámolni a P(x) célfüggvény új optimális értékét (a megváltozott b vektor mellett).

Az 5.3. tétel alkalmazási fontosságának illusztrálásához tekintsük a következő egyszerűsített esetet. Tegyük fel, hogy b' = (b'1, b'2, ..., b'k, ..., b'm) = (b1, b2, ..., bk+1, ..., bm) és hogy ez a változtatás a megengedett tartományba esik.

Ilyenkor az (5.22) kifejezésből következik, hogy

5.23. egyenlet -


Ez utóbbi azt jelenti, hogy yk* numerikusan kifejezi a célfüggvény optimális értékében történő változást abban az esetben, amikor a megfelelő jobboldali bk elem egy egységgel változik.

Tegyük fel, hogy az (5.19)-(5.21) feladat egy gyártási folyamatot modellez, m korlátos erőforrás mellett, melyeknek készlete sorban b1, b2, ..., bm egység. P(x) célfüggvény legyen a gyár profitja. Továbbá, tegyük fel, hogy a feladatot megoldottuk és az x* optimális gyártási tervet és y* optimális duális megoldást kaptuk. Ilyenkor, ha a k. készlet növekszik egy egységgel, akkor az (5.23) képlet szerint a gyár profitja növekszik yk* egységgel. Nyilvánvaló, hogy ha a k. erőforrás fent megemlített kiegészítő egységének beszerzési ára yk* egységnél alacsonyabb, akkor érdemes a k. erőforrás készletét növelni. Viszont, ha ez az egységár nagyobb, mint yk*, akkor a profit változás negatív értékű. Tehát, yk* duális változó kifejezi a k. erőforrás kiegészítő egységének azt a maximális beszerzési árát, amely alatt a gyárnak megéri ezt a kiegészítő egységet bevonni a gyártásba. Éppen ezért yk* változókat "árnyékáraknak" szokták nevezni.

Gyakorlat

Minta

A fenti állítások illusztrálásához tekintsük a következő LP feladatot:

5.24. egyenlet -


5.25. egyenlet -


5.26. egyenlet -


Ennek a feladatnak megfelel a következő duális feladat:

Itt a következő feltételek alkotnak duális párokat:

5.27. egyenlet -


5.28. egyenlet -


5.29. egyenlet -


5.30. egyenlet -


Vegyünk észre, hogy a 6x1 + 4x2 = 48 feltétel nem rendelkezik párral, mert definíció szerint az "=" relációjú feltételhez nem tartozik nemnegativitási feltétel a duális feladatban, a megfelelő duális változónál!

A grafikus módszer használatával könnyen belátható, hogy ez a primál feladat megoldható és egyetlen egy optimális megoldással rendelkezik: x* = (5,6; 3,6) és P(x*) = 42,4. Mivel a primál feladat megoldható az 5.1. állítás szerint ilyenkor megoldható a másik, azaz a duális feladat is. A dualitás elmélet használatával könnyen előállíthatjuk a duális feladat megoldását. Elemezzük az (5.27)-(5.30) duális feltétel-párokat. Mivel az (5.28) duális párban a primál feltétel szabad, az 5.2. tétel szerint y2 tetszőleges optimális megoldásnál egyenlő nullával. Továbbá, az (5.29) és (5.30) feltétel-párban a primál feltétel szabad, ebből kifolyólag a megfelelő duális feltétel rögzített. Azaz a duális feladat megoldása a következő lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik:

y1 + 6y3 = 5

4y1 + 4y3 = 4

Így megkapjuk a duális feladat y* = (0,2; 0; 0,8) optimális megoldását.

Ezek után a fenti numerikus példában szereplő (5.24)-(5.26) feltételek használatával illusztráljuk a 5.3. tétel működését. Tegyük fel, hogy az (5.24) feltételben a jobboldali rész (b1 = 20) növekszik egy egységgel (b'1 = 21). Ilyenkor az 5.3. tétel szerint a célfüggvény optimális értéke a következő módon változik: P(x') = P(x*) + y1* = 42,4 + 0,2 = 42,6. Ha változás történik az (5.25) feltétel jobboldali részében, nyilvánvaló, hogy a célfüggvény optimális értéke nem változik, mivel b2 → b'2 esetén P(x') = P(x*) + y2* = 42,4 + 0 = 42,4. Valamint, az (5.26) feltételhez tartozó y3* = 0,8 optimális érték miatt, a b3 = 48 egy egységgel történő növekedése esetén (feltéve, hogy ez a változtatás a megengedett tartományba esik) az (5.23) képletnek megfelelően P(x') = P(x*) + y3* = 42,4 + 0,8 = 43,2.

Gyakorló feladatok

Adott az alábbi LP feladat:

Oldja meg ezt a feladatot, állítsa elő a duálisát és határozza meg a rögzített és szabad feltételeket! Határozza meg a duális feladat optimális megoldását is! A kapott duális megoldás alapján elemezze a primál feladat feltételrendszerében történő jobboldali értékek változását!

Ellenőrző kérdések

  1. Egy általános alakú LP feladatban az x1 változóhoz tartozik nemnegativitási feltétel. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a duális feladatban?

  2. Egy általános alakú LP feladatban az x1 változó alulról nem korlátos. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a duális feladatban?

  3. Egy általános alakú LP feladathoz előállított duális feladatban az y1 változó nemnegatív értékű. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a primál feladatban?

  4. Egy általános alakú LP feladathoz előállított duális feladatban az y1 változó alulról nem korlátos. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a primál feladatban?

  5. Egy LP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy mind a négy feltétel rögzített. Hány változó szerepel a duális feladatban?

  6. Egy LP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy a négy feltételből 1 feltétel rögzített és 3 feltétel szabad. Hány változó rögzített a duális feladatban? Hány változójú feladatra redukálódik a duális feladat?

  7. Egy LP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy a feladatnak egy optimális megoldása van, és mindhárom változó pozitív értékű az optimális megoldásnál. Hány feltétellel rendelkezik a duális feladat? Ezekből a feltételekből hány rögzített és hány szabad?

  8. Egy primál LP feladat megoldása szerint az x1 ≥ 0 feltétel rögzített. Milyen következményekhez vezethet ez a tény a duális feladat méretét illetően?

  9. Egy 3 nemnegatív változót tartalmazó LP feladat minden optimális megoldásánál x1* = 0, x2* = 0, x3* = 0. Milyen módon használható ez a tény a duális feladat méretének csökkentésére?

  10. Egy 3 nemnegatív változót tartalmazó LP feladat minden optimális megoldásánál x1* = 10, x2* = 3, x3* = 20. Milyen módon használható ez a tény a duális feladat méretének csökkentésére?

6. fejezet - Érzékenységi analízis

A gyakorlati alkalmazások szempontjából gyakran szükséges tudni, hogy a feladatban szereplő együtthatók változásának milyen hatása van a célfüggvény optimális értékére, vagy ilyenkor meddig marad az optimális megoldás optimális. Ebben a fejezetben az ún. érzékenység vizsgálattal foglalkozunk, azaz arra a kérdésre fogjuk keresni a választ, hogy milyen módon hat az együtthatók változtatása az optimális megoldásra.

Először egy numerikus példa segítségével illusztráljuk a jobboldali b vektorban történő változások hatását az optimális megoldásra. Tekintsük a következő numerikus példát:

6.1. egyenlet -


6.2. egyenlet -


Ennek a feladatnak optimális megoldása az

x* = (0,5), P(x*) = 40

vektor (A betűvel jelölt pont a 6.1. ábrán). Változtassuk meg a jobboldali b = (10, 25)T vektort úgy, hogy b1 = 10 maradjon változatlan és a b2 = 25 helyett pedig legyen b2' = b2 + δ = 25 + 5 = 30. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor a lehetséges halmaz változik (lásd. 6.2. ábra). A 6.2. ábrából látszik, hogy a jobboldali b vektorba bevezetett változások miatt a lehetséges halmaz megváltozott úgy, hogy az optimális bázis maradt ugyanaz, de az optimális megoldás elmozdult és áthelyeződött az H pontba. Így az új optimális megoldás az x' = (0, 6)T pont lett, amelyben P(x') = 48.

6.1. ábra. A (6.1)-(6.2) eredeti feladat lehetséges halmaza.

6.2. ábra. A megváltoztatott lehetséges halmaz.

Vegyük észre, hogy ebben a numerikus példában a jobboldali b vektor b2 elemébe bevezetett δ változásnak nincs hatása az optimális bázisra és ezért δ érték (és emiatt a b2 érték) tetszőlegesen nagy lehet. Tehát, a δ érték felső korlátja végtelen nagy. Azonban ha b2 csökken (azaz δ < 0), akkor az optimális bázis csak addig marad stabil, amíg b2 + δ ≥ 0, mivel a negatív értékű b2 mellett a feladat megoldhatatlanná válik az üres lehetséges halmaz miatt. Az utóbbi azt jelenti, hogy δ ≥ 0 - b2 = -25. Végül a következő stabilitási tartományt kapjuk:

-25 ≤ δ < ∞ vagy 0 ≤ b2 < ∞.

Hasonló módon kideríthetjük, hogy a b1 elem számára a stabilitási tartomány a következő:

-15 ≤ δ < ∞ vagy -5 ≤ b1 < ∞.

Ha változások történnek a P(x) célfüggvényben, akkor a helyzet komplikáltabbá válik, mivel az ilyen változások hatnak az nívóvonalra és emiatt olyan lényeges változásokat eredményezhetnek a feladatban, amelyek részletes vizsgálatokat igényelhetnek.

Tekintsük a következő kanonikus LP feladatot:

6.3. egyenlet -


6.4. egyenlet -


6.5. egyenlet -


Tegyük fel, hogy a (6.3)-(6.5) feladat megoldható és x* vektor ennek a feladatnak optimális bázismegoldása. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy x* = (x1*, x2*, ..., xm*, 0, ..., 0) és ennek a vektornak megfelel a B = (A1, A2, ..., Am) bázis, ahol Aj = (a1j, a2j, ..., amj)T, j = 1, 2, ..., n.

A jobboldal változása

Cseréljünk ki a jobboldali b vektor bμ elemét a b'μ = bμ + δ értékre, és vizsgáljuk meg az adott csere hatását a B optimális bázisra, az x* optimális megoldásra és a P(x) függvény optimális értékére.

Mivel az x* vektor lehetséges megoldása ennek a feladatnak, ezért az x* vektor mellett teljesülnek a (6.4) és (6.5) feltételek. Írjuk át a (6.4) rendszert a következő módon:

6.6. egyenlet -


vagy

6.7. egyenlet -


ahol B-1 = || eij ||m×m jelöli a B mátrix inverzét (emlékezve, hogy a B mátrix lineárisan független Aj, j = 1, 2, ..., m vektorokból áll, tehát B-1 létezik).

Továbbá, fejezzük ki az x* vektor elemeit a (6.7) rendszerből:

6.8. egyenlet -


és vezessük be a bμ → bμ + δ cserét a (6.8) képletbe:

6.9. egyenlet -


Így, az eredeti x* vektor helyett az új x' = (x'1, x'2, ..., x'm, 0, 0, ..., 0) vektort kaptuk, amellyel kapcsolatban a következő két kérdés merül fel:

  1. Mondhatjuk-e, hogy az x' vektor lehetséges megoldása az új feladatnak?

  2. Mondhatjuk-e, hogy az x' vektor optimális megoldása az új feladatnak?

Vizsgáljuk meg az első kérdést. A lehetséges megoldás definíciója szerint ahhoz, hogy x' vektor lehetséges megoldása legyen az új (6.3)-(6.5) feladatnak teljesülnie kell, hogy

6.10. egyenlet -


és

6.11. egyenlet -


Írjuk át a (6.10) kifejezést a (6.11) használatával a következő módon:

δe ≥ -xi*, i = 1, 2, ...,m.

Ebből kifolyólag

δ ≥ -xi*/e, azon i indexek számára, amelyek mellett e > 0,
δ ≤ -xi*/e, azon i indexek számára, amelyek mellett e < 0

vagy

6.12. egyenlet -


Nyilvánvaló, hogy ha δ értéke olyan, hogy teljesül a (6.12) feltétel, akkor teljesül a (6.10) feltétel is.

Ami a (6.11) feltételt illeti, az x' vektor definíció szerint teljesíti ezt a feltételt. Valójában, az x' vektor meghatározásakor a B bázismátrixot és a (6.6) képletet használtuk, ami biztosítja a (6.11) feltétel teljesülését.

Szóval, ha δ teljesíti a (6.12) feltételt, akkor x' vektor mellett teljesül a (6.10) és (6.11) feltétel, azaz az x' vektor lehetséges megoldása a módosított feladatnak.

Ezek után vizsgáljuk meg a második kérdést. A szimplex módszer elmélete szerint, x' lehetséges bázismegoldás akkor optimális, ha Δj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n. Jegyezzük meg, hogy a Δj értékek közvetlenül nem függnek a b és x' vektoroktól. Ezért a jobboldali b vektorban történő változások nem hatnak a Δj-kre. Viszont az x* vektor optimalitása miatt az összes Δj nemnegatív értékű. Ebből kifolyólag x' vektor optimális megoldása a módosított LP feladatnak.

Végül, számoljuk ki a célfüggvény új optimális értékét:

Összegzés: Ha a δ kielégíti a (6.12) feltételt, akkor a (6.9) képletből meghatározható az x' vektor optimális megoldása a módosított (azaz a bμ → b'μ = bμ + δ csere után kapott) LP feladatnak.

Változások a célfüggvényben

Tekintsük azt az esetet, amikor a P(x) célfüggvényben szereplő p = (p1, p2, ..., pn) vektor pμ eleme változik pμ → p'μ = pμ + δ módon.

Az előzőekhez hasonlóan feltételezzük, hogy az eredeti (6.3)-(6.5) feladat optimális megoldása az x* = (x1*, x2*, ..., xm*, 0, 0, ..., 0) vektor. Célunk az, hogy meghatározzuk a δ érték olyan alsó és felső határait, amelyek mellett a pμ → p'μ csere nem hat az optimális bázisra és az x* vektor marad az optimális megoldás.

Nyilvánvaló, hogy a pμ → p'μ csere nem változtatja meg az L lehetséges halmazt, ezért x* vektor lehetséges megoldása marad a módosított feladatnak. Azonban, a p vektorban történő változás megváltoztathatja a P(x) célfüggvény értékét és a Δj redukált költségeket. Éppen az utóbbi miatt a pμ → p'μ csere mellett előfordulhat, hogy az eredeti feladatban kapott x* optimális megoldás az új (azaz megváltoztatott) feladatban már nem lesz optimális. Szóval, most ki kell derítenünk, hogy a pμ → p'μ csere hogyan hat a Δj, j = 1, 2, ..., n értékekre. A következő két esetet különböztetjük meg attól függően, hogy a vizsgálandó pμ együttható bázisindexű-e vagy sem:

  1. μ ∈ JN = {m+1, m+2, ..., n}, azaz μ nembázis index

  2. μ ∈ JB = {1, 2, ..., m}, azaz μ bázisindex

  1. Eset (μ ∈ JN): Ebben az esetben, mivel μ nembázis index, ezért xμ* = 0 és P(x*) értéke nem változik. Továbbá, a nembázis indexű pμ együttható nem szerepel a bázisindexű Δj értékekben és ezért a pμ értékében történő változás nem befolyásolhatja a bázisindexű Δj értéket. Azonban, pμ együttható szerepel egyetlen egy nembázis indexű

    értékben és emiatt a pμ → p'μ csere esetén Δμ érték változik. Jelölje Δ̃μ a Δμ új értékét. Könnyen belátható, hogy

    Ebből következik, hogy a jelenlegi B bázis (és vele együtt x* lehetséges megoldás) mindaddig optimális, amíg a δ változás csak olyan mértékű, hogy fennáll az alábbi feltétel:

    6.13. egyenlet -


    Összegzés: Ha μ ∈ JN és δ kielégíti a (6.13) feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása, és a célfüggvény optimális értéke nem változik.

  2. Eset (μ ∈ JB): Ebben az esetben a pμ → p'μ csere megváltoztatja a P(x) függvény optimális értékét:

    Továbbá, tekintsük a Δj értékeket. Ami a bázisindexű j ∈ JB Δj-ket illeti, nyilvánvaló, hogy ezek nem változnak és ezért

    Δ̃j = Δj = 0, ∀ j ∈ JB.

    Azonban változnak a nembázis indexű Δj-k:

    Ez utóbbiból következik, hogy a jelenlegi B bázis (és vele együtt x* lehetséges megoldás) mindaddig optimális, amíg a δ változás csak olyan mértékű, hogy fennáll az alábbi feltétel:

    δxμj ≥ -Δj, ∀ j ∈ JN

    vagy másképpen:

    6.14. egyenlet -


    Összegzés: Ha μ ∈ JB és δ kielégíti a (6.14) feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása.

Gyakorlat

Minta

Tekintsük a következő LP feladatot

és hajtsunk végre ezen a feladaton az érzékenységi vizsgálatot! Ehhez elsősorban oldjuk meg a feladatot szimplex módszerrel. Az alábbi táblázat mutatja az optimális szimplex táblát:

A1

A2

A3

A4

B

PB

xB

5

3

2

8

P(x) = 15

2,75

0

0,75

0

A2

3

5

1,25

1

0,25

0

A4

0

25

1,75

0

-0,25

1

Először vizsgáljuk meg, hogy milyen változásokat lehet végezni a célfüggvényben az x1 mellett álló együtthatóval anélkül, hogy B = (A2, A4) optimális bázis és x* = (0, 5, 0, 25) optimális megoldás változzon. Vegyük észre, hogy az x1 változó nem szerepel az optimális bázisban, ezért a (6.13) képletnek megfelelően

δ ≤ Δ1 = 2,75.

Más szavakkal, a célfüggvényben az x1 mellett álló p1 = 1 együttható helyett állhat tetszőleges más p'1 = 1 + δ érték, ha δ ≤ 2,75.

Ezek után tekintsük az x2 változónál álló p2 = 3 célfüggvény együtthatót. Mivel az x2 változó a bázisban van, ezért a (6.14) képletnek megfelelően a szimplex táblából a következő feltételt kapjuk:

vagy

-2,2 ≤ δ ≤ ∞

Tehát, a p2 = 3 együttható helyett állhat tetszőleges más p'2 = 3 + δ együttható, ha δ ≥ -2,2.

Gyakorló feladatok

Adott az alábbi LP feladat:

Hajtson végre ezen a feladaton érzékenységi vizsgálatot és állítsa elő a stabilitási tartományokat!

Ellenőrző kérdések

Tekintsük ismét a fenti gyakorló LP feladatot!

  1. Hogyan változik a P(x) célfüggvény optimális értéke, ha az első feltételben a 120 egységes jobboldali korlát növekszik 5 egységgel?

  2. Hogyan változik a P(x) célfüggvény optimális értéke, ha a második feltételben a 150 egységes jobboldali korlát csökken 10 egységgel?

  3. Meddig lehet növelni az első feltételben a 120 egységes jobboldali korlátot anélkül, hogy az optimális bázis változzon?

  4. Meddig lehet növelni a második feltételben a 150 egységes jobboldali korlátot anélkül, hogy az optimális bázis változzon?

  5. Változik-e a célfüggvény optimális értéke, ha a P(x) függvényben az x1 változó mellett álló együttható növekszik 3 egységgel?

  6. Mi történik a célfüggvény optimális értékével, ha a P(x) függvényben az x1 változó mellett álló együttható csökken 5 egységgel?

  7. Változik-e a célfüggvény optimális értéke, ha a P(x) függvényben az x2 változó mellett álló együttható csökken 3 egységgel?

  8. Mi történik a célfüggvény optimális értékével, ha a P(x) függvényben az x2 változó mellett álló együttható csökken 5 egységgel?

  9. Változatlan maradna-e az optimális bázis, ha a célfüggvény p1 = 4 és p2 = 7 együtthatóit szorozzuk 6-tal?

  10. Változatlan maradna-e az optimális bázis, ha a jobboldali b1 = 120 és b2 = 150 elemeket szorozzuk 10-zel?

7. fejezet - Szállítási feladat

Jelen fejezetben egy speciális lineáris programozási feladatot, a szállítási feladatot vizsgáljuk és ismertetünk egy speciális megoldási eljárást.

A feladat fő alakjai

A szállítási feladat megfogalmazásában a következő adatok szerepelnek:

  1. m darab Ri-vel jelölt "feladóhely" ("raktár"), ahol azonos anyagféleségek (termékek) állnak rendelkezésre bi mennyiségekben ("készlet"), i = 1, 2, ..., m.

  2. n darab Bj-vel jelölt "felvevőhely" ("bolt"), ahol azonos anyagféleségre (termékre) van szükség adott aj mennyiségben ("kereslet"), j = 1, 2, ..., n.

  3. C = ||cij||m×n költség mátrix, amelynek a cij eleme az egységnyi anyagmennyiség szállítási költsége, ha a szóban forgó anyag egy egységének szállítása az i-edik raktárból a j-edik boltba történik. A szállítás nem engedélyezett a boltok között és a raktárak között sem.

Szállítsuk el a feladó helyeken lévő anyagot a kívánt mennyiségben a felvevő helyekre úgy, hogy a szállítással kapcsolatos költségek összege minimális legyen. Vezessünk be a következő ismeretlen változókat: xij - az i-edik raktárból a j-edik boltba szállítandó anyagmennyiség, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Az ilyen módon bevezetett jelölésekkel a probléma az alábbi LP feladattal írható le:

7.1. egyenlet -


7.2. egyenlet -


7.3. egyenlet -


7.4. egyenlet -


Feltételezzük, hogy

7.5. egyenlet -


és hogy az összes készlet legalább olyan nagy, mint az összes kereslet, azaz

7.6. egyenlet -


Az ilyen módon megfogalmazott feladat rendelkezik néhány fontos tulajdonsággal:

  • A feladat lehetséges halmaza nem üres, azaz L ≠ ∅.

  • A feladat lehetséges halmaza mindig korlátos.

  • Ebből következik, hogy a feladat mindig megoldható.

Legyen

7.7. egyenlet -


Az x'ij értékeket behelyettesítve a (7.2) és a (7.3) feltételekbe, a következőt kapjuk:

és

Ez pedig azt jelenti, hogy az x'ij értékek kielégítik a (7.2) és (7.3) feltételeket. A (7.5) és a (7.7) képletekből nyilvánvalóvá válik, hogy x'ij > 0, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Tehát x'ij értékek kielégítik minden feltételét a szállítási feladatnak. Ezzel megmutattuk, hogy a feladat lehetséges halmaza nem üres. Továbbá, a (7.2) és (7.4) feltételekből adódik, hogy 0 ≤ xij ≤ bi, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n . Ebből pedig következik, hogy L korlátos.

Végül mivel P(x) lineáris függvény, ezért korlátos a lehetséges megoldások halmazán, és ebből kifolyólag az adott szállítási feladat megoldható.

  1. Definíció. Ha összes készlet pontosan megegyezik az összes kereslettel, azaz

    7.8. egyenlet -


    akkor a feladatot kiegyensúlyozott feladatnak nevezzük. Egyébként, a feladatot nyitott vagy nem kiegyensúlyozott feladatnak szokták nevezni.

Ha a szállítási feladatban az összes készlet szigorúan kisebb az összes keresletnél, akkor elvileg a feladat nem megoldható, mert az ilyen feladat lehetséges halmaza üres. Azonban, ilyenkor ún. fiktív raktár bevezetésével a feladatot könnyen át lehet alakítani kiegyensúlyozott formába. Ezenkívül, a feladatban előfordulhat, hogy az összes készlet szigorúan nagyobb az összes keresletnél. Természetesen, az ilyen feladat megoldható, de az ilyen feladat kiegyensúlyozott formába való átalakításakor ún. fiktív boltot szoktunk használni. Meg kell jegyeznünk, hogy ezekre az átalakításokra akkor is szükség lesz, ha a fenti szállítási feladatot át kell alakítanunk kanonikus kiegyensúlyozott formába:

7.9. egyenlet -


7.10. egyenlet -


7.11. egyenlet -


7.12. egyenlet -


ahol bi > 0, aj > 0, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n és

.

Hurokszerkesztéses szimplex módszer

Tekintsük a (7.9)-(7.12) kiegyensúlyozott kanonikus szállítási feladatot. A (7.10)-(7.11) feltételeknek megfelel a következő mátrix:

ahol R-rel jelöltük a bi és az aj elemeket tartalmazó R = (b1, ..., bm, a1, ..., an)T vektort.

Jelölje Aij, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n az A (m + n sorból és m × n oszlopból álló) mátrix oszlopait. Nyilvánvaló, hogy az Aij oszlopvektor '1'-t tartalmaz az i-edik és az (m + j)-edik pozícióban. Minden más eleme egyenlő nullával. Az A|R mátrixra vonatkozóan érvényes a következő állítás.

  1. Tétel (Redundancia). A (7.10)-(7.11) feltételrendszerben van egyetlen egy redundáns feltétel. Ha az adott feltételrendszerből eltávolítunk egy tetszőleges feltételt, akkor a többi lineárisan független rendszert alkot, amelynek rangja m + n -1.

Az állítás bizonyítása megtalálható a K.G.Murty [Murty '83] könyvében.

  1. Definíció. Tetszőleges m + n - 1 darab Aij vektorból álló (lineárisan független) B rendszert bázisnak fogunk nevezni.

Válasszunk az A mátrixból egy m + n - 1 darab Aij vektorból álló B bázist. Jelöljünk JB-vel a kiválasztott vektorok (ij) indexpárjait. Ha J-vel jelöljük az összes lehetséges (ij) indexpárt, akkor a JN = J \ JB indexhalmaz jelöli azoknak az Aij vektoroknak az indexpárjait, amelyek nincsenek a B bázisban.

  1. Definíció. Azt mondjuk, hogy x = (xij) mátrixváltozó a (7.9)-(7.12) feladat bázismegoldása, ha x kielégíti a

    és xij = 0, ∀(ij) ∈ JN feltételeket.

Szokásos módon az xij változót bázisváltozónak fogjuk nevezni, ha (ij) ∈ JB.

  1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az x bázismegoldás degenerált, ha legalább egy báziseleme egyenlő nullával, azaz ha ∃ (ij) : (ij) ∈ JB, hogy xij = 0. Egyébként az x bázismegoldást nemdegeneráltnak nevezzük.

  2. Definíció. Azt mondjuk, hogy az x = (xij) bázismegoldás lehetséges bázismegoldása a (7.9)-(7.12) feladatnak, ha minden xij, (ij) ∈ JB eleme nemnegatív.

Ezek után ismerjük meg a szállítási feladat megoldására kifejlesztett ún. hurokszerkesztéses szimplex módszer elnevezésű speciális eljárást, amely tulajdonképpen a szimplex módszer egy hatékony, testre szabott változata.

Vezessük be a következő speciális változókat: minden feladóhelyhez rendeljünk hozzá egy-egy ui változót és hasonló módon minden felvevőhelyhez rendeljünk hozzá egy-egy vj változót, i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Az ui és vj változók meghatározásához oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

7.13. egyenlet -


Majd vezessük be a következő értékeket: Δij = cij - (ui + vj), i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Az adott jelölések használatával, fogalmazzuk meg a következő optimálitási kritériumot:

  1. Tétel (Optimalitási kritérium). A (7.9)-(7.12) kanonikus kiegyensúlyozott szállítási feladat x = (xij) lehetséges bázismegoldása optimális, ha teljesülnek a

    7.14. egyenlet -


    feltételek.

A feladathoz tartozó adatok kezelésére használhatjuk az alábbi megfelelő felépítésű szállítási szimplex táblázatot (lásd. 7.1. ábra).

7.1. táblázat - Szállítási szimplex táblázat

 

Felvevő 1

Felvevő 2

...

Felvevő n

Készlet

Feladó 1

c11

c12

...

c1n

b1

Feladó 2

c21

c22

...

c2n

b2

Feladó m

cm1

cm2

...

cmn

bm

Kereslet

a1

a2

...

an

 


  1. Definíció. Huroknak nevezzük az (ij) rendezett indexpárokat tartalmazó indexhalmazt, amelyben van legalább négy elem és ezek az indexelemek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal:

    1. Tetszőleges, két egymást követő indexpárnak a szimplex táblában megfelel egy azonos oszlop, vagy egy azonos sor.

    2. Minden sorban és minden oszlopban legfeljebb kettő hurokhoz tartozó indexpár van.

    3. A hurok utolsó indexpárja vagy sorban vagy oszlopban megegyezik a hurok első indexpárjával.

Azok a hurkok, amelyeket majd használni fogunk, rendelkeznek még egy speciális tulajdonsággal: A hurok első eleme, mondjuk (rk), legyen nembázis, azaz (rk) ∈ JN. Az összes többi eleme legyen bázisindexű. Ilyen hurkok esetén az (rk) indexű cellát a hurkot generáló cellának fogjuk nevezni.

7.2. táblázat - Szállítási feladat - Vannak hurkok

 

1

2

3

4

  

1

2

3

4

5

1

   

1

  

 

2

 

 

 

2

   

3

     

3

     

4

  

 4

 

  


7.3. táblázat - Szállítási feladat - Nincsenek hurkok

 

1

2

3

4

5

  

1

2

3

1

 

 

 

1

 

2

   

 

2

   

3

      

3

   
       4

 


A 7.2. táblázatban ábrázolt példák a következő két hurkot tartalmazzák:

(1,1) → (1,2) → (2,2) → (2,4) → (4,4) → (4,1) → (1,1)

és

(1,3) → (1,5) → (2,5) → (2,1) → (4,1) → (4,3) → (1,3)

A 7.3. táblázatban feltüntetett példák nem tartalmaznak hurkokat. A baloldali példában a legfelső sor kettőnél több cellát tartalmaz, a jobboldali példában pedig a feltüntetett útvonal nem alkot hurkot azért, mert a tábla második és harmadik oszlopa csak egy-egy cellát tartalmaz.

Tegyük fel, hogy B egy lehetséges bázist jelöl és x jelöli az ennek a bázisnak megfelelő lehetséges bázismegoldást. Vizsgáljuk meg az x vektor optimalitását. Ehhez elsősorban állítsuk össze a (7.13) rendszert, majd oldjuk meg azt az ui és vj értékek meghatározásához. Jegyezzük meg, hogy a (7.13) rendszer mindösszesen m + n - 1 egyenletet tartalmaz, az ismeretlen változók száma pedig m + n. Mivel (7.13) rendszernek több megoldása van, ezért rögzitsünk egy változót tetszőleges módon, mondjuk u1 = 0 és ezzel az induló értékkel folytassuk a többi ui és vj változó meghatározását. Miután kiszámítottuk ezeket a változókat, állítsuk össze a Δij értékeket minden nembázisindexű cellára. Ilyenkor a következő két eset fordulhat elő:

  1. Minden nembázis Δij, (ij) ∈ JN nemnegatív. Mivel Δij = 0, (ij) ∈ JB, ez azt jelenti, hogy Δij ≥ 0, (ij) ∈ J.

  2. A nembázis indexű Δij értékek között van legalább egy negatív értékű, azaz

    JN- = {(ij) | (ij) ∈ JN, Δij < 0} ≠ ∅

Az 1. esetben az optimálitási kritériumnak (lásd. 7.2. tétel) megfelelően az aktuális x lehetséges bázismegoldás optimális. Eljutottunk az optimális megoldáshoz. Vége.

A 2. esetben a JN- indexhalmazból ki kell választanunk egy (rk) indexpárt és xrk változót bevezetni a bázisba a következő szabályok szerint:

  • Elsősorban, jelöljük meg az (rk) indexű cellát egy '+'-jellel és ebből a cellából kiindulva építsünk fel egy hurkot úgy, hogy közben jelöljük '-' és '+' jellel felváltva a hurokhoz tartozó cellákat. A hurok elkészítése után meghatározhatjuk a

    7.15. egyenlet -


    értéket, ahol JB- jelöli a báziscella indexek halmazát, amelyek '-' jellel szerepelnek a hurokban.

  • Az

    képlet használatával számoljuk ki az új bázishoz tartozó bázisváltozókat. Itt JB+ jelöli a báziscella indexek halmazát, amelyek a hurokban '+' jellel szerepelnek.

  • Minden nembázis változó értéke nulla marad.

  • A bázisba kerülő xrk változó új értéke xrk(θ) = θ.

  • xfq bázisváltozó kikerül a bázisból, így az új értéke xfq(θ) = 0.

Az x(θ) új lehetséges bázismegoldás előállítását követően újra (már az új bázisban) kiszámolhatjuk az ui és vj változókat és a Δij értékeket, amelyek segítségével megvizsgálhatjuk az aktuális lehetséges bázismegoldás optimálitását. Mivel a kanonikus kiegyensúlyozott szállítási feladat megoldható és az L lehetséges halmazhoz tartozó bázismegoldások (csúcspontok) száma véges, ezért a fenti eljárás véges számú ismétlése után eljutunk az optimális megoldáshoz.

Az adott alfejezet befejezése előtt meg kell jegyeznünk, hogy a hurokszerkesztéses szimplex módszer használata során kiderülhet, hogy a feladat aktuális lehetséges bázismegoldása degenerált. Tegyük fel, hogy a θ érték meghatározásakor kiderült, hogy a (7.15) képletben minimális érték több cellában elérhető, azaz

Ez utóbbi azt jelenti, hogy az új bázisban szereplő bázisváltozók között lesznek nulla értékűek, vagyis az új bázismegoldás degenerált.

Tegyük fel, hogy x lehetséges bázismegoldás degenerált. Ilyenkor előfordulhat, hogy az új hurokban egy vagy több nulla értékű bázisváltozó szerepel '-' jellel. Nyilvánvaló, hogy emiatt a θ értéke szintén nulla lesz. Ez utóbbi pedig azt jelenti, hogy a célfüggvény értéke ilyenkor nem változik. Az ilyen ciklizálás elkerülése érdekében használhatjuk ugyanazokat a speciális szabályokat, amelyekről már volt szó a 4.2. alfejezetben.

Induló lehetséges megoldás előállítása

A hurokszerkesztéses szimplex módszer leírásánál feltételeztük, hogy a feladat rendelkezik egy x lehetséges bázismegoldással. Előfordulhat, hogy a feladattal együtt adott egy induló lehetséges bázis és hozzá a lehetséges bázismegoldás. Ebben az esetben nincs akadálya a hurokszerkesztéses szimplex módszer "elindításának". Leggyakrabban azonban nem ismeretes a megoldandó feladatnak egyetlen lehetséges bázismegoldása sem. Ebben az alfejezetben bemutatunk néhány speciális módszert, amelyek segítségével meg lehet határozni egy lehetséges bázismegoldást.

Északnyugati sarok módszer

Az adott eljárás nem használja a megoldandó feladathoz tartozó C = ||cij||m × n költség mátrixot. A módszer szabályai szerint a szimplex tábla bal felső ("északnyugati") cellájából kell indulnunk, itt ki kell választanunk az x11 bázisváltozó értékét az x11 = min { b1, a1} képlet alapján.

Ha x11 = b1, akkor át kell húznunk (vagy lehet × jellel is jelölni) a tábla legfelső sorát ezzel jelölve azt, hogy az első raktár készlete elfogyott és x12 = x13 = ... = x1n = 0. Ezután írjuk át az első bolt a1 igényét az a1 - b1 értékre, ezzel jelölve, hogy az első bolt az a1 egységnyi igényéből b1 egységet már kielégítettünk az x11 = b1 szállítással.

Ha x11 = a1, akkor át kell húznunk (vagy lehet × jellel is jelölni) a tábla baloldali legszélső oszlopát, ezzel jelölve azt, hogy az első bolt igényét teljesen kielégítettük és x21 = x31 = ... = xm1 = 0. Ezután írjuk át az első raktár b1 készletét a b1 - a1 értékre ezzel jelölve azt, hogy az első raktár b1 egységnyi készletéből a1 egységet már kiszállítottunk az x11 = a1 szállítással.

Ha x11 = b1 = a1 akkor tetszés szerint át kell húznunk vagy az első sort vagy az első oszlopot, nem elfelejtve megfelelő módon megváltoztatni a b1 és a1 értéket.

Ha x11 változóval végeztünk, akkor a fenti eljárást alkalmazzuk a szimplex táblázat nem áthúzott részének bal felső cellájára. Az ehhez a cellához tartozó xij változó lesz a következő bázisváltozó.

Ezt az eljárást addig kell ismételnünk, amíg el nem érjük a tábla jobb alsó celláját.

7.4. táblázat - Északnyugati sarok módszer - Eredeti és 1. tábla

 

1

2

3

4

   

1

2

3

4

 

1

    

200

 

1

120

   

80

2

    

100

 

2

    

100

3

    

100

 

3

    

100

4

    

100

 

4

    

100

 

120

150

180

50

   

×

150

180

50

 


7.5. táblázat - Északnyugati sarok módszer - 2. és 3. tábla

 

1

2

3

4

   

1

2

3

4

 

1

120

80

  

×

 

1

120

80

  

×

2

    

100

 

2

 

70

  

30

3

    

100

 

3

    

100

4

    

100

 

4

    

100

 

×

70

180

50

   

×

×

180

50

 


7.6. táblázat - Északnyugati sarok módszer - 4. és 5. tábla

 

1

2

3

4

   

1

2

3

4

 

1

120

80

  

×

 

1

120

80

  

×

2

 

70

30

 

×

 

2

 

70

30

 

×

3

    

100

 

3

  

100

 

×

4

    

100

 

4

    

100

 

×

×

150

50

   

×

×

50

50

 


7.7. táblázat - Északnyugati sarok módszer - 6. és 7. tábla

 

1

2

3

4

   

1

2

3

4

 

1

120

80

  

×

 

1

120

80

  

×

2

 

70

30

 

×

 

2

 

70

30

 

×

3

  

100

 

×

 

3

  

100

 

×

4

  

50

 

50

 

4

  

50

50

×

 

×

×

×

50

   

×

×

×

×

 


Az eljárás illusztrálásához tekintsük a 7.4. baloldali táblázatban feltüntetett numerikus példát. Mivel a módszer szabályai szerint C mátrix nem vesz részt a számolásokban ezért ebben a példában nem használjuk a C mátrixot. Kezdjünk azzal, hogy válasszuk ki az x11 változó értékét: x11 = min { b1, a1 } = min { 200, 120 } = 120. Majd húzzuk át az első oszlopot és változtassuk meg a b1 és a1 értékeket (7.4. táblázat, 2. tábla):

b1 → b1 - a1 = 200 - 120 = 80, és a1 → 0

Most következik az első oszlop áthúzása után megmaradt át nem húzott táblarész északnyugati sarkában található x12 változó. Válasszuk az értékét: x12 = min { b1, a2 } = min { 80, 150 } = 80-nak. Majd húzzuk át az első sort és változtassuk a b1 és a2 értékeket (7.5. táblázat, 3. tábla): a2 → a2 - b1 = 150 - 80 = 70 és b1 → 0. Folytassuk ezt a folyamatot amíg meg nem kapjuk a 7.7. táblázatban feltüntetett végső 7. táblát. Így a következő lehetséges megoldást kapjuk:

x11 = 120, x12 = 80, x22 = 70, x23 = 30, x33 = 100, x34 = 50, x44 = 50

a JB = { (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (4,3), (4,4) } bázisindex halmazzal. Jegyezzük meg, hogy az adott lehetséges megoldás pontosan m + n -1 = 4 + 4 - 1 = 7 nemmnegatív változóból áll, és ezért az adott megoldás nem csak lehetséges, de még bázismegoldás is.

Ezenkívül, figyelembe kell vennünk azt is, hogy a módszer nem használja a célfüggvényben szereplő cij együtthatókat, ezért gyakran olyan induló lehetséges bázismegoldást eredményez, amely viszonylag messze van az optimális megoldástól.

A következő módszerekben már van módunk a célfüggvény hasznosítására.

Minimális költség módszer

A módszer azzal kezdődik, hogy a C = ||cij||m×n mátrixból ki kell választani a legkisebb értékű (legolcsóbb szállítási költségű) elemet: ci1j1 = min { cij } és a táblázat (i1, j1) cellájába be kell vezetni a lehető legnagyobb szállítást, azaz: xi1j1 = min { bi1, aj1 }. Ugyanúgy mint az északnyugati sarok módszer esetén, át kell húznunk vagy az i1-edik sort vagy a j1-edik oszlopot attól függően, hogy a bi1 és az aj1 közül melyik kisebb. Majd az eljárást ismételnünk kell a táblázat át nem húzott részében addig, amíg egy egycellás át nem húzott táblázatot nem kapunk.

Vogel módszer

Ugyanúgy mint az előző módszer esetén, a Vogel módszer alkalmazása során is fontos szerepet játszik a C mátrix. Mivel a módszer vagy sorokhoz vagy oszlopokhoz alkalmazható, ezért beszélhetünk a módszer három változatáról (oszlopos, soros vagy felváltva vegyes). Írjuk le a módszer lényegét a táblázat oszlopainak használatával.

A módszer lényege az, hogy a táblázat minden oszlopához hozzá kell rendelni az ún. "büntetéseket". A j-edik oszlophoz (j = 1, 2, ..., n) tartozó tj büntetés egyenlő az adott oszlop két legkisebb elemének abszolút különbségével, azaz ha t'j és t''j jelöli a j-edik oszlop két legkisebb elemét, akkor a tj = | t'j - t''j| . A kiszámolt tj, j = 1, 2, ..., n büntetésekből ki kell választani a legnagyobbat, majd a hozzá tartozó oszlopban ki kell választani a legkisebb költségű cellát. Az ilyen módon meghatározott cellába be kell vezetni a lehető legnagyobb szállítást. Itt lesz az első bázisváltozó. Majd ugyanúgy mint az előző módszerek esetén, változtassuk a megfelelő készletet, keresletet és húzzuk át a megfelelő oszlopot vagy sort. Az adott eljárást addig kell ismételnünk, amíg a táblázatban nem marad egyetlenegy át nem húzott sor vagy oszlop sem.

Az adott alfejezet befejezése előtt meg kell jegyeznünk, hogy a három leírt eljárás közül a Vogel módszer a legköltségesebb munka- és időigény szempontjából, de gyakran igen jó közelítést ad az optimális megoldásra.

Gyakorlat

Minta

Illusztráljuk a Vogel módszer működését a 7.8. táblázatban feltüntetett numerikus példán. Elsősorban, minden oszlophoz rendeljük hozzá a büntetést (7.8. táblázat). Például, az első oszlopban a két legkisebb elem c21 = 3 és c41 = 4, ezért t1 = 1. Így kapjuk a következő büntetéseket: t1 = 1, t2 = 1, t3 = 2, t4 = 2. Majd válasszuk ki a legnagyobb büntetést, pl. t4, és ennek megfelelően a 4-edik oszlopban válasszuk a legkisebb ci4 elemet, azaz c14 = 1. Ezután az ilyen módon meghatározott (1,4) cellába vezessük be a lehető legnagyobb szállítást, azaz x14 = min { b1, a4 } = min { 200, 50 } = 50. Végül változtassuk meg a megfelelő módon az a4 keresletet és a b1 készletet: b1 → b1 - a4 = 200 - 50 = 150, és a4 → 0. Az eredményeket írjuk be a 7.9. táblázatba. Az adott eljárást ismételve a végén a 7.10. táblázatot kapjuk.

7.8. táblázat - Vogel módszer - 1. tábla

 

1

2

3

4

 

1

8

6

6

1

200

2

3

4

6

8

100

3

7

3

8

9

100

4

4

12

4

3

100

 

120

150

180

50

 
 

4 - 3 = 1

4 - 3 = 1

6 - 4 = 2

3 - 1 = 2

 


7.9. táblázat - Vogel módszer - 2. tábla

 

1

2

3

4

 

1

8

6

6

50

 

200

 

1

2

3

4

6

8

100

3

7

3

8

9

100

4

4

12

4

3

100

 

120

150

180

×

 
 

4 - 3 = 1

4 - 3 = 1

6 - 4 = 2

-

 


7.10. táblázat - Vogel módszer - Végső tábla

 

1

2

3

4

 

1

20

 

50

 

80

 

50

 

×

 

8

 

6

 

6

 

1

2

100

 

4

6

8

×

 

3

3

7

100

 

8

9

×

 

3

4

4

12

100 

3

×

 

4

 

×

×

×

×

 


A kapott lehetséges bázismegoldás:

x11 = 20, x12 = 50, x13 = 80, x14 = 50, x21 = 100, x32 = 100, x43 = 100

Gyakorló feladatok

A 7.8. táblázatban adott szállítási feladat számára állítson elő induló lehetséges bázismegoldást északnyugati sarok módszerrel, majd minimális költség módszerrel! Hasonlítsa össze a kapott eredményeket az összkötlség alapján!

Ellenőrző kérdések

  1. Adott egy 5×6-os szállítási feladat. Hány ui és vj változóra lesz szükség a hurokszerkesztéses szimplex módszerben ennél a feladatnál?

  2. Mit jelent a "fiktív raktár" és a "fiktív bolt". Mikor/mire kell azokat használni?

  3. Egy szállítási feladatnál alkalmaztuk a Vogel módszert és a következő oszlop-büntetéseket kaptuk: t1 = 120, t2 = 100, t3 = 200. Melyik oszlopban kell új bázisváltozót bevezetni?

  4. Egy szállítási feladatnál alkalmaztuk a Vogel módszert és a következő sor-büntetéseket kaptuk: t1 = 120, t2 = 100, t3 = 200. Melyik sorban kell új bázisváltozót bevezetni?

  5. Mikor mondjuk, hogy a szállítási feladathoz tartozó lehetséges bázismegoldás degenerált?

  6. Az északnyugati sarok módszer alkalmazása során azt kaptuk, hogy a táblázat egyik sorában három bázisváltozó szerepel. Lehetséges-e ez?

  7. A hurokszerkesztéses szimplex módszer alkalmazása során azt kaptuk, hogy a táblázat egyik sorában három bázisváltozó szerepel. Lehetséges-e ez?

  8. A hurokszerkesztéses szimplex módszer alkalmazása során azt kaptuk, hogy az egyik hurokban három bázisváltozó szerepel. Lehetséges-e ez?

  9. A hurokszerkesztéses szimplex módszer alkalmazása során olyan táblázatot kaptunk, ahol az összes ui változó pozitív értékű. Mit jelent ez, és mi a teendő?

  10. A hurokszerkesztéses szimplex módszer alkalmazása során olyan táblázatot kaptunk, ahol az összes vj változó negatív értékű. Mit jelent ez és mi a teendő?

8. fejezet - Szállítási feladat speciális esetei

Az előző fejezetben tekintett szállítási feladatot főleg magyar nyelvű szakirodalomban klasszikus szállítási feladatnak is szokták nevezni. A szállítási feladatnak számos általánosítása és speciális esete létezik. Ezek között néhány feladat nagyon fontos szerepet játszik a gazdasági problémák modellezésekor. A jelen fejezetben két ilyen feladatot érintünk, az egyik az ún. összetett szállítási feladat (vagy kétlépéses szállítási feladat), a másik pedig a hozzárendelési feladat.

Összetett szállítási feladat

Összetett szállítási feladatnak nevezzük azt az esetet, ha a szállítási feladatban a felvevő és feladó helyeken kívül még úgynevezett átszállítási pontok is vannak a feladatban. Ha ezeknek nincs sem önálló kínálata, sem önálló kereslete, akkor ezek a pontok a termelők és fogyasztók között elhelyezkedő transzfer (vagy készletező) raktáraknak felelnek meg.

Tekintsük a következő egyszerűsített összetett szállítási feladatot.

Adott m darab Ti-vel jelölt "termelőhely", ahol homogén terméket állítanak elő t1, t2, ..., tm mennyiségben. Majd ezt a terméket k darab Rμ-vel jelölt "raktárba" szállítják, ahonnan az n darab Fj-vel jelölt "felvevőhely"-hez kerül(het). A feladat abban áll, hogy ezt a terméket el kell szállítani a termelőhelyekről a raktárakon keresztül a felvevőhelyekre úgy, hogy a szállítással kapcsolatos költségek összege minimális legyen.

Vezessük be a következő jelöléseket:

bi - az i-edik termelőhelyen lévő termék mennyisége, készlet, i = 1, 2, ..., m.
pμ - a μ-edik raktár átbocsátóképessége, kapacitás, μ = 1, 2, ..., k.
aj - a j-edik felvevőhely igénye, kereslet, j = 1, 2, ..., n.
c' - az i-edik termelőhelyről a μ-edik raktárra való szállítás fajlagos költsége.
c''μj - a μ-edik raktárból a j-edik felvevőhelyre való szállítás fajlagos költsége.
x - a termék ismeretlen szállítandó mennyisége i-edik termelőhelyről μ-edik raktárba.
yμj - a termék ismeretlen szállítandó mennyisége μ-edik raktárból j-edik felvevőhelyre.

A bevezetett jelölésekkel a probléma az alábbi optimumszámítási modellel írható le:

8.1. egyenlet -


8.2. egyenlet -


8.3. egyenlet -


8.4. egyenlet -


8.5. egyenlet -


Az előző alfejezethez hasonlóan feltételezzük, hogy

8.6. egyenlet -


és az összes készlet legalább olyan nagy, mint az összes kereslet, azaz

Ezenkívül feltételezzük, hogy az összes átbocsátó képesség legalább olyan nagy, mint az összes kereslet, azaz Valójában, a (8.2) feltétel azt garantálja, hogy az i-edik termelőhelyről szállításra kerülő mennyiség ne haladja meg a termelőhely készletét. A (8.3) feltétel biztosítja, hogy a j-edik felvevőhely megkapja a szükséges termékmennyiséget. A (8.4) feltétel pedig biztosítja, hogy a μ-edik raktárba érkező termékmennyiség ne haladja meg a raktár átbocsátóképességét.

A fenti módon megfogalmazott összetett szállítási feladatra jellemző, hogy nincsenek megengedve a közvetlen szállítások a termelőhelyek és a felvevőhelyek között. Ezenkívül, itt sincsenek megengedve a szállítások sem a termelőhelyek között, sem a raktárak között, sem a felvevőhelyek között.

E feladat megoldására használhatjuk az előző fejezetben tárgyalt hurokszerkesztéses szimplex módszert a 8.1. táblázatban mutatott induló táblával, ahol M, az ún tiltótarifa (egy nagy pozitív szám), biztosítja a tiltott szakaszokon történő szállítások kizárását.

8.1. táblázat - Összetett szállítási tábla

 

R1

R2

...

Rk

F1

F2

...

Fn

 

T1

c'11

c'12

...

c'1k

M

M

...

M

b1

T2

c'21

c'22

...

c'2k

M

M

...

M

b2

 

 

Tm

c'm1

c'm2

...

c'mk

M

M

...

M

bm

R1

M

M

...

M

c''11

c''12

...

c''1n

p1

R2

M

M

...

M

c''21

c''22

...

c''2n

p2

 

 

Rk

M

M

...

M

c''k1

c''k2

...

c''kn

pk

 

p1

p2

...

pk

a1

a2

...

an

 


Hozzárendelési feladat és magyar módszer

Jelen alfejezetben egy speciális LP feladattal, a hozzárendelési feladattal fogunk megismerkedni. Ennek a feladatnak igen sok gyakorlati alkalmazása van, ezek közül az egyik legismertebb a következő probléma.

Modell (Munkák optimális kiosztása)

Adott n dolgozó és n munka. Az egyes dolgozók a munkákat különböző költségekkel tudják végrehajtani. Osszuk szét a dolgozók között az összes munkát úgy, hogy minden dolgozó pontosan egy munkát kapjon, és a munkavégzés összköltsége minimális legyen.

Vezessük be a következő jelöléseket. Jelölje cij az i-edik munka elvégzésének költségét, ha azt a j-edik dolgozó hajtja végre, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., n. Tetszőleges i, j indexpárra legyen xij ismeretlen változó, melynek értéke legyen 1, ha az i-edik munkát a j-edik dolgozó hajtja végre és legyen 0 értékű különben.

A bevezetett jelölésekkel a probléma a következő LP hozzárendelési feladattal írható le:

8.7. egyenlet -


Dolgozó-feltételek: minden dolgozóhoz pontosan egy munkát kell hozzárendelni :

8.8. egyenlet -


Munka-feltételek: minden munkához pontosan egy dolgozót kell hozzárendelni :

8.9. egyenlet -


Minden változó 0/1 értékű:

8.10. egyenlet -


Magyar módszer

Mielőtt rátérnénk a módszer leírására, vezessünk be a következő definíciót:

  1. Definíció. Az adott C mátrix 0 elemeinek egy rendszerét független 0-rendszernek nevezzük, ha a mátrix minden sora és minden oszlopa legfeljebb egy elemét tartalmazza a rendszernek. Az ilyen független 0-rendszer elemeit a továbbiakban 0*-gal fogjuk jelölni.

A magyar módszer a következő Előkészítő részből és az Iterációs részból áll.

Előkészítő rész

Ismert tény (Kuhn '55), hogy a (8.7)-(8.10) feladat optimális megoldása nem függ a C költségmártix elemeinek nagyságától, csupán elemeinek arányától. Ezért a C mátrix i-edik sorából rendre vonjuk ki az i-edik sor elemeinek a minimumát, i = 1, 2, ..., n. Az előálló mátrixot jelölje C'. A C' mátrix j-edik oszlopának elemeiből rendre vonjuk ki az illető oszlop elemeinek a minimumát, j = 1, 2, ..., n. Az előálló mátrixot jelölje C(0). Ezt a mátrixot redukált költségmátrixnak fogjuk nevezni. Vegyünk észre, hogy C(0) mátrix minden sorában és oszlopában legalább egy nullaelem van. Jelöljünk ki a C(0) mátrixban egy független 0-rendszert oszlopfolytonosan, azaz oszloponként haladva a tekintett oszlopból választható 0-k közül mindig a legkisebb sorindexűt vegyünk fel a független 0-rendszerbe. Ezek után legyen r értéke 0, és folytassuk az eljárást az iterációs eljárás résszel.

Iterációs rész (r-edik iteráció)

  1. lépés. Ha a C(r) mátrixban a kijelölt független 0-rendszer elemeinek száma n, akkor vége az eljárásnak. Ellenkező esetben kössük le C(r)-ben a 0*-okat tartalmazó oszlopokat, és folytassuk az eljárást a 2. lépéssel.

  2. lépés. Keressünk sorfolytonosan szabad 0-t. Ha nincs szabad 0, akkor az 5. lépés következik. Ha találunk szabad 0-t, akkor vizsgáljuk meg az illető 0 sorát. Ha ez a sor nem tartalmaz 0*-t, akkor a 4. lépés következik, ellenkező esetben a 3. lépessél folytatjuk az eljárást.

  3. lépés. A tekintett szabad 0-t lássuk el vesszővel, kössünk le a sorát, és szüntessük meg a sorában lévő 0* oszlopának lekötését, majd folytassuk az eljárást a 2. lépéssel.

  4. lépés. A tekintett szabad 0-t lássuk el vesszővel, és ebből a 0'-ből kiindulva, képezzünk láncot a következők szerint: minden láncbeli 0' után az oszlopában lévő 0*-gal folytatódik a lánc, és minden láncbeli 0* után a sorában lévő 0'-vel folytatódik a lánc, feltéve, hogy vannak ilyen elemek. Ellenkező esetben a láncképzés véget ér. Ezek után legyen C(r+1) a jelölések nélküli aktuális C(r) mátrix, és lássuk el "*"-gal a cijr+1 elemet, ha cijr = 0* és cijr nem szerepel a láncban, vagy cijr = 0' és cijr eleme a láncnak. Ezek után növeljük r értékét 1-gyel, és folytassuk az eljárást az 5. lépéssel.

  5. lépés. Képezzük a szabad elemek minimumát, majd azt a minimumot vonjuk ki az összes szabad elemből és adjuk hozzá a kétszer kötött (soruk és oszlopuk is le van kötve) elemekhez. Ezt követően az átalakított mátrixot tekintve az aktuális C(r) mátrixnak, folytassuk az eljárást az 1. lépéssel.

Nyilvánvaló, hogy a (8.7)-(8.10) feladat lehetséges halmaza nem üres és a célfüggvény alulról korlátos. Ebből kifolyólag véges számú iteráció végrehajtása után a magyar módszer véget ér az 1. lépésben.

A módszer működésének illusztrálására összeállított numerikus példa megtekinthető a 8.3. alfejezetben.

Mielőtt befejezzük a magyar módszer tárgyalását meg kell jegyeznünk, hogy előfordulnak olyan gyakorlati problémák, amelyek hozzárendelési feladathoz vezetnek, de bizonyos hozzárendelések nincsenek megengedve. Ilyenkor tiltott hozzárendelésekről beszélünk. Az ilyen tiltásos feladatok mindig visszavezethetők egy alkalmas hozzárendelési feladathoz a tiltótarifák bevezetésével.

Gyakorlat

Minta

Tekintsük az alábbi 5 × 5 méretű hozzárendelési feladatot:

Dolgozó-feltételek:

Munka-feltételek:

Előkészítő rész

A sorminimumok a következők: 2, 2, 3, 2, 1. Ezeket rendre kivonva a megfelelő sorokból, az alábbi C' mátrixhoz jutunk. A C' oszlopaira képezve a minimumokat, a következő értékeket kapjuk: 0, 0, 1, 0, 0. Rendre kivonva ezeket a megfelelő oszlopokból, az alábbi C(0) mátrixot kapjuk:

Most jelöljünk ki a C(0) mátrixban egy független 0-rendszert oszlopfolytonosan. Az első oszlop első 0 eleme a c(0)31. Vegyük fel ezt az elemet a független 0-rendszerbe, azaz lássuk el '*'-gal, majd térjünk át a második oszlop 0 elemeinek a vizsgálatára. Ebben az oszlopban az első 0 elem a c(0)22. Ennek a sora nem tartalmaz 0* elemet, így bővíthetjük vele a rendszert, és áttérünk a harmadik oszlopra. Itt az első 0 elem a c(0)13, amellyel szintén bővíthető a független 0-rendszer. A negyedik oszlop első 0 eleme a c(0)14, amelynek a sora tartalmaz 0*-t, így ezzel nem bővíthető a rendszer. A negyedik oszlop második 0 eleme a c(0)44, amivel ismét bővíthető a független 0-rendszer. Végül az utolsó oszlop első 0 eleme a c(0)35. A harmadik sor már tartalmaz 0*-t, így ezzel az elemmel nem bővíthetünk. Mivel az utolsó oszlop több 0 elemet nem tartalmaz, ezért a független 0-rendszer kijelölését, és egyben az eljárás előkészítő részét is befejeztük. A kijelölt független 0-rendszer a következő:

Térjünk rá ezek után az iterációs rész végrehajtására. Mivel a független 0-rendszer elemeinek száma 4, ezért kössünk le minden olyan oszlopot, amely 0*-t tartalmaz.

Sorfolytonosan szabad (azaz le nem kötött oszlopokban lévő) 0-t keresve, a c(0)35 az első szabad 0. A harmadik sor már tartalmaz 0*-t, így a 3. lépés szerint c(0)35-t ellátjuk vesszővel, a harmadik sort lekötjük, majd a sorban lévő 0* oszlopát (első oszlop) feloldjuk. A kapott mátrix a következő:

Ezt követően a 2. lépéssel, sorfolytonos 0 kereséssel folytatjuk az eljárást. Most a c041 az első szabad 0. A negyedik sor tartalmaz 0*-t, ezért a 3. lépés alapján c(0)41-t ellátjuk vesszővel, a negyedik sort lekötjük, és a negyedik oszlopot feloldjuk:

Ismét rátérve a 2. lépésre, a c(0)14 az első szabad 0. Az első sor már tartalmaz 0*-t, ezért c(0)14-t vesszővel látjuk el, az első sort lekötjük, és a harmadik oszlopot feloldjuk:

Újra a 2. lépéssel folytatva az eljárást, azt kapjuk, hogy nincs több szabad 0. Ekkor az 5. lépés következik. Abból a célból, hogy az 5. lépés végrehajtását megkönnyítsük, fedjük le a kötött sorokat és oszlopokat. Így pontosan a le nem fedett elemek lesznek a szabad elemek. Ezek minimuma 1. Ezt a minimumot kivonva a szabad elemekből és hozzáadva a kétszer fedett elemekhez, a következő mátrixhoz jutunk:

Most ismét a 2. lépéssel kell folytatnunk az eljárást. Sorfolytonosan a c(0)21 az első szabad 0. Mivel a c(0)21 sora tartalmaz 0*-t, ezért c(0)21-t ellátjuk vesszővel, a sorát lekötjük, a második oszlopot feloldjuk:

Újra szabad 0-t keresve, a c(0)51 lesz az első szabad 0. Mivel a c(0)51 sora nem tartalmaz 0*-t, ezért a 4. lépéssel folytatódik az eljárás. c(0)51-t ellátjuk vesszővel, és ez lesz a lánc kezdő eleme. A lánc következő eleme az első oszlopban lévő 0*, azaz a c(0)31. Ezt az elemet a láncban a harmadik sorban elhelyezkedő 0', azaz a c(0)35 követi. Továbbá, mivel az ötödik oszlop nem tartalmaz 0*-t, ezért a c(0)35 elemmel a lánc véget ér. Ezek után törölve a jelöléseket, és '*'-gal ellátva a láncon kívüli 0*-oknak megfelelő elemeket (azaz c(0)13, c(0)22, c(0)44), valamint '*'-gal ellátva a láncbeli 0'-knek megfelelő elemeket (azaz c(0)35, c(0)51), az alábbi C(1) mátrixot kapjuk:

Mivel C(1)-ben egy 5-elemű független 0-rendszer van kijelölve, ezért az eljárás véget ér. Az előzőek alapján tudjuk, hogy ebben az esetben egy optimális megoldás az alábbi x* mátrix:

Gyakorló feladatok

Határozzuk meg az alábbi mátrixokban az összes lehetséges független 0-rendszert!

Ellenőrző kérdések

  1. Adott egy (4 termelőhely × 3 raktár × 5 felvevőhely) méretű összetett kanonikus kiegyensúlyozott szállítási feladat. Milyen méretű hurokszerkesztéses szimplex módszer táblázat tartozik ehhez a feladathoz?

  2. Adott egy (5 termelőhely × 6 raktár × 3 felvevőhely) méretű összetett kanonikus kiegyensúlyozott szállítási feladat. Hány ui és vj változóra lesz szükség a hurokszerkesztéses szimplex módszerben ennél a feladatnál?

  3. Adott egy (3 termelőhely × 8 raktár × 4 felvevőhely) méretű összetett kanonikus kiegyensúlyozott szállítási feladat. Hány bázisváltozó szerepel a feladathoz tartozó induló szimplex táblában?

  4. Az előző kérdésben szereplő feladathoz északnyugati sarok módszerrel állítottunk össze egy induló lehetséges bázismegoldást. Szerepelhetnek-e bázisváltozók az összetett szimplex táblázat jobb felső sarkában? Szerepelhetnek-e bázisváltozók az összetett szimplex táblázat bal alsó sarkában?

  5. Az első kérdésben szereplő feladatban mikor mondjuk, hogy a szállítási feladathoz tartozó lehetséges bázismegoldás degenerált?

  6. Adott egy (4 munka × 4 dolgozó) méretű hozzárendelési feladat. Összesen hány lehetséges hozzárendelésről lehet szó?

  7. Adott egy (5 munka × 5 dolgozó) méretű hozzárendelési feladat. A magyar módszer előkészítő részében előállított redukált költségmátrixban hány nulla elem lehet? Mi ennek a számnak az alsó és a felső határa?

  8. Az előző kérdésben szereplő hozzárendelési feladathoz a magyar módszer r-edik iterációjában kaptunk 3 kötött oszlopot és 1 kötött sort. Mit jelent ez és mi a teendő?

  9. A 6. kérdésben szereplő hozzárendelési feladathoz a magyar módszer r-edik iterációjában kaptunk 4 darab 0* elemből álló független 0-rendszert. Mit jelent ez és mi a teendő?

  10. A 7. kérdésben szereplő hozzárendelési feladathoz a magyar módszer előkészítő részében kaptunk 4 darab 0* elemből álló független 0-rendszert. Mit jelent ez és mi a teendő?

9. fejezet - Egészértékű programozás

Az előző fejezetekben tárgyalt LP feladatoknál megengedtük, hogy a változók bármilyen valós értéket felvegyenek (kivéve a hozzárendelési feladatoknál). Bár a gyakorlati LP feladatoknál gyakran kitűnik, hogy a folytonosság nem teljesül (pl. ha db-ról van szó). Ha a változók egy része csak egész értékeket vehet fel, akkor szokás egészértékű programozásról beszélni. Gyakran felmerülnek olyan LP feladatok, ahol egy vagy több változó csak néhány előre ismert értékből álló halmaz elemei közül veheti fel értékét. Ezek az elemek tetszőlegesek lehetnek, pl. {0,13; 3,0; 45,46; 75,0}. Az ilyen esetben diszkrét programozásról szoktunk beszélni. Ezenkívül, ha egy vagy több változó értékül csak a 0-t vagy az 1-t veheti fel, akkor az ilyen feladatot bináris vagy 0/1 programozási feladatnak nevezzük. Például, ha egy szóba jöhető beruházás megvalósul, akkor legyen a megfelelő változó 1, ha nem akkor 0.

A diszkrét értékű változókat tartalmazó feladatok az operációkutatáson belül egy külön szofisztikált területté szeparálódtak. Jelen fejezetben csak érintjük ezt a terjedelmes területet.

Diszkrét, egészértékű, 0/1 LP feladatok, átalakítás

Fogalmazzunk meg általános diszkrét, egészértékű és 0/1 LP feladatokat. Tekintsük a következő LP feladatot:

9.1. egyenlet -


9.2. egyenlet -


Ha a (9.1)-(9.2) feladathoz tartozik az

9.3. egyenlet -


megszorítás, akkor abban az esetben, ha n1 = n, azaz összes változó egészértékű, tiszta egészértékű programozási feladatról beszélünk, ellenkező esetben pedig a vegyes egészértékű programozási feladatról van szó. Az utóbbi esetben az elnevezést az indokolja, hogy feladatban az egészértékű változókon kívül szerepelnek folytonos változók is. Abban esetben, ha (9.1)-(9.2) feladathoz az xj = 0/1, j = 1, 2, ..., n1 megszorítás tartozik, azaz a feladatban egy vagy több változó 0/1 értékű, akkor vagy tiszta bináris programozási feladatról beszélünk, ha n1 = n, vagy ellenkező esetben, azaz ha n1 < n, azt mondjuk, hogy a feladat vegyes bináris programozási feladat.

Diszkrét programozási feladat esetén a (9.1)-(9.2) feladathoz egy vagy több xj ∈ { q1j, q2j, ..., qkj}, j = 1, 2, ..., n1 jellegű megszorítás tartozik, azaz a feladatban egy vagy több változó csak előre meghatározott értékekből álló halmaz elemeit veheti fel értékül.

Tegyük fel, hogy egy LP feladatban az x változó lehetséges értékei a q1, q2, ..., qk valós számok, azaz x változó diszkrét értékű változó. Alakítsuk át ezt a változót binárissá. Vezessük be a következő bináris segédváltozókat: y1, y2, ..., yk és helyettesítsük x változót az alábbi módon:

x = q1y1 + q2y2 + ... + qkyk

y1 + y2 + ... + yk = 1

yj = 0/1, j = 1, 2, ..., k

Korlátozás és szétválasztás módszere

Tekintsük (9.1)-(9.3) egészértékű LP feladatot feltételezve, hogy n1 = n.

  1. Definíció. Azt a folytonos LP feladatot, amelyet úgy kapunk, hogy nem vesszük figyelembe a (9.3) egészértékűségi feltételeket, a (9.1)-(9.3) feladat relaxációjának vagy relaxációs feladatnak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy a (9.1)-(9.3) egészértékű LP feladat L lehetséges halmaza részhalmaza a relaxációs feladat LR lehetséges halmazának. Ennek két fontos következménye van:

  1. Ha a (9.1)-(9.3) feladatnak van lehetséges megoldása, akkor a relaxációs feladat optimális célfüggvényértéke legalább akkora, mint az (9.1)-(9.3) optimális célfüggvényértéke.

  2. Ha a relaxációs feladat lehetséges halmaza üres, akkor a (9.1)-(9.3) sem megoldható.

Ezeket a következményeket fejlesszük tovább. Ehhez tekintsük a következő optimumszámítási feladatot:

Vezessünk be a következő új halmazt és a megfelelő új részfeladatot:

Általánosítva:

Ahol fi(x) tetszőleges, a lehetséges halmazon értelmezett függvény és bi tetszőleges konstans.

A korlátozás és szétválasztás módszer fő ötlete a következő állításon alapszik.

  1. Lemma. A (P1), (P2), ..., (Pk) részfeladatok és a megfelelő L1, L2, ..., Lk lehetséges halmazok között teljesül a következő összefüggés:

A módszer nevében a szétválasztás szó arra utal, hogy a megoldandó feladat lehetséges halmazát további feltételek hozzávételével részhalmazokra bontjuk, amelynek következtében részfeladatokat kapunk. A korlátozás azt jelenti, hogy a részfeladatok optimális célfüggvényértékére maximum feladat esetén felső, minimum feladat esetén alsó K korlátot határozunk meg. A K korlát induló értéke maximum feladat esetén - ∞, minimum feladat esetén + ∞.

Most tegyük fel, hogy az eredeti tiszta egészértékű LP feladat (P0) relaxációját megoldottuk és az x* optimális megoldást kaptuk. Ha az x* vektor összes eleme egészértékű, akkor vége, az x* vektor az eredeti egészértékű feladat optimális megoldása. Tegyük fel, hogy az x* vektor tartalmaz nem egészértékű elemeket. Ekkor kerül sor a módszer ún. szétválasztási részére. Ilyenkor a nem egészértékű elemekből valamely un. szétválasztási szabály szerint (például: legkisebb, legnagyobb vagy 0.5-höz legközelebb eső törtrésszel rendelkező) válasszuk mondjuk az x*r változót és készítsünk két folytonos részfeladatot:

ahol

Valamely un. stratégiai szabály (jobbról balra történő bejárás, balról jobbra történő bejárás, vagy a fejlettebb Depth-first vagy Best-bound stratégiák) alapján válasszuk ki a (Pbal) és (Pjobb) feladatok egyikét, és oldjuk meg ezt a feladatot. Ha a kiválasztott feladat nem megoldható (a lehetséges halmaza üres), akkor térjünk át a másik feladathoz. Tegyük fel, hogy a kiválasztott feladat megoldható és x' vektor a feladat optimális megoldása. Ekkor a következő két lehetséges eset fordulhat elő:

  1. x' vektor összes eleme egészértékű. Ilyenkor a feladatot lezárultnak nevezzük. Állítsunk elő új korlátot K = max { K, P(x') } és térjünk át a másik feladathoz.

  2. x' vektor elemei között vannak törtértékűek. Ekkor ha P(x') ≥ K, a feladatot aktívnak nevezzük, ellenkező esetben a feladatot lezárultnak nevezzük, majd térjünk át a másik feladathoz.

Ha vannak aktív feladatok, azokból valamely szabály alapján válasszunk egyet és hajtsuk végre a fenti műveleteket a kiválasztott feladattal. Ha nincsenek aktív feladatok, akkor a következő két eset fordulhat elő

  1. K = - ∞, ilyenkor az eredeti egészértékű LP feladat nem megoldható.

  2. K > - ∞, ekkor annak a részfeladatnak, amelynél K korlát a legnagyobb értéket kapta, az x' optimális megoldása az eredeti egészértékű feladat optimális megoldása.

Az algoritmus végrehajtása során egy bináris fastruktúrát alakítunk ki, amelynek minden csúcspontjához egy folytonos részfeladat tartozik.

Gomory módszer

A Gomory-féle metszési algoritmus azon alapul, hogy a relaxált feladatot addig bővítjük további olyan feltételekkel, amelyek nem vágnak le egészértékű lehetséges megoldást, amíg az aktuális relaxált feladat optimális megoldása egész lesz, és egyben az eredeti LP feladatnak is optimális megoldása lesz.

Jelölje {d} a d szám törtrészét, pl.: {3,8} = 0,8; {-3,8} = 0,2.

  1. Definíció. Ha adott az a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b egyenlet, akkor az {a1}x1 + {a2}x2 + ... + {an}xn ≥ {b} egyenlőtlenséget az illető egyenlet Gomory-féle metszetének nevezzük.

Például, a 6x1 + 3,5x2 - 7,3x3 = 3,56 egyenlet esetén a következő Gomory-féle metszetet kapjuk: 0x1 + 0,5x2 + 0,7x3 ≥ 0,56 vagy másképpen: 0,5x2 + 0,7x3 ≥ 0,56.

Tekintsük a (9.1)-(9.3) tiszta egészértékű LP feladatot (itt feltételezzük, hogy n1 = n) és írjuk le az eljárás menetét.

Gomory-féle metszési eljárás.

Előkészítő rész. Állítsunk elő a (9.1)-(9.3) feladat relaxációját és oldjuk meg azt a szimplex módszerrel. Ha a relaxációs feladat x' optimális megoldásának minden eleme egészértékű, az eljárás véget ér. Az x' vektor optimális megoldása a (9.1)-(9.3) feladatnak. Ellenkező esetben legyen r = 1 és térjünk rá az iterációs eljárás részre.

Iterációs rész. Az optimális szimplex táblázatban válasszuk ki az első olyan sort, amelyben a bázisváltozó nem egész (mondjuk xk) és állítsunk elő az ennek a sornak megfelelő

egyenletet és a hozzá tartozó

Gomory-féle metszetet. Az utóbbi metszettel bővítsük a feladat feltételrendszerét és oldjuk meg a bővített feladatot. Ha a bővített feladat megoldható és x' optimális megoldásában minden eredeti változó egész, akkor az eljárás véget ér. Az x' vektor tartalmazza az eredeti egészértékű LP feladat optimális megoldását. Ellenkező esetben növeljük r értéket 1-gyel, és a bővített feladatot tekintve aktuális feladatnak, térjünk rá a következő iterációra. Előfordulhat, hogy a bővített feladat nem megoldható, mert a lehetséges halmaza üres. Ilyenkor az eredeti egészértékű feladat nem megoldható.

Gyakorlat

Minta

A Gomory módszer illusztrálásához tekintsük az alábbi tiszta egészértékű standard LP feladatot:

A feladat kanonizálása után az alábbi relaxációs feladatot kapjuk:

9.4. egyenlet -


Oldjuk meg az utóbbi relaxációs feladatot szimplex módszerrel és tekintsük az alábbi kapott optimális szimplex táblázatot:

x1 x2 x3 x4 u1 u2 u3
B PB xB  7432000
x1 76 1001/2-1/21/21/2
x2 42/3 010-1/2-1/67/6-5/6
x3 38/3 0011/2-1/61/61/6
P(x)=158/3 00017/35/32/3

Mivel az x2 eredeti változó nem egész, ezért válasszuk a táblázatban a 2. sort és állítsuk elő a hozzá tartozó feltételt x2-1/6u1 + 7/6u2 - 5/6u3 - 1/2x4 = 2/3. Ennek a feltételnek megfelel a következő Gomory-metszet:

9.5. egyenlet -


Ezek után fejezzük ki az u1, u2 és u3 változókat a (9.4) feltételrendszerből a következő módon:

u1 = 10 - 2x1 - x2 + x3

u2 = 12 - x1 - x2 - 2x3 - x4

u3 = 14 - x1 - 3x3 - 2x4

Majd helyettesítsük be a kapott kifejezéseket a (9.5) egyenlőtlenségbe. A megfelelő átalakítások után a következőt kapjuk: 12x1 + 6x2 ≤ 72 vagy kanonizálás után 12x1 + 6x2 + ξ1 = 72. Az utóbbi feltétellel bővítve a relaxációs feladat feltételrendszerét kapjuk a következő iterációhoz tartozó megoldandó feladatot:

P(x) = 7x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 → max

2x1 + x2 - x3 + u1 = 10

x1 + x2 + 2x3 + x4 + u2 = 12

x1 + 3x3 + 2x4 + u3 = 14

12x1 + 6x2 + ξ1 = 72

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, ui ≥ 0 i = 1, 2, 3, ξ ≥ 0

Az eljárás iterációs részét addig kell ismételnünk, amíg a megoldandó feladathoz tartozó optimális szimplex táblázatban az összes eredeti x1, x2, x3, x4 változó egész nem lesz.

Gyakorló feladatok

Oldjuk meg korlátozás és szétválasztás módszerrel, majd Gomory-módszerrel az alábbi LP feladatokat.

  1. P(x) = 2x1 + x2 → max

    x1 + x2 ≤ 15

    3x1 + 4x2 ≤ 60

    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 - egész

  2. P(x) = 3x1 + x2 → max

    -3x1 + x2 ≥ 6

    3x1 + 5x2 ≤ 15

    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 - egész

  3. P(x) = 5x1 - 3x2 → min

    x1 + 2x2 ≤ 4

    x1 + 3x2 ≥ 6

    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 - egész

  4. P(x) = 5x1 - 3x2 → max

    x1 + 2x2 ≥ 4

    x1 + 3x2 ≤ 6

    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 - egész

  5. P(x) = x1 + 3x2 → max

    3x1 + x2 ≥ 14

    x1 + 3x2 ≤ 27

    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1, x2 - egész

Ellenőrző kérdések

  1. Egy x változó a következő számokat veheti fel értékül: x ∈ {1,24; 4,05; 67,25}. Hány segédváltozó bevezetésével lehet elkerülni az x változó használatát a LP feladatban? Milyen megszorításokat kell bevezetni ilyenkor a feladatba?

  2. Egy 5 változós tiszta egészértékű LP maximumfeladathoz hozzá kell rendelni a relaxációs feladatot. Milyen méretű lesz ez a feladat?

  3. Egy vegyes egészértékű LP maximumfeladatnál a korlátozás és szétválasztás módszer indításánál azonnal azt kaptuk, hogy K = -∞. Mit jelent ez?

  4. Egy vegyes egészértékű LP maximumfeladatnál a korlátozás és szétválasztás módszer végrehajtásának végén kaptuk, hogy K = -∞. Mit jelent ez?

  5. Előfordulhat-e, hogy a relaxációs feladat megoldható, de az egészértékű LP feladat nem?

  6. Előfordulhat-e, hogy az egészértékű LP feladat megoldható, de a hozzátartozó relaxációs feladat nem?

  7. Egy tiszta egészértékű LP feladatnál a Gomory-módszer végrehajtása során olyan optimális szimplex táblát kaptunk, amelyben egy törtértékű bázisváltozó van. Mit jelent ez?

  8. Egy tiszta egészértékű LP feladatnál a Gomory-módszer végrehajtása során olyan optimális szimplex táblát kaptunk, amelyben nincsenek törtértékű bázisváltozók. Mit jelent ez?

  9. Egy tiszta egészértékű LP feladatnál a Gomory-módszer végrehajtása során olyan szimplex táblát kaptunk, amely szerint az aktuális bővített feladat nem megoldható. Mit jelent ez?

  10. Egy tiszta egészértékű LP maximumfeladatnál a Gomory-módszer végrehajtása során olyan optimális szimplex táblát kaptunk, amely szerint az aktuális bővített feladathoz tartozó optimális célfüggvényérték nagyobb, mint az eredeti relaxációs feladaté. Lehetséges-e ez és mit jelent?

10. fejezet - Bevezetés a hiperbolikus programozásba

Az optimumszámítási modellek osztályozásánál említettek alapján, ha lineáris feltételek mellett keressük egy nemlineáris célfüggvény minimumát vagy maximumát, akkor nemlineáris programozási feladatről beszélünk. A nemlineáris programozás feladatát ennél általánosabban is meg lehet fogalmazni, amikor is függvényegyenletek, és függvényekre vonatkozó egyenlőtlenségek képezik a feltételrendszert, és ilyen feltételek mellett keressük egy nemlineáris függvény minimumát vagy maximumát. Az egészértékű programozáshoz hasonlóan a nemlineáris programozás is egy önálló területet alkot az operációkutatáson belül. Számos kiváló könyv, monográfia jelent meg ebből a témakörből, melyek közül csak néhányat sorolunk fel. Ilyen munkák a [Avriel '03], [Bazara, Sherali, Shetty '93], [Bertsekas '99], [Dorn '62], [Krekó '79], [Luenberger, Ye '08], [Mangasarian '69], [Martos '75], [Minoux '86], [Nocedal, Wright '99], [Winston '91] könyvek.

A hátralévő néhány fejezetben olyan nemlineáris feladatokkal foglalkozunk, amelyekben a feltételrendszer lineáris. Ezen belül is csak egy problémát vizsgálunk, a hiperbolikus programozási feladatot, és olyan megoldási módszereket adunk meg, amelyek szorosan kapcsolódnak a lineáris programozáshoz. Általános nemlineáris programozás területét részletesen tárgyaljuk a második kötetben.

A jelen kötet hátralévő részében kerül sor a hiperbolikus programozási feladat vizsgálatára.

Hiperbolikus programozási feladat alatt olyan optimumszámítási feladatot értünk, amelyben a feltételek lineáris egyenlőség és egyenlőtlenség formájában adottak és ezen feltételek mellett keressük két lineáris függvény hányadosának a maximumát vagy minimumát. Az eddigiekhez hasonlóan, ha L jelöli a lehetséges megoldások halmazát és z(x) a célfüggvényt, akkor

az optimális megoldás szempontjából, vagy másképpen teljesül, így a maximum és minimum feladatok közül elegendő csak az egyik megoldására szorítkozni. Ezért a továbbiakban mindenütt csak maximalizálási feladattal foglalkozunk, mert a minimalizálási feladat esetén a maximalizálási feladathoz való visszatéréshez elég lesz megszorozni a célfüggvényt (-1)-gyel.

A hiperbolikus programozási feladatot Martos Béla [Martos '60] vezette be és kidolgozott egy, a szimplex algoritmuson alapuló eljárást a feladat megoldására.

A fejezet a következőképpen épül fel. Elsőként olyan speciális esetet vizsgálunk, amelyben a feltételekben csak két változó szerepel és minden feltétel egyenlőtlenség formájában van megadva. A lineáris programozásnál megismertek alapján ekkor a lehetséges megoldások L halmaza ábrázolható a 2-dimenziós térben. Az L halmaz ilyen explicit ismerete lehetővé teszi a hiperbolikus programozási feladat grafikus megoldását. Ezt követően egy A. Charnes és W. W. Cooper [Charnes, Cooper '62] által publikált általános megoldási eljárással fogunk megismerkedni, amely visszavezeti a hiperbolikus programozási feladat megoldását egy alkalmas (speciális alakú) lineáris programozási feladat megoldására. Ezek után megadunk egy eljárást, a Dinkelbach-módszert, amelyet W. Dinkelbach [Dinkelbach '62] vezetett be a hiperbolikus programozási feladat megoldására. Ezek a témakörök tárgyalása hasonlóan történik, mint a [Bajalinov '03] és [Bajalinov, Imreh '01] könyvekben.

A feladat alakjai és a grafikus módszer

Hiperbolikus gyártási feladat

A lineáris programozás alkalmazásai különösen a közgazdaságban közismertek. A hiperbolikus programozási alkalmazások pedig kevésbé köztudottak és nem annyira elterjedtek. A feladat linearitása nagyon megkönnyíti a kutató/felhasználó munkáját, de sajnos valódi alkalmazásokban nem minden összefüggés lineáris és ezért nem mindig alkalmazhatjuk a lineáris programozás eszközeit, illetve módszereit. A könyvünknek ebben a részében illusztráljuk, hogy hogyan jelenik meg a hiperbolikus programozási feladat különböző problémáknál.

Adott egy gyár, amely n fajta terméket gyárthat. Ezen termékek gyártásához szükséges erőforrások b1, b2, ..., bm mennyiségben állnak a gyár rendelkezésére. Ismerjük, hogy a j-dik (j = 1, 2, ..., n) termék egy egységének előállítása az i-edik (i = 1, 2, ..., m) erőforrás aij egységét veszi igénybe. Adott a j-edik termék egy egységével járó pj profit, illetve dj költség. A gyár más, az adott termékek gyártásával nem kapcsolatos tevékenységet is folytat, amelyből származik p0 profit, illetve d0 költség.

Ezek után a hiperbolikus programozási feladatot úgy fogalmazhatjuk meg, hogy meghatározandó egy olyan termék összetétel, amely a rendelkezésre álló erőforrásokból nem igényel többet, mint amennyi készleten van, és amely mellett az (összes profit per összes költség) fajlagos mutató maximális értékű. Jelöljük a j-edik termék gyártandó nemnegatív mennyiségét xj-vel. Az ennek megfelelő matematikai modell - feltételezve, hogy a felhasznált erőforrások, profit és költség közötti összefüggés az ismeretlen xj lineáris függvénye - a következő:

10.1. egyenlet -


ahol

és függvények meghatározzák a gyár profitját (P(x)) és összes költségét (D(x)).

HP feladatok alakjai

A hiperbolikus programozási feladat általános formája a következőképpen írható fel:

Adott a

10.2. egyenlet -


10.3. egyenlet -


feltételek által meghatározott L lehetséges halmaz, amelyen a 10.1 célfüggvényt kell maximalizálni (vagy minimalizálni).

E feladatban mindenütt feltételezzük, hogy D(x) ≠ 0, ∀ x ∈ L. Ha Q(x) célfüggvény D(x) nevezője az L lehetséges halmazon nem válik nullává, akkor feltételezhetjük, hogy

10.4. egyenlet -


Egyébként P(x)-t, illetve D(x)-t megszorozhatjuk (-1)-gyel. A továbbiakban mi csak olyan hiperbolikus programozási feladatokkal foglalkozunk, amelyek eleget tesznek a (10.4) feltételnek. Ezen kívül, mindenütt feltételezzük, hogy a (10.2) feltételrendszer feltételei lineárisan függetlenek és az A = ||aij||m × n mátrix rangja m (feltéve, hogy m ≤ n). A feladat lényege tehát az, hogy meg kell keresnünk az olyan értékű xj változókat, amelyek mellett teljesülnek a (10.2), (10.3) feltételek és Q(x) célfüggvény maximális (minimális) értéket vesz fel.

Ugyanúgy, mint a lineáris programozásban a (10.1)-(10.3) általános hiperbolikus programozási feladat átalakítható kanonikus alakba

illetve standard alakba

Nyilvánvaló, hogy a kanonikus alakú feladat az általános feladatnak egy speciális esete, amikor m1 = m2 = 0 és n1 = n. Ha viszont m1 = m és n1 = n, akkor a (10.1)-(10.3) általános feladatból standard alakú feladatot kapunk. A különböző alakok közötti átalakításokhoz használhatjuk ugyanazokat az eljárásokat, mint LP esetben (lásd. „A lineáris programozási feladat és alakjai” szekciót). Mivel a feladat mindhárom alakja kölcsönösen átalakítható egymásba, ezért a továbbiakban, az egyszerűség kedvéért, az általánosság megszorítása nélkül az általános feladat helyett kanonikus vagy standard alakú feladatot fogunk tekinteni.

Grafikus módszer

Tekintsük a következő kétváltozós HP feladat

geometriai interpretációját.

1 csúcspontos eset. Tegyük fel, hogy a feladatban szereplő feltételek által meghatározott lehetséges halmaznak megfelel az L poliéder a 10.1. ábrán.

10.2. ábra. Kétválozós HP feladat - 1 csúcspontos eset

Az x1Ox2 kétdimenziós síkon a Q(x) = K (ahol K tetszőleges állandó) nívóvonalnak a (p1 - Kd1)x1 + (p2 - Kd2)x2 + (p0 - Kd0) egyenletű egyenes felel meg (Q(x) = K egyenes a 10.1.ábrán). Ezek a nívóvonalak olyan egyenes-sokaságot alkotnak, amelyek metszik egymást az ún. fókuszpontban (F pont a 10.1. ábrán). Ennek az F pontnak a koordinátái a következő egyenletrendszerből adódnak:

10.5. egyenlet -


Más szavakkal ez azt jelenti, hogy az F pontban metszi egymást a P(x) = 0 és D(x) = 0 egyenes. Ha P(x) = 0 egyenes és D(x) = 0 egyenes nem párhuzamosak egymással, akkor a (10.5) egyenletrendszer determinánsa nem egyenlő nullával és az adott rendszer egyetlen egy megoldással rendelkezik. Ha P(x) = 0 és D(x) = 0 egyenesek párhuzamosak, akkor a (10.5) egyenletrendszer determinánsa egyenlő nullával, ezért az adott HP feladat Q(x) célfüggvényének értéke az L halmazon konstans és ezért maga a feladat értelmetlenné válik. Ilyenkor a nívóvonalak párhuzamosak egymással.

Térjünk vissza ahhoz az esethez, amikor a nívóvonalak nem párhuzamosak egymással. Ilyenkor a Q(x) = K nívóvonal k iránytényezője függ a Q(x) célfüggvény K értékétől és monoton, mivel

Ez utóbbi azt jelenti, hogy ha a nívóvonalat forgatjuk az F fókuszpont körül pozitív (óramutató járásával ellenkező) irányban, akkor a Q(x) célfüggvény vagy növekszik, vagy csökken a (d1p2 - d2p1) kifejezés előjelétől függően. Ez alapján már nyilvánvalóvá válik, hogy a 10.1. ábrán az az eset van ábrázolva, amikor a nívóvonal pozitív irányban történő forgatása mellett Q(x) növekszik. A nívóvonal forgatásakor a Q(x) = K egyenes két szélső pontban érinti az L lehetséges halmazt (x* és x** pont a 10.1. ábrán). Az x* pontban Q(x) célfüggvény maximális értéket és az x** pontban minimális értéket vesz fel.

2. csúcspontos eset Előfordulhat, hogy a nívóvonal "megfogja" (egybeesik) az L poliéder valamelyik élét (10.2. ábra).

10.2. ábra. Kétválozós HP feladat - 2 csúcspontos eset

Ilyenkor a feladatnak végtelen sok optimális megoldása van, de ezek között van két csúcspont (10.2. ábra), mivel egy korlátos, 2-dimenziós L politóp tetszőleges éle tartalmaz két csúcspontot.

Vegyes eset. Ha az L lehetséges halmaz nem korlátos, és a megfelelő korlátlan éle "egybeesik" a szélső nívóvonallal (10.3. ábra), akkor a feladat végtelen sok optimális megoldása között van egy csúcspont, végtelen sok nem-csúcspontos, véges optimális megoldás és egy végtelen megoldás.

10.3. ábra. Kétválozós HP feladat - Vegyes eset

Aszimptotikus eset. Tegyük fel, hogy az L lehetséges halmaz nem üres és korlátlan (10.4. ábra).

10.4. ábra. Kétválozós HP feladat - Vegyes eset

Előfordulhat, hogy a nívóvonal forgatásánál a szélső csúcspont (x* pont a 10.4. ábrán) után még tovább lehet forgatni a nívóvonalat (Q(x) = K egyenes a 10.4. ábrán). Ilyenkor a nívóvonal forgatását folytathatjuk addig, amíg a nívóvonal nem lesz párhuzamos a lehetséges halmaz megfelelő élével (e-vel jelölt él a 10.4. ábrán). Az adott esetben a feladat megoldásához ki kell számolnunk a Q(x) célfüggvény értékét az e élhez tartozó végtelen x pontban, azaz meg kell határoznunk a következő limesz értékét:

A limesz értékétől függően a Q(x) célfüggvény maximális (minimális) értéke lehet korlátos vagy korlátlan. Több dimenziós esetben a Q(x) függvény nívósíkjai a P(x) - K · D(x) = 0-féle hipersíkok kötegét alkotják. Ezek a hipersíkok "forognak" a megfelelő irányba, az n-2 dimenziós fókusz "tengely" körül, amelyen metszi egymást a P(x) = 0 és a D(x)=0 hipersík.

A fent leírt geometriai interpretáció használható a HP feladat grafikus megoldásához minden olyan esetben, amikor a feladat visszavezethető két független változóhoz (n - m = 2).

Charnes és Cooper transzformáció

Az 1962-ben megjelent cikkükben [Charnes, Cooper '62] A. Charnes és W.W. Cooper megmutatták, hogyan lehet tetszőleges hiperbolikus programozási feladatot korlátos L lehetséges halmazzal visszavezetni lineáris programozási feladathoz.

Tekintsük a (10.1)-(10.3) általános HP feladatot. Vezessük be a következő új változókat: tj = xj/D(x), j = 1, 2, ..., n, t0 = 1/D(x), ahol

10.6. egyenlet -


Az új változók segítségével az eredeti Q(x) célfüggvényt átírhatjuk a következő formába

10.7. egyenlet -


Mivel a feltételezésünk szerint D(x) > 0, ∀ x ∈ L, ezért a (10.2) feltételrendszert és a (10.3) nemnegativitási feltételeket megszorozhatjuk 1/D(x)-szel:

10.8. egyenlet -


10.9. egyenlet -


Az eredeti xj és az új tj változók közötti kapcsolat akkor lesz teljes, ha a (10.6) egyenlőséget megszorozzuk 1/D(x)-szel és ilyen módon kapott új feltételt hozzáadjuk az új feladathoz:

10.10. egyenlet -


Az ilyen módon kapott (10.7)-(10.10) feladatot a hiperbolikus programozási feladat lineáris analógjának szokták nevezni. Mivel az L lehetséges halmaz korlátos, D(x) lineáris és D(x) > 0, ∀ x ∈ L, ezért teljesül a következő:

  1. Lemma. Ha a t = (t0, t1, ..., tn) vektor a (10.7)-(10.10) feladat lehetséges megoldása, akkor t0 > 0.

Az A. Charnes és W.W. Cooper által bevezetett transzformáció "egy ↔ egy" típusú kapcsolatot hoz létre az eredeti (10.1)-(10.3) hiperbolikus programozási feladat és a (10.7)-(10.10) lineáris programozási feladat között:

  1. Tétel. Ha a t* = (t0*, t1*, ..., tn*) vektor a (10.7)-(10.10) lineáris analógnak optimális megoldása, akkor az x* = (x1*, x2*, ..., xn*) vektor az eredeti (10.1)-(10.3) hiperbolikus programozási feladat optimális megoldása, ahol xj* = tj* / t0*, j = 1, 2, ..., n.

Meg kell jegyeznünk, hogy korlátlan L lehetséges halmaz esetén előfordulhat, hogy a HP feladat lineáris analógjának optimális megoldásában t0* = 0. Ez azt jelenti, hogy az eredeti hiperbolikus programozási feladatban az optimum aszimptotikus jellegű és a feladat x* optimális megoldása végtelen nagy értékű xj komponenseket tartalmaz.

A 10.1 tételben megfogalmazott két feladat közötti kapcsolat elméleti szempontból nagyon hasznos, mert lehetővé teszi a jól ismert és kifejlesztett lineáris programozási apparátus alkalmazását az eredetileg hiperbolikus programozási feladat megoldására. A gyakorlatban azonban az adott megközelítés nem mindig használható. Nehézségek akkor keletkeznek, ha az eredeti hiperbolikus programozási feladat speciális struktúrájú (pl. szállítási feladat, hozzárendelési feladat, stb.) és emiatt megfelelő speciális módszereket kell alkalmaznunk. Világos, hogy ha az eredeti hiperbolikus programozási feladatban n változó és m feltétel szerepel, akkor a lineáris analógjában a változók száma n + 1, a feltételek száma pedig m + 1. Ez azt jelenti, hogy a feladat struktúrájának változása miatt ilyenkor a megfelelő speciális módszerek alkalmazása bonyolultabbá vagy teljesen lehetetlenné válik. Éppen ezért a Charnes-Cooper-féle transzformáció megléte ellenére a hiperbolikus programozási feladat tulajdonságainak "közvetlen" kutatása, illetve "direkt" megoldási módszereinek kidolgozása szükségesek és elkerülhetetlenek.

Dinkelbach módszer

Az egyik legáltalánosabb és leggyakrabban használt stratégia a tört alakú cél-függvényes optimalizálási feladatok megoldásakor (nem csak linearis P(x) és D(x) esetén) a W.Dinkelbach Dinkelbach '62 által bevezetett parametrikus módszer. HP feladat esetén a módszer lényege abban áll, hogy az eredeti megoldandó HP feladat megoldását visszavezeti a lineáris programozási feladatok sorozatának megoldásához.

Tekintsük a (10.1)-(10.3) általános HP feladatot és vezessük be a következő függvényt:

ahol L szokásos módon a (10.2), (10.3) feltételek által meghatározott lehetséges halmazt jelöli és λ egy paraméter.

A Dinkelbach módszer alapötletének elméleti háttereként a következő állítás szolgál:

  1. Tétel. Egy x* vektor a (10.1)-(10.3) HP feladatnak akkor és csak akkor optimális megoldása, ha teljesül az

    10.11. egyenlet -


    egyenlőség, ahol λ* = P(x*)/D(x*).

A fenti tétel nem csak arra a kérdésre ad választ, hogy egy lehetséges x vektor vajon optimális-e, hanem alapjául szolgál az optimális megoldáshoz vezető algoritmusnak is. Valójában, mivel D(x) > 0, ∀ x ∈ L, ezért

Ez utóbbi azt jelenti, hogy az F(λ)-ra adott (10.11) kifejezés szigorúan csökkenő λ-tól függő függvény. Ezért a Dinkelbach módszer megvalósítható a következő lépésekben:

  1. Lépés. Határozzunk meg egy x(0) tetszőleges induló lehetséges megoldást, azaz x(0) ∈ L. Legyen k := 1 és λ(1) = P(x(0))/D(x(0)).

  2. Lépés. Oldjuk meg a következő lineáris programozási feladatot:

    maxx ∈ L{P(x) - λ(k)D(x)}

    Jelöljük x(k)-val a kapott megoldást, azaz x(k) := arg maxx ∈ L{P(x) - λ(k)D(x)}.

  3. Lépés. Ha F(λ(k)) = P(x(k)) - λ(k)D(x(k)) = 0, akkor x* = x(k) vektor a keresett optimális megoldás. Stop. Különben

  4. Lépés. Legyen λ(k+1) := P(x(k))/D(x(k)) . Legyen k := k + 1. Vissza az 1. lépéshez.

Gyakorlat

Minta

Az alábbi numerikus példa illusztrálja a Dinkelbach módszer működését. Tekintsük a következő HP feladatot:

10.12. egyenlet -


  1. Lépés. Válasszuk ki az x = (0,0) pontot. Mivel ebben a pontban teljesül az összes feltétel, ezért ezt a pontot választhatjuk induló x(0) pontnak. Tehát, a kiválasztott x(0) = (0,0) pontnál

  2. Lépés. Most a következő LP feladatot kell megoldanunk:

    P(x) - λ(1)D(x) = P(x) - ⅓D(x) = ⅓x2 → max

    a (10.12) feladat feltételei mellett. Ennek a feladatnak optimális megoldása az x(1) = (0,3), ebből kifolyólag F(λ(1)) = 1.

  3. Lépés. Mivel F(λ(1)) ≠ 0, végre kell hajtanunk a következő lépést.

  4. Lépés. Most ki kell számolnunk az új λ(2)-t:

    és növelnünk kell a k értékét, azaz k := k + 1 = 2. Vissza az 1. lépéshez.

  5. Lépés. Oldjuk meg a következő LP feladatot:

    a (10.12) feltételek mellett. Ezt a feladatot megoldva a következőket kapjuk: x(2) = (0,3) és F(λ(2)) = 0.

  6. Lépés. Mivel F(λ(2)) = 0, ezért x* = x(2) vektor a keresett optimális megoldása a megoldandó HP feladatnak. Stop.

Így a fenti HP feladat optimális megoldása x* = (0,3), Q(x*) = 8/21.

Gyakorló feladatok

Oldja meg grafikus módszerrel az alábbi HP feladatokat! Majd Charnes és Cooper transzformáció használatával állítsa elő a megfelelő lineáris analógot és oldja meg azokat a megfelelő módszerrel! Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! Ezek után oldja meg Dinkelbach módszerrel a HP feladatokat!

  1. feladat.

  2. feladat.

  3. feladat.

  4. feladat.

  5. feladat.

Ellenőrző kérdések

  1. Ha kiderült, hogy a megoldandó HP feladatban D(x) < 0, ∀ x ∈ L, akkor mi a teendő és miért?

  2. Mi a fókuszpont és milyen módon lehet meghatározni?

  3. A grafikus módszer használata során kiderült, hogy F ∈ L. Mit jelent ez?

  4. A grafikus módszer használata során kiderült, hogy P(x) = 0 és D(x) = 0 egyenesek nem metszik egymást sehol. Mit jelent ez?

  5. Ha a megoldandó HP feladatban 3 nemnegatív változó és 4 feltétel van, akkor milyen méretű lesz a lineáris analógja?

  6. Ha a megoldandó HP feladatban 4 nemnegatív változó és 3 feltétel van, akkor milyen méretű lesz a lineáris analógja?

  7. A Dinkelbach algoritmus indításánál az induló pontnak kiválasztott x(0) = (0,0) pontban kiderült, hogy P(x(0)) = 0. Mit jelent ez?

  8. A Dinkelbach algoritmus indításánál az induló pontnak kiválasztott x(0) = (0,0) pontban kiderült, hogy D(x(0)) = 0. Mit jelent ez?

  9. A Dinkelbach algoritmus indításánál az induló pontnak kiválasztott x(0) = (0,0) pontban kiderült, hogy λ(1) = 0. Mit jelent ez?

  10. A Dinkelbach algoritmus indításánál az induló pontnak kiválasztott x(0) = (0,0) pontban kiderült, hogy F(λ(1)) = 0. Mit jelent ez?

11. fejezet - Szimplex módszer a hiperbolikus programozásban

Könyvünk ebben a részében egy olyan módszer elméleti alapjaival és megvalósítási eljárásával foglalkozunk, amely segítségével korlátos lehetséges halmazzal rendelkező tetszőleges HP feladatról eldönthető, hogy létezik-e optimális megoldása, és ha létezik, akkor az optimális megoldás meg is határozható. Ezt a módszert hiperbolikus programozási szimplex módszernek szokták nevezni.

Martos B. [Martos '60] megmutatta, hogy a lineáris programozásból jól ismert szimplex módszer egy kis módosítás után alkalmazható a hiperbolikus programozási feladat megoldására. A szimplex módszer alkalmazhatósága azon alapszik, hogy az L lehetséges halmaz konvex poliéder (ugyanúgy, mint lineáris programozásban), és a Q(x) célfüggvény monoton.

A szimplex módszer "hiperbolikus" változata

Ebben a paragrafusban olyan

11.1. egyenlet -


11.2. egyenlet -


11.3. egyenlet -


kanonikus alakú hiperbolikus programozási feladattal foglalkozunk, amely eleget tesz a következő feltételeknek: az L lehetséges halmaz korlátos, vagyis az L halmaz konvex poliéder és a D(x) függvény az L halmaz egyetlen pontjában sem válik zérussá.

A szimplex módszer hiperbolikus változatának elméleti háttere a következő két állításon alapszik:

  1. Tétel. A hiperbolikus programozási feladat Q(x) célfüggvénye az L lehetséges halmaz tetszőleges egyenes szakaszán monoton.

  2. Tétel. Ha a hiperbolikus programozási feladatban az L lehetséges halmaz korlátos, akkor a Q(x) célfüggvény extremális értéke elérhető a lehetséges halmaz csúcspontjában.

Ugyanúgy, mint a lineáris esetben tegyük fel, hogy a (11.1)-(11.3) feladat normál és x = (x1, x2, ..., xn) vektor ennek a feladatnak nem degenerált lehetséges bázismegoldása a B = (As1, As2, ..., Asm) bázissal. A lineáris esethez hasonlóan jelölje θ az új bázisvektornak megfelelő xj bázisváltozó értékét, x(θ) pedig az új bázismegoldást. Számoljuk ki a P(x) és D(x) értékét az x(θ) pontban. Nyilvánvaló, hogy

Ebből következik, hogy

11.4. egyenlet -


ahol

.

Mivel θ > 0 és D(x(θ)) > 0 (D(x) > 0, ∀ x ∈ L), ezért az x lehetséges bázismegoldástól az x(θ) új lehetséges bázismegoldáshoz történő átváltásnál a Q(x) célfüggvény értéke növekszik vagy csökken a Δj(x) előjelétől függően:

ha Δj(x) < 0, akkor Q(x) növekszik;
ha Δj(x) > 0, akkor Q(x) csökken;
ha Δj(x) = 0, akkor Q(x) nem változik.

Martos B. [Martos '60] megmutatta, hogy hiperbolikus programozási feladat esetén érvényes a következő:

Optimalitás kritériuma. Az x lehetséges bázismegoldás akkor és csak akkor optimális megoldása a (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladatnak, ha Δj(x) ≥ 0, j = 1, 2, ..., n.

Írjuk le a hiperbolikus programozási szimplex módszer alkalmazásának általános sémáját. Tegyük fel, hogy az x vektor a (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladat lehetséges bázismegoldása B bázissal. Jelölje JB = {s1, s2, ..., sm} a bázishoz tartozó Aj vektorok indexeinek halmazát. Legyen J = {1, 2, ..., n}, akkor JN = J \ JB halmaz csak azon Aj vektorok indexeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak a B bázishoz. Az x vektor elemzése az optimalitás kritériumának ellenőrzésével kezdődik. Ehhez ki kell számolnunk a

  1. Δ'j, Δ''j, j = 1, 2, ..., n becsléseket,

  2. a Q(x) célfüggvény értékét az x pontban és aztán ezek alapján

  3. a Δj(x) redukált költségeket.

A kiszámolt Δj(x)-k elemzése során a következő három eset fordulhat elő:

  1. Minden nembázis indexű Δj(x) nemnegatív, azaz Δj ≥ 0, ∀ j ∈ JN;

  2. Létezik legalább egy olyan nembázis index j0, amely mellett Δj0(x) negatív értékű és mind az m darab xij0 együttható nempozitív, azaz J0 = {j | j ∈ JN, Δj(x) < 0} ≠ ∅ és J- = {j | j ∈ J0, xij ≤ 0, ∀ i = 1, 2, ..., m} ≠ ∅;

  3. Létezik legalább egy olyan nembázis index j0, amely mellett Δj0(x) negatív értékű és minden ilyen j0 index számára legalább egy xij0 együttható pozitív, azaz J0 ≠ ∅ és J- = ∅;

Az 1. esetben az optimalitás kritériuma szerint az x vektor a (11.1)-(11.3) feladat optimális megoldása. Ezzel a szimplex módszer befejeződik. A feladat meg van oldva. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor ha a nembázis indexű Δj(k)-ek között van legalább egy nulla értékű, akkor a feladatnak van alternatív megoldása.

A 2. esetben a feladat lehetséges halmaza korlátlan (ezt a lehetőséget pedig mi kizártuk). Itt a szimplex módszer befejeződik. A feladat nincs megoldva azért, mert nem tartozik azon feladatok osztályához, amelyre alkalmazható az adott módszer.

A 3. esetben létezik olyan x(θ) lehetséges bázismegoldás, amely mellett a célfüggvény értéke nagyobb. Ilyenkor olyan j0 ∈ J0 indexet lehet választani, amely mellett (lásd (11.4) képlet)

és az Aj0 vektor bázisba való bevezetésével áttérhetünk egy olyan új lehetséges bázismegoldáshoz, amely mellett a Q(x) célfüggvény értéke a mostaninál nagyobb.

Mivel feltételezéseink szerint az L lehetséges halmaz korlátos, ezért a szimplex módszer véges számú iterációk végrehajtása után vagy az 1. esethez, vagy a 2. esethez vezet.

A szimplex módszer használata esetén az adatokat a 11.1. ábrán látható szimplex táblázatban szokták kezelni.

11.1. táblázat - HP szimplex tábla

   p1 p2 ... pn
  d1 d2 ... dn
As1 ps1 ds1 xs1   x11 x12 ... x1n
As2 ps2 ds2 xs2   x21 x22 ... x2n
 
Asm psm dsm xsm   xm1 xm2 ... xmn
P(x)   Δ'1 Δ'2 ... Δ'n
D(x)   Δ''1 Δ''2 ... Δ''n
Q(x)   Δ1(x) Δ2(x) ... Δn(x)

Ebben a táblázatban a lináris programozási szimplex táblázathoz képest két új sor van: a Δ''j-ket és a Δj(x)-eket tartalmazó sorok. A PB illetve DB oszlopok pedig a célfüggvény számlálójában és a nevezőjében szereplő bázis indexű pj és dj együtthatókat tartalmazzák. Minden más (beleértve transzformációs képleteket is) megegyezik a lineáris programozási szimplex táblázattal.

Induló lehetséges bázismegoldás előállítása

A szimplex módszer alkalmazásánál egy x lehetséges bázismegoldástól kell elindulnunk. Ugyanúgy, mint lineáris programozásban, előfordulhat, hogy a feladat Aj vektorai közül könnyen ki lehet választani olyanokat, amelyek m vektorból álló lineárisan független vektorrendszert alkotnak. Ebben az esetben nincs akadálya a szimplex módszer "beindításának". Vannak olyan speciális hiperbolikus programozási feladatok, amelyeknél az induló lehetséges bázismegoldás meghatározása nem okozhat nagy gondot. Azonban leggyakrabban nem ismeretes a megadott feladatnak egyetlen bázismegoldása sem. Ez utóbbi esetben alkalmazhatjuk vagy az ún. Nagy M módszert, vagy az ún. Kétfázisú szimplex módszert.

Nagy M módszer

Ezen módszer használata esetén a megoldandó kanonikus alakú normál (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladatot helyettesítenünk kell az ún. M-feladattal [Chernov, Lange '78]:

11.5. egyenlet -


11.6. egyenlet -


11.7. egyenlet -


ahol M elég nagy szám.

Az M-feladat esetén a szimplex módszer indításához induló lehetséges bázismegoldásként használhatjuk az

vektort.

Tegyük fel, hogy az x̃ = (x̃1, x̃2, ... ,x̃n, x̃n+1, ..., x̃n+m) vektor a (11.5)-(11.7) M-feladat optimális bázismegoldása. Az eredeti (11.1)-(11.3) megoldandó hiperbolikus programozási feladat és az M-feladat közötti, illetve a feladatok optimális megoldásai közötti kapcsolatokat meghatározzák a következő tételek.

  1. Tétel. Ha az vektor a (11.5)-(11.7) M-feladat optimális megoldása és n+i = 0, i = 1, 2, ..., m, vagyis

    akkor x* = (x̃1, x̃2, ... ,x̃n) az eredeti (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladat optimális megoldása.

  2. Tétel. Ha az vektor a (11.5)-(11.7) M-feladat optimális megoldása és az n+1, x̃n+2, ..., x̃n+m komponensek között van legalább egy pozitív értékű, azaz ∃ i : x̃n+i > 0, 1 ≤ i ≤ m, akkor az eredeti (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladat nem megoldható, mert az L lehetséges halmaza üres, azaz L = ∅.

  3. Tétel. Ha a (11.5)-(11.7) M-feladat nem megoldható (az M-feladat lehetséges halmazán a Q̃(x) célfüggvény nem korlátos felülről), akkor az eredeti (11.1)-(11.3) hiperbolikus programozási feladat nem megoldható, mert az L lehetséges halmazán a Q(x) célfüggvénye nem korlátos felülről.

Kétfázisú szimplex módszer

A módszer I. fázisa teljesen megegyezik a lineáris programozási algoritmus I. fázisával, azaz az eredeti kanonikus alakú normál hiperbolikus programozási feladat helyett az I. fázisban a következő lineáris programozási feladatot [Stancu-Minasian '97] kell megoldanunk:

11.8. egyenlet -


11.9. egyenlet -


11.10. egyenlet -


Tekintsük ezt a feladatot. Mivel az x = (0, 0, ..., 0, b1, b2, ..., bm) vektor mellett teljesülnek a feladat (11.9)-(11.10) feltételei valamint a célfüggvénye korlátos alulról, ezért nyilvánvaló, hogy az adott feladat megoldható. Ha az I. fázis eredményeként kapott x' = (x'1, x'2, ..., x'n, x'n+1, ..., x'n+m) optimális bázismegoldás utolsó m komponense egyenlő nullával, azaz x'n+i = 0, i = 1, 2, ..., m, akkor az x' vektor első n komponense mellett teljesülnek az eredeti megoldandó (11.1)-(11.3) HP feladat

feltételei. Tehát az x = (x'1, x'2, ..., x'n) vektor szolgálhat, mint induló lehetséges bázismegoldás a II. fázisban.

Ugyanúgy, mint a lineáris programozási feladat esetében, az I. fázisban előfordulhat, hogy az x' vektor utolsó m komponense közül nem mindegyik egyenlő nullával és ezért a (11.8) célfüggvény optimális értéke nagyobb, mint nulla. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor azzal az esettel állunk szemben, amikor az eredeti hiperbolikus programozási feladatban a lehetséges halmaz üres és ezért a feladat nem megoldható.

Gyakorlat

Minta

A szimplex módszer illusztrálására tekintsük a következő HP feladatot:

11.11. egyenlet -


11.12. egyenlet -


Mindenekelőtt a feladatot át kell alakítani kanonikus alakúra. Ehhez a harmadik feltételben vezessünk be az x4 mesterséges változót:

11.13. egyenlet -


a következő feltételek mellett

11.14. egyenlet -


Mivel a kapott feladatban minden feltétel "=" relációjú, az összes változó és az összes jobboldali korlát nemnegatív, a feladat már kanonikus alakban van.

Következő lépésben állítsuk elő a megfelelő M-feladatot. Ehhez be kell vezetnünk még két változót: x5-t és x6-t, úgy, hogy az M-feladat a következő alakú lesz:

A kapott feladatban már van három egység oszlop: A4, A5 és A6. Így induló lehetséges bázisnak válasszuk a B = (A5, A6, A4) mátrixot, amelynek megfelel a következő lehetséges bázis megoldás: x = (0, 0, 0, 16, 24, 18)T.

11.2. táblázat - Nagy M módszer - Induló táblázat

 3340 -M -M
453000
B PB DB XB   A1 A2 A3 A4 A5 A6
A5 -M 024 132010
A6 -M 018 213001
A4 0016 122100
P(x) = 6 - 42M   -3M - 3 -4M - 3 -5M - 4 000
D(x) = 8  -4-5-3000
Q(x)=(6-42M)/8   -24M (3-121M)/4 (-83M-7)/4 000

A szimplex algoritmus végrehajtására állítsunk elő a 11.2. ábrán látható induló szimplex táblázatot, ahol:

Mivel a megoldandó feladatban a célfüggvényt maximalizálnunk kell, és az induló szimplex táblázatban vannak negatív értékű nembázis Δ1(x), Δ2(x) és Δ3(x) redukált költségek, ez azt jelenti, hogy az aktuális lehetséges bázismegoldás nem optimális. Ilyenkor a negatív értékű Δj(x) redukált költséggel rendelkező nembázis vektorokból ki kell választanunk az egyiket és azt a vektort bevezetni az új bázisba. Válasszuk az A3 vektort. Most meg kell határoznunk, hogy melyik vektor esik ki a bázisból: mivel θ = min{ 24/2, 18/3, 16/2 } = 6, ebből kifolyólag a bázisból el kell távolítanunk az A6 vektort. Az iteráció végrehajtása után ki kell számolnunk a P(x), D(x), Q(x) új értékeket, majd meghatározni az új Δ'j, Δ''j, Δj(x) becsléseket. Az eredményeket a 11.3. táblában láthatjuk. Ahogy a 11.3. tábla mutatja, az első iteráció eredményeként kapott x = (0, 0, 6, 4, 12, 0)T új lehetséges bázismegoldás nem optimális (Δ1(x) és Δ2(x) miatt).

11.3. táblázat - Nagy M módszer - Az első iteráció eredménye

 3340 -M -M
453000
B PB DB XB   A1 A2 A3 A4 A5 A6
A5 -M 012 -1/37/3001-2/3
A3 4 36 2/31/31001/3
A4 004 -1/34/3010-2/3
P(x) = -12M + 30   (M-1)/3 (-7M-5)/3 0 00 (5M+4)/3
D(x) = 26  -2-40001
Q(x)=(30-12M)/26   (77-23M)/39 (115-163M)/39 0 00 (83M+7)/39


A következő iteráció végrehajtása után kaptuk a 11.4 táblát, amelyben B = (A5, A3, A2) és x = (0, 3, 5, 0, 5, 0)T.

11.4. táblázat - Nagy M módszer - Az második iteráció eredménye

 3340 -M -M
453000
B PB DB XB   A1 A2 A3 A4 A5 A6
A5 -M 05 1/400-7/411/2
A3 435 3/401-1/401/2
A2 353 -1/4103/40-1/2
P(x) = -5M + 35   (-M-3)/4 00 (7M+5)/4 0 (M+1)/2
D(x) = 38  -30030-1
Q(x)=(35-5M)/38   (153-49M)/76 00 (163M-115)/76 0 (7M+27)/19

A harmadik iteráció már optimális táblázatot (11.5. táblázat) eredményez, amelyben B = (A5, A1, A2) és x5 = 10/3 > 0. Ilyenkor a 11.4. tételnek megfelelően az eredeti HP feladat nem megoldható, mert az L lehetséges halmaz üres.

11.5. táblázat - Nagy M módszer - Optimális táblázat

 3340 -M -M
453000
B PB DB XB   A1 A2 A3 A4 A5 A6
A5 -M 010/3 00-1/3-5/311/3
A1 3420/3 104/3-1/302/3
A2 3514/3 011/32/30-1/3
P(x) = (120-10M)/3  00 (M+3)/3 (5M+3)/3 0 (2M+3)/3
D(x) = 58  004201
Q(x)=(120-10M)/174  00 (49M-153)/87 (155M-33)/87 0 (21M+9)/29

Gyakorló feladatok

  1. Alakítsa át kanonikus alakba az alábbi HP feladatot, majd állítsa össze a megfelelő M-feladatot és a Nagy M módszer szabályai szerint az induló szimplex-táblázatot.

  2. Hajtson végre egy szimplex iterációt az alábbi szimplex táblázatban (p0 = 10, d0 = 20).

      P 5322
    D 4212
    B PB DB   xB A1 A2 A3 A4
    A3    1203110
    A4    1002101
    P(x) =   Δ'     
    D(x) =   Δ''     
    Q(x) =   Δ(x)     

  3. Nagy M módszer használatával oldja meg a 11.3.1. feladatot!

  4. Kétfázisú szimplex módszer használatával oldja meg a 11.3.1 feladatot!

Ellenőrző kérdések

  1. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az egyik mesterséges változó pozitív értékű lett. Mit jelent ez?

  2. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az egyik mesterséges változó nulla értékű lett. Mit jelent ez?

  3. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó M-feladatban kapott optimális megoldásnál az összes mesterséges változó nulla értékű lett. Mit jelent ez?

  4. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény negatív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  5. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  6. Egy kanonikus alakú HP feladathoz tartozó első fázisú feladatban kapott optimális megoldásnál a célfüggvény pozitív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  7. A szimplex módszer végrehajtása során az egyik táblázatban az egyik bázisvektornál mindhárom Δ'k, Δ''k, Δk(x) becslés negatív értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

  8. A szimplex módszer végrehajtása során az egyik táblázatban az egyik bázisvektornál mindhárom becslés nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

  9. A szimplex módszer végrehajtása során az egyik táblázatban az egyik nembázis vektornál a Δk(x) becslés nulla értékű lett. Jó-e ez és miért? Mit jelent ez?

  10. A szimplex módszer végrehajtása során az egyik táblázatban az összes nembázis vektornál a Δk(x) becslés nulla értékű lett. Jó-e ez, mikor és miért? Mit jelent ez? Mi a teendő?

12. fejezet - Dualitás a hiperbolikus programozásban

A lineáris programozáshoz hasonlóan a hiperbolikus programozásban is tetszőleges feladathoz hozzárendelhető egy másik feladat, az illető feladat duálisa. Az eredeti HP feladatot ilyenkor primálnak szokás nevezni. A lineáris programozástól eltérően, a hiperbolikus programozásban három feladat függ egymástól. Ez az összefüggés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. A duális feladatban is ugyanazon paraméterek szerepelnek, mint az induló feladatban.

  2. A duális feladat a primál feladattól eltérően nem hiperbolikus programozási feladat, hanem lineáris programozási feladat.

  3. A duális feladat duálisa megegyezik az induló feladat lineáris analógjával.

Duális feladat

A dualitás elméletének hiperbolikus programozásra való kiterjesztésével számos kutató foglalkozott több irányzatban. Ezek közül az egyik legelterjedtebb megközelítés a A. Charnes és W.W. Cooper [Charnes, Cooper '62] által bevezetett transzformáción (lásd „Charnes és Cooper transzformáció”. fejezet) alapszik.

Tekintsük a következő hiperbolikus programozási feladatot.

12.1. egyenlet -


12.2. egyenlet -


12.3. egyenlet -


12.4. egyenlet -


Itt és a továbbiakban mindenhol feltételezzük, hogy D(x) > 0, ∀ x ∈ L.

Ennek a feladatnak megfelel a következő lineáris analóg:

12.5. egyenlet -


12.6. egyenlet -


12.7. egyenlet -


12.8. egyenlet -


12.9. egyenlet -


Mivel a (12.5)-(12.9) probléma lineáris programozási feladat, ezért a lineáris programozási duálitás szerint ehhez a feladathoz a következő duális feladat tartozik:

12.10. egyenlet -


12.11. egyenlet -


12.12. egyenlet -


12.13. egyenlet -


12.14. egyenlet -


Az ilyen módon összeállított (12.10)-(12.14) lineáris programozási feladatot a (12.1)-(12.4) HP feladat duálisának fogjuk nevezni.

Dualitási tételek

Fogalmazzuk meg a HP duálitás elméletének legfontosabb tételeit.

  1. Lemma. Ha az x = (x1, x2, ..., xn) vektor a (12.1)-(12.4) primál feladat lehetséges megoldása és az y = (y1, y2, ..., ym) vektor a (12.10)-(12.14) duális feladat lehetséges megoldása, akkor Q(x) ≤ ψ(y).

  2. Lemma. Ha az x* vektor a (12.1)-(12.4) primál feladat lehetséges megoldása, az y* vektor a (12.10)-(12.14) duális feladat lehetséges megoldása és teljesül a Q(x*) = ψ(y*) egyenlőség, akkor az x* vektor és az y* vektor a megfelelő feladatnak optimális megoldása.

  3. Lemma. Ha a (12.10)-(12.14) duális feladat ψ(y) célfüggvénye az Y lehetséges halmazán alulról nem korlátos, akkor a (12.1)-(12.4) primál feladat L lehetséges halmaza üres. Fordítva, ha a (12.10)-(12.14) duális feladat Y lehetséges halmaza üres, akkor a (12.1)-(12.4) primál feladat Q(x) célfüggvénye felülről nem korlátos a saját L lehetséges halmazán.

  1. Tétel. (A dualitás elméletének fő tétele.) Ha a (12.1)-(12.4) primál feladat és a (12.10)-(12.14) duális feladat közül valamelyiknek van optimális megoldása, akkor a másiknak is van optimális megoldása, és bármelyik x* és y* optimális vektorokra teljesül a Q(x*) = ψ(y*) egyenlőség.

A lineáris programozáshoz hasonlóan a hiperbolikus programozásban is be lehet vezetni a rögzített és szabad feltételek fogalmát. Ezek felhasználásával fogalmazzuk meg a következőt.

  1. Tétel. (A dualitás elméletének második tétele.) Ha a primál és a duális feladatok megoldhatók (van optimális megoldásuk), akkor a duális feltétel párok bármelyikében az egyik feltétel rögzített, a másik pedig szabad.

A (12.10)-(12.14) duális feladatban egyetlen egy 12.11 feltételhez nem tartozik duális pár. Ennek a 12.11 feltételnek a "viselkedését" az alábbi állítás határozza meg:

  1. Tétel. Ha a (12.1)-(12.4) HP feladat és a (12.10)-(12.14) duális feladat megoldható, akkor ahhoz, hogy a 12.11 feltétel rögzített legyen szükséges és elegendő, hogy a (12.1)-(12.4) feladat legalább egy x* optimális megoldására teljesüljön a következő feltétel:

    12.15. egyenlet -


Példa. A fenti állítások illusztrálásához tekintsük a következő HP feladatot:

Ennek a feladatnak megfelel a következő duális feladat:

Itt a következő feltételek alkotnak duális párokat:

12.16. egyenlet -


12.17. egyenlet -


12.18. egyenlet -


12.19. egyenlet -


Vegyünk észre, hogy a 6x1 + 4x2 = 48 feltétel nem rendelkezik párral, mert a definíció szerint "=" relációjú feltételhez a duális feladatban nem tartozik nemnegativitási feltétel a megfelelő duális változónál! Ezenkívül nincs párja a 15y0 - 20y1 - 64y2 - 48y3 ≥ 10 feltételnek sem.

A grafikus módszer használatával könnyen belátható, hogy ez a HP feladat megoldható és egyetlen egy optimális megoldással rendelkezik: x* = (8; 0). Mivel ez a feladat megoldható a 12.1. állítás szerint ilyenkor megoldható a másik, azaz a duális feladat is. A duális feladatot megoldva a következő megoldást kapjuk: y* = (1,613; 0; 0,228; 0).

Vegyünk észre, hogy mindkét feladat csak egy-egy optimális megoldással rendelkezik!

Könnyen kiszámolható, hogy a (12.16) baloldali feltétel az x* pontnál szigorú egyenlőtlenségként teljesül és ezért definíció szerint ez a feltétel szabad. Viszont, az ehhez a feltételhez tartozó duális pár (ugyanott jobb oldal) saját y* optimális megoldásnál szigorú egyenlőségként teljesül és ezért definíció szerint rögzített feltétel. Más szavakkal, a (12.16) feltétel párban az egyik feltétel szabad, a másik pedig rögzített. Nyilvánvaló, hogy a 12.2. állítás teljesül a (12.17), (12.18) és (12.19) pároknál is.

Tekintsük most a 15y0 - 20y1 - 64y2 - 48y3 ≥ 10 feltételt a duális feladatban. Ahogy már említettük, ez a feltétel definíció szerint nem rendelkezik duális párral és az, hogy miként teljesül és vajon rögzített-e attól függ, hogy van-e az eredeti HP feladatnak legalább egy véges komponensű optimális megoldása (lásd 12.3. Tétel). Valóban, a szóban forgó HP feladatnak van optimális megoldása véges elemekkel és ennek következtében a 12.3. tételnek megfelelően a 15y0 - 20y1 - 64y2 - 48y3 ≥ 10 feltételnek rögzítettnek kell lennie. Ha y* optimális megoldást behelyettesítjük ebbe a feltételbe, akkor fogjuk látni, hogy a feltétel tényleg szigorú egyenlőségként teljesül, azaz a feltétel rögzített.

Duális változók értelmezése

Tekintsük a következő kanonikus alakú hiperbolikus programozási feladatot:

12.20. egyenlet -


12.21. egyenlet -


12.22. egyenlet -


Tegyük fel, hogy az x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T vektor a (12.20)-(12.22) feladat optimális megoldása és

12.23. egyenlet -


Jelöljük HP(b)-vel a (12.20)-(12.22) feladatot és cseréljük ki a HP(b) feladatban a b = (b1, b2, ..., bm)T jobboldali vektort egy másik b' = (b'1, b'2, ..., b'm)T vektorra. Az ilyen módon összeállított új hiperbolikus programozási feladatot HP(b')-vel fogjuk jelölni.

A HP(b) és a HP(b') feladatok közötti kapcsolatot a következő állítás írja le:

  1. Tétel [Bajalinov '88]. Tegyük fel, hogy a HP(b) feladat megoldható és x* vektor ennek a feladatnak a nemdegenerált véges optimális megoldása. Ha

    |bi - b'i| < ε, i = 1, 2, ..., m,

    akkor a HP(b') feladat is megoldható és tetszőleges x' optimális megoldása mellett teljesül a következő egyenlőség

    12.24. egyenlet -


    ahol ε elegendően kicsi szám és az y* = (y0*, y1*, y2*, ..., ym*) vektor az eredeti HP(b) feladathoz tartozó duális feladat optimális megoldása.

Jegyezzük meg, hogy a (12.23) feltételezésnek nagyon fontos és meghatározó szerepe van, mivel G.R. Bitran és T.L. Magnanti [Bitran, Magnanti '74], [Bitran, Magnanti '76] megmutatták, hogy abban az esetben, ha (12.23) feltétel nem teljesül, akkor a jobboldali vektorban történő kis mértékű változás nem változtatja a célfüggvény optimális értékét.

Tekintsük a (12.24) képletet és írjuk le az yi* duális változó lehetséges szerepét gazdasági elemzéseknél. Tegyük fel, hogy b' = (b1, b2, ..., bk-1, bk + 1, bk+1, ..., bm)T, azaz az eredeti HP(b) feladat jobboldali vektorában csak a k-dik elem változik egy egységgel (feltéve, hogy ez a változás a megengedett tartománybe esik). Ilyenkor a (12.24) képletet átírhatjuk a következő módon:

vagy

12.25. egyenlet -


Tegyük fel, hogy az eredeti HP(b) probléma egy gyártási feladatot ír le, ahol a jobboldali b vektor jelöli a gyártáshoz szükséges erőforrások készletét. Feltételezzük, hogy a P(x) - a profit, a D(x) - a költség, a Q(x) - a hatékonyság és az x* vektor ennek a HP(b) feladatnak optimális megoldása.

Továbbá, a k-dik erőforrás készlete megváltozott és egy egységgel nagyobb lett. Ez a változás vezetett az optimális megoldás változásához, ebből kifolyólag megváltozott a profit, a költség és a hatékonyság. Elemezzük a (12.25) képlet jobboldali elemeit. Itt a D(x')Q(x*) szorzatban a D(x') új összköltség szerepel, amelyet befektettünk az új x' optimális megoldás szerint szervezett gyártásba. A szorzat Q(x*) második tagja pedig annak a gyártásnak a hatékonyságát jelöli, amelyet a régi x* optimális megoldás alapján kellett szervezni. Tehát a D(x')Q(x*) szorzat kifejezi azt a profitot, amelyet a régi Q(x*) hatékonysággal működő gyártásból lehetett volna kapni, ha a befektetett összeg D(x') egység lett volna. Azonban az új módon szervezett gyártásból kapott profit P(x') egységes és ez azt jelenti, hogy a (12.25) képlet jobboldali része kifejezi a teljes P(x') új profitnak és annak a profitnak a különbségét, amelyet abban az esetben lehetett volna kapni, ha a k-dik erőforrás változása nem vezetett volna a hatékonyság növeléséhez. Más szavakkal, yk* kifejezi a profitváltozásnak azt a részét, amely a hatékonyság változásából keletkezik.

A fenti értelmezés illusztrálásához tekintsük az alábbi numerikus példát. Tegyük fel, hogy egy gyártási feladatban a profit, a költség és a hatékonyság a régi x* és az új x' optimális megoldás mellett a következő táblázat szerint alakul:

 

P

D

Q

x*

100

500

0,2

x'

300

600

0,5

Itt a teljes profit változás P(x') - P(x*) = 300 - 100 = 200 egység és a költség változás D(x') - D(x*) = 600 - 500 = 100 egység. Ha az erőforrás készlet változása nem vezetett volna a hatékonyság változásához, akkor a profit változás csak (D(x') - D(x*)) × Q(x*) = (600 - 500) × 0,2 = 20 egység lett volna. Azonban megváltozott a hatékonyság is, és ezért kaptunk még yk* = P(x') - D(x')Q(x*) = 300 - 600 × 0,2 = 300 - 120 = 180 egységet. Így kapjuk a teljes 20 + 180 = 200 egységes profit változást.

Gyakorlat

Minta

A HP dualitás illusztrálására tekintsük a következő HP feladatot:

Állítsunk elő a fenti feladatnak megfelelő duális feladatot. Elsősorban alakítsunk át a (*)-gal jelölt feltételt '≤' relációjúvá: -x1 - 5x2 - 2x3 ≤ -100 és írjuk át a feladatot a következő formában:

Az utóbbi feladatnak megfelel a következő duális feladat:

Vegyük észre, hogy a duális feladatban az y2 változó nem rendelkezik nemnegativitási feltétellel.

Gyakorló feladatok

Ellenőrző kérdések

  1. Egy általános alakú HP feladatban az x1 változóhoz tartozik nemnegativitási feltétel. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a duális feladatban?

  2. Egy általános alakú HP feladatban az x1 változó alulról nem korlátos. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a duális feladatban?

  3. Egy általános alakú HP feladathoz előállított duális feladatban az y1 változó nemnegatív értékű. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a primál feladatban?

  4. Egy általános alakú HP feladathoz előállított duális feladatban az y1 változó alulról nem korlátos. Milyen relációjú feltétel tartozik hozzá a primál feladatban?

  5. Egy HP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy mind a négy feltétel rögzített. Hány változó szerepel a duális feladatban?

  6. Egy HP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy a négy feltételből 1 feltétel rögzített és 3 feltétel szabad. Hány változó rögzített a duális feladatban? Hány változójú feladatra redukálódik a duális feladat?

  7. Egy HP feladatban, amelynek mérete 4 feltétel × 3 nemnegatív változó, kiderült, hogy mindhárom változó optimális megoldásnál pozitív értékű. Hány feltétellel rendelkezik a duális feladat? Ezekből a feltételekből hány feltétel rögzített és hány szabad?

  8. Egy primál HP feladat megoldása szerint x1 ≥ 0 feltétel rögzített. Milyen következményekhez vezethet ez a tény a duális feladat méretét illetően?

  9. Egy 3 nemnegatív változójú HP feladat minden optimális megoldásánál x1* = 0, x2* = 0, x3* = 0. Milyen módon használható ez a tény a duális feladat méretének csökkentésére?

  10. Egy 3 nemnegatív változójú HP feladat minden optimális megoldásánál x1* = 10, x2* = 3, x3* = 20. Milyen módon használható ez a tény a duális feladat méretének csökkentésére?

13. fejezet - Érzékenységi analízis hiperbolikus programozásban

A gyakorlati alkalmazások szempontjából gyakran szükséges tudni, hogy a feladatban szereplő együtthatók változásának milyen hatása van a célfüggvény optimális értékére, vagy meddig marad ilyenkor az optimális megoldás optimális.

Ebben a fejezetben az ún. érzékenység vizsgálattal foglalkozunk, azaz a következő kérdésre próbálunk választ adni: hogyan hat az együtthatók változtatása az optimális megoldásra.

13.1. egyenlet -


13.2. egyenlet -


13.3. egyenlet -


ahol

és D(x) > 0, ∀ x ∈ L.

Tegyük fel, hogy a (13.1)-(13.3) feladat megoldható és az x* vektor ennek a feladatnak optimális bázismegoldása. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy x* = (x1*, x2*, ..., xm*, 0, 0, ..., 0)T a B = (A1, A2, ..., Am) bázissal.

Először vizsgáljuk a jobboldali b vektorban történő változások hatását az optimális megoldásra, majd az ezután következő részekben megtekintjük a HP feladat különböző részeiben történő változásokat.

A jobboldal változása

Cseréljünk ki a jobboldali b vektor bμ elemét a b'μ = bμ + δ értékre és vizsgáljuk meg az adott csere hatását a B optimális bázisra, az x* optimális megoldásra és a Q(x) célfüggvény optimális értékére.

A korábban tett feltételezésünk szerint az x* vektor lehetséges és optimális megoldása a (13.1)-(13.3) feladatnak. Mivel az x* vektor lehetséges megoldása ennek a feladatnak, ezért az x* vektor mellett teljesülnek a (13.2) és (13.3) feltételek. Írjuk át a (13.2) rendszert a következő módon:

13.4. egyenlet -


ahol B-1 = ||eij||m × m jelöli a B mátrix inverzét (emlékezve arra, hogy a B mátrix lineárisan független Aj, j = 1, 2, ..., m vektorokból áll, tehát B-1 létezik). Továbbá, a (13.4) rendszerből kapjuk, hogy

13.5. egyenlet -


Vezessük be a bμ → bμ + δ cserét a (13.5) képletbe:

13.6. egyenlet -


Így, az eredeti x* vektor helyett az x' = (x'1, x'2, ..., x'm, 0, 0, ..., 0) vektort kaptuk.

Ezzel a vektorral kapcsolatban a következő két kérdés merül fel:

  1. Mondhatjuk-e, hogy az x' vektor lehetséges megoldása az új feladatnak?

  2. Mondhatjuk-e, hogy az x' vektor optimális megoldása az új feladatnak?

Az első kérdésre való válasszal kapcsolatos vizsgálat teljesen megegyezik a lineáris esettel (lásd 6.1.fejezet). Így írhatjuk, hogy ha a δ teljesíti a (13.7) feltételt, akkor az x' vektor lehetséges megoldása a módosított feladatnak.

13.7. egyenlet -


Vizsgáljuk a második kérdést. A szimplex módszer szerint az x' lehetséges vektor akkor optimális, ha Δj(x') = Δ'j - Q(x')Δ''j ≥ 0, ∀ j ∈ J. Mivel Δ'j = Δ''j = Δj(x') = 0, ∀ j ∈ JB, ezért az x' vektor optimalitásához elégséges, ha

13.8. egyenlet -


Tekintsük a (13.8) képletet. Jegyezzük meg, hogy a Δ'j és Δ''j értékek közvetlenül nem függnek a b és x' vektoroktól. Ezért a jobboldali b vektorban történő változások csak a Q(x) célfüggvény optimális értékére hatnak. Tehát,

13.9. egyenlet -


ahol

Ahhoz, hogy teljesüljön a D(x) > 0, ∀ x ∈ L feltétel, szükséges a D(x*) + δh2 > 0 feltétel teljesítése. Ez utóbbi adja a következő δ tartományt:

13.10. egyenlet -


Továbbá, a (13.9) használatával átírhatjuk (13.8) feltételt a következő formára:

A megfelelő átalakítások után az utóbbiból kapjuk a

feltételt, amelyből következik, hogy δ(Δ'jh2 - Δ''jh1) ≥ - Δj(x*)D(x*), ∀ j ∈ JN. Ebből kifolyólag kapjuk a következő tartományt:

13.11. egyenlet -


ahol gj = Δ'jh2 - Δ''jh1, j ∈ JN.

Tehát, ha a δ kielégíti a (13.11) és (13.10) feltételeket, akkor teljesül a (13.8) feltételrendszer, és akkor az x' vektor a módosított hiperbolikus programozási feladatnak optimális megoldása.

Összesítés: Ha a δ kielégíti a (13.7), (13.10) és (13.11) feltételeket, akkor a (13.6) képletből meghatározható az x' vektor, ami optimális megoldása a módosított (azaz a bμ → b'μ = bμ + δ csere után kapott) hiperbolikus programozási feladatnak.

Változások a célfüggvény számlálójában

Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor Q(x) célfüggvény számlálójában szereplő p = (p1, p2, ..., pn) vektor pμ elemét kicseréljük a p'μ = pμ + δ elemre. Célunk az, hogy meghatározzuk a δ érték olyan alsó és felső határait, amelyek mellett a pμ → p'μ csere nem hat az optimális bázisra és az x* vektor marad az optimális megoldás.

Az ilyen csere hatásának vizsgálatakor a következő két esetet kell megkülönböztetnünk:

  1. Eset. μ ∈ JN = {m+1, m+2, ..., n}, azaz μ nembázis index

  2. μ ∈ JB = {1, 2, ..., m}, azaz μ bázis index

Nyilvánvaló, hogy a pμ → p'μ csere nem változtatja meg az L lehetséges halmazt, ezért az x* vektor lehetséges megoldása a módosított feladatnak. Azonban, a p vektorban történő változás megváltoztatja a Q(x) célfüggvény értékét és ezzel megváltoztatja a Δj(x*) = Δ'j - Q(x*)Δ''j redukált költségeket is. Éppen emiatt a pμ → p'μ csere mellett előfordulhat, hogy az eredeti feladatban kapott x* optimális megoldás az új feladatban már nem lesz optimális. Szóval, most ki kell derítenünk, hogy a pμ → p'μ csere hogyan hat a Δj(x*), j = 1, 2, ..., n értékekre.

  1. Eset. (μ ∈ JN): Ilyenkor, mivel a μ nembázis index, ezért x*μ = 0 és Q(x*) értéke nem változik. Továbbá, nembázis indexű pμ együttható nem szerepel bázis indexű Δ'j, j = 1, 2, ..., m becslésekben és ezért pμ értékében történő változás nem befolyásolhatja a bázisindexű Δ'j, j = 1, 2, ..., m értéket. Azonban, pμ együttható szerepel egyetlen egy nembázis indexű Δ'μ = ∑i=1m pix - pμ becslésben. Ezért, a pμ → p'μ csere esetén a Δ'μ érték a következő módon változik:

    Így, Δ̃μ(x*) = (Δ'μ - δ) - Q(x*)Δ''μ = Δμ(x*) - δ. Ebből adódik a következő feltétel:

    13.12. egyenlet -


    Összesítés: Ha μ ∈ JN és δ kielégíti a (13.12) feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása.

  2. Eset. (μ ∈ JB): Mivel μ bázisindex, ezért a pμ → p'μ csere változtatja a P(x) és Q(x) függvények optimális értékét. Nyilvánvaló, hogy ilyenkor

    és ezért

    Ezenkívül a pμ → p'μ csere miatt változnak a nem-bázis indexű Δ'j, j ∈ JN értékek is:

    Az előző képletek használatával kapjuk, hogy:

    13.13. egyenlet -


    Ami a bázisindexeket (j ∈ JB) illeti, nyilvánvaló, hogy a bázisindexű Δ'j értékek nem változnak és ezért Δ̃'j = Δ'j = 0, ∀ j ∈ JB és emiatt Δ̃j(x*) = Δj(x*) = 0, ∀ j ∈ JB.

    A szimplex módszer elmélete szerint, ha teljesül a Δ̃j(x*) ≥ 0, ∀ j ∈ J feltétel, akkor az x* vektor optimális megoldása az új feladatnak. Mivel Δ'j = Δ''j = Δj(x*) = 0, ∀ j ∈ JB, ezért az optimalitási feltételekből csak azokra kell figyelnünk, amelyeknél a j nembázis index. Így kapjuk a Δ̃j(x*) ≥ 0, ∀ j ∈ JN optimalitási feltételeket, amelyből a (13.13) használatával kapjuk a

    rendszert, vagy átalakítás után: δ(xμjD(x*) - Δ''jx*μ) ≥ -Δj(x*)D(x*), ∀ j ∈ JN. Az utóbbiból kapjuk a következő tartományt:

    13.14. egyenlet -


    ahol gj = xμjD(x*) - Δ''jxμ*, ∀ j ∈ JN.

    Összesítés: Ha μ ∈ JB és δ kielégíti a (13.14) feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása.

Változások a célfüggvény nevezőjében

Ebben a részben fogjuk vizsgálni azt az esetet, amikor a Q(x) célfüggvény D(x) nevezőjében szereplő d = (d1, d2, ..., dn) vektor dμ eleme változik. Cseréljük ki a dμ elemet a d'μ = dμ + δ értékre.

Jegyezzük meg, hogy a dμ → d'μ csere nem változtatja az L lehetséges halmazt és ezért az x* az új feladatnak lehetséges megoldása. Azonban, változhat a D(x*) érték, változhat a Q(x*) érték és ezért változhatnak a Δj(x*)-k. Szóval, a dμ → d'μ csere miatt kérdésessé válik az x* vektor optimalitása. Tekintsük a dμ → d'μ csere hatását a Δj(x*) értékekre.

  1. Eset. (μ ∈ JN): Mivel μ nembázis index, ezért x*μ = 0 és Q(x) optimális értéke nem változik. Jegyezzük meg, hogy ilyenkor D(x) értéke sem változik és ezért D(x) megtartja az értékének pozitívitását.

    Továbbá, mivel dμ nembázis együttható és nem szerepel a bázisindexű Δ''j, j ∈ JB értékekben, ezért a bázisindexű Δ''j, j = 1, 2, ..., m értékek nem változnak. Azonban, dμ együttható szerepel a nembázis Δ''μ értékben és ezért a dμ → d'μ csere esetén

    és emiatt Δ̃μ(x*) = Δ'μ - Q(x*)Δ̃''μ = Δ'μ - Q(x*)(Δ''μ - δ) = Δμ(x*) + δQ(x*). Ez utóbbi azt jelenti, hogy ha δ teljesíti a

    13.15. egyenlet -


    feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása optimális megoldása lesz az új feladatnak is. A (13.15) feltétel használatával kapjuk a következő tartományt:

    13.16. egyenlet -


    Összesítés: Ha μ ∈ JN és δ kielégíti a (13.15) feltételt, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása.

  2. Eset. (μ ∈ JB): Ebben az esetben a dμ → d'μ csere változtatja D(x*) értéket, mégpedig a következő módon:

    és ezzel változtatja a Q(x*) értékét is:

    Ezenkívül, a D(x) nevező nem lehet negatív vagy nulla értékű, ebből keletkezik még egy D̃(x*) = D(x*) + δxμ* > 0 feltétel, amelyből kapjuk a következő korlátozást:

    13.17. egyenlet -


    A (13.17) képletben feltételezzük, hogy az x* vektor nemdegenerált és ezért x*μ > 0. Nyilvánvaló, ha x* degenerált és éppen a μ-edik bázis komponense a nulla értékű, akkor a dμ → d'μ, μ ∈ JB cserének nincsen semmi hatása a D(x) függvény pozitívitására és ezért a δ értéke lehet korlátlan. Továbbá, a dμ → d'μ, μ ∈ JB csere változtatja a nembázis indexű Δ''j, j ∈ JN értékeket

    de nem változtatja se a bázisindexű Δ''j, se a bázisindexű Δj(x*) értékeket (∀ j ∈ JB). Ezért azok nulla értékűek maradnak, azaz

    13.18. egyenlet -


    Most pedig derítsük ki a változásokat a nembázis indexű Δj(x*), j ∈ JN értékekben:

    13.19. egyenlet -


    A szimplex módszer elmélete szerint, az új feladat x* lehetséges bázismegoldása optimális, ha Δ̃j(x*) ≥ 0, ∀ j ∈ J. Figyelembe véve a (13.18) képleteket, az utóbbiból a (13.19) használatával kapjuk a következő optimalitási feltételt:

    vagy

    13.20. egyenlet -


    Továbbá, írjuk át a (13.20) feltételt a (13.17) használatával a következő formában:

    δ(Δ'jxμ* - P(x*)xμj) ≥ -(D(x*)Δ'j - P(x*)Δ''j), ∀ j ∈ JN

    vagy δ(Δ'jxμ* - P(x*)xμj) ≥ -Δj(x*)D(x*), ∀ j ∈ JN. Az utóbbiból adódik a következő tartomány:

    13.21. egyenlet -


    ahol gj = Δ'j(x*μ) - P(x*)xμj, ∀ j ∈ JN.

    Összesítés. Ha μ ∈ JB, az x* vektor nem degenerált és a δ kielégíti a (13.17) és (13.21) feltételeket, akkor az eredeti feladat x* optimális megoldása az új feladatnak is optimális megoldása. Abban az esetben, ha az x* vektor degenerált és éppen x*μ = 0, akkor a (13.17) feltétel teljesítése nem szükséges.

A p0, d0 konstans tagok változásáival terjedelmi oko miatt itt külön nem foglalkozunk. Bővebben a [Bajalinov '03] irodalom foglalkozik.

Gyakorlat

Minta

Tekintsük a következő numerikus példát:

13.22. egyenlet -


13.23. egyenlet -


Ennek a feladatnak az optimális megoldása az x* = (0,5) vektor ("A" betűvel jelölt pont a (13.1. ábrán), amelyben Q(x*) = 21/15.

13.1. ábra. A (13.22) - (13.23) eredeti feladat lehetséges halmaza.

Változtassuk meg a jobboldali b = (20, 25)T vektort úgy, hogy a b1 = 20 maradjon változatlan és a b2 = 25 helyett legyen b'2 = b2 + δ = 25 + 5 = 30. Nyilvánvaló, hogy ennek a változtatásnak nincsen semmi hatása az F fókusz pontra, így az nem változik. Viszont ilyenkor változik a lehetséges halmaz (lásd. 13.2. ábra).

13.2. ábra. A megváltoztatott lehetséges halmaza.

A 13.2. ábrából látszik, hogy a jobboldali b vektorba bevezetett változások miatt a lehetséges halmaz megváltozott úgy, hogy az optimális bázis ugyanaz maradt, de az optimális megoldás elmozdult és áthelyeződött az A' pontba, így az új optimális megoldás az x' = (0, 6) vektor lett és Q(x') = 24/17.

Vegyük észre, hogy ebben a numerikus példában a b vektor b2 elemébe bevezetett δ értéknek nincs hatása az optimális bázisra és ezért δ érték (és emiatt a b2 érték) tetszőlegesen nagy lehet. Tehát, a δ érték felső korlátja végtelen nagy. Azonban ha b2 csökken (azaz δ < 0), akkor az optimális bázis csak addig marad stabil, amíg b2 + δ ≥ 0, mivel a negatív értékű b2 mellett a feladat megoldhatatlanná válik az üres lehetséges halmaz miatt.

Ez utóbbi azt jelenti, hogy δ ≥ 0 - b2 = -25. Végül a következő stabilitási tartományt kapjuk:

-25 ≤ δ < ∞ vagy 0 ≤ b2 < ∞

Hasonló módon kideríthetjük, hogy a b1 elem számára a stabilitási tartomány a következő:

-30 ≤ δ < ∞ vagy -10 ≤ b1 < ∞

Ha változások történnek a célfüggvényben, akkor a helyzet komplikáltabbá válik mivel az ilyen változások hatnak az F fókusz pontra (lásd. 13.3. ábra), emiatt olyan lényeges változásokat eredményezhetnek a feladatban, amelyek részletes vizsgálatokat igényelhetnek. Ezenkívül, a célfüggvény nevezőjében bevezetett változások miatt előfordulhat a D(x) > 0, ∀ x ∈ L feltétel megsértése is. A 13.3. ábrán láthatjuk, milyen változásokhoz vezet a p1 nembázis együtthatóban történő p1 = 6 → p'1 = p1 + 1 = 6 + 1 = 7 változás.

13.3. ábra. A megváltoztatott célfüggvény és F fókusz pont.

Gyakorló feladatok

Oldja meg a (13.22)-(13.23) HP feladatot szimplex módszerrel és állítson elő stabilitási tartományokat a pj és dj együtthatók számára!

Ellenőrző kérdések

  1. Hogyan változik a célfüggvény optimális értéke, ha a feltételrendszerben az első feltétel jobboldali értéke növekszik 1 egységgel?

  2. Hogyan változik a célfüggvény optimális értéke, ha a feltételrendszerben az első feltétel jobboldali értéke csökken 2 egységgel?

  3. Hogyan változik a célfüggvény optimális értéke, ha a feltételrendszerben a második feltétel jobboldali értéke növekszik 2 egységgel?

  4. Hogyan változik a célfüggvény optimális értéke, ha a feltételrendszerben a második feltétel jobboldali értéke csökken 1 egységgel?

  5. Változik-e az optimális bázis, ha a feltételrendszerben az első feltétel jobboldali értéke növekszik 100 egységgel?

  6. Változik-e az optimális bázis, ha a feltételrendszerben az első feltétel jobboldali értéke csökken 10 egységgel (25 egységgel)?

  7. Változik-e az optimális bázis, ha a célfüggvény számlálójában az x1 melletti együttható (6) csökken 4 egységgel?

  8. Változik-e az optimális bázis, ha a célfüggvény számlálójában az x1 melletti együttható (6) növekszik 4 egységgel?

  9. Változik-e az optimális bázis, ha a célfüggvény nevezőjében az x1 melletti együttható (5) csökken 4 egységgel?

  10. Változik-e az optimális bázis, ha a célfüggvény nevezőjében az x1 melletti együttható (5) növekszik 4 egységgel?

14. fejezet - Szoftverek

Ebben fejezetben bemutatjuk, hogy miként lehet megoldani LP és HP feladatokat néhány szoftver-eszközzel. Az operációkutatási szoftverek hosszú listájából csak olyan programcsomagokat tárgyalunk, amelyek könnyen hozzáférhetők, általában több operációkutatási probléma típus megoldására használhatók, könnyen kezelhetők, a kapott eredmények pedig széleskörű felhasználást biztosítanak az alkalmazott modell kiértékelésekor, vizsgálatakor. A Solver-t és a LinGo-t elsősorban lineáris, hiperbolikus és diszkrét problémák megoldására célszerű használni. Éppen ezt a kettő programcsomagot mutatjuk be a teljességre nem törekedve.

Solver

A Microsoft Excel táblázatkezelő szoftver optimalizálási feladatok megoldását végző bővítménye a Solver. Ez természetesen nemcsak optimalizálási feladatok megoldására alkalmas, hanem arra is, amikor a célfüggvénynek egy konkrét értékét szeretnénk elérni, továbbá használhatjuk egyenletek és egyenletrendszerek megoldására is. Szélsőérték számításkor feltételes és feltétel nélküli problémák egyaránt megoldhatók vele. Az optimalizálási problémák célfüggvénye és korlátozó feltételei lehetnek lineárisak és nemlineárisak is. A Solver-ben használt paraméterek értékétől függően ezzel a programcsomaggal többek között lineáris, nemlineáris illetve egészértékű programozási problémákat oldhatunk meg. A paraméterek beállításával az is elérhető, hogy a megoldás során az egyes lépésekben kapott eredményeket is megismerhessük. A feladatot megoldva eredmény, érzékenység és határok jelentést is kérhetünk. A Microsoft Excel telepítőjével együtt telepíthető Solver csak korlátos méretű problémákat tud kezelni, de létezik nagyméretű feladatok megoldására alkalmas változata is. A Solver az Adatok menürendszerben található. Ha az Adatok menüben nem szerepel a Solver menüpont, akkor a Bővítménykezelő segítségével ezen javíthatunk.

A Solver használatát a következő numerikus példa alapján fogjuk illusztrálni.

Az 14.1. ábra mutatja a begépelt adatokat - a célfüggvény és a mátrix együtthatóit. Az 'X vektor' sorban begépelt három 0 az ismeretlen x1, x2, x3 induló értéke. A jobb oldali korlátokat az RHS oszlopban gépeltük be.

14.1. ábra. A feladat adatai begépelve.

A feladatban szerepelő feltételek bal oldalán álló kifejezések képletként vannak beírva a cellákba, az LHS oszlopban (lásd 14.2. ábra, G6, G7, G8 cella). Látjuk, hogy a G4 cella a célfüggvény képletét tartalmazza.

14.2. ábra. A feladat adatai begépelve, képletek.

A Solver felületén megadhatjuk, hogy mely cellák lesznek a módosuló cellák (azaz a változók), melyik lesz a célcella (célfüggvény) és hol lesznek a korlátozó feltételek. A Solver indítása és az adatokkal való feltöltése utáni állapotot 14.3. ábra mutatja. Ezen párbeszéd ablak célcella mezőjében kell megadni a célfüggvényt tartalmazó cella címét, hivatkozását. Ezt vagy beírással, vagy egérrel való kijelöléssel tehetjük meg. A 'Legyen' mezőben dönthetünk arról, hogy maximum, vagy minimum feladatot akarunk-e megoldani, vagy pedig a célfüggvény egy konkrét értékét akarjuk-e elérni. A 'Módosuló cellák' mezőben a döntési változók celláit kell megadni.

14.3. ábra. Solver feltöltött adatokkal.

A feladatban szereplő feltételek rögzítése a 'Hozzáadás' gombbal történik (14.4. ábra). A megjelent 'Korlátozó feltétel felvétele' című párbeszéd ablakban, a baloldali mezőben megadhatjuk a feltétel baloldali képletét tartalmazó cellát, majd a középen található lefelé nyíló listából ki kell választanunk a megfelelő relációt és utána válasszuk a jobb oldali korlátot tartalmazó cellát. Az ilyen módon begépelt feltétel rögzítése két módon történhet attól függően, hogy már befejeztük a feltételek bevitelét ('Ok' gomb) vagy folytatnunk kell ('Felvesz' gomb).

14.4. ábra. Korlátozó feltétel felvétele.

A Solver párbeszéd ablak 'Beállítás' gombjának megnyomásával a 'Solver beállítások' című párbeszéd ablak jelenik meg, amelynek segítségével a probléma megoldása során a Solver által használt paramétereket lehet megváltoztatni. A lineáris programozási problémák megoldása esetén ki kell választanunk a 'Lineáris modell feltételezése' pontot. Ezenkívül, meg kell adnunk, hogy mindhárom változónk nemnegatív értékű (14.5. ábra, alsó baloldali sarok, 'Nemnegatív feltételezése' pont). A beállításokat az 14.5. ábrán láthatjuk.

14.5. ábra. Beállítások.

A 'Megoldás' gomb (14.3. ábra) megnyomására a Solver elindítja a probléma megoldását kereső algoritmust. Ha problémát sikerült megoldani a Solver megfelelő üzenettel (14.6. ábra) értesít erről bennünket. Ezen párbeszéd panel megjelenésével egyidejűleg megjelennek a munkalapon a módosuló cellák, a célcella és a feltétel cellák megoldáshoz tartozó értékei. Amennyiben a Solver megoldást talált, akkor az eredményekről különböző jelentések készíthetők (lásd jobboldali lista, 14.6. ábra). Ezeket a munkafüzet egy-egy munkalapján jelentethetjük meg, amiket ki is nyomtathatunk.

14.6. ábra. A Solver megoldást talált.

Az eredmény jelentés (14.7. ábra) a célcella mezőben megadott cellát és a módosuló cellákat sorolja fel, feltüntetve azok eredeti és végső értékét. Ezenkívül tartalmaz sok más hasznosítható információt, amely részletes elemzéséhez következő fejezetekben majd visszatérünk.

14.7. ábra. Solver - Eredmény jelentés.

LinGo

A LinGo egy matematikai modellezési nyelv. Szemben a hagyományos programozási nyelvekkel, mint pl. a Basic vagy a C, a LinGo nem tartozik az eljárás-orientált nyelvek családjába. Ez azt jelenti, hogy amikor pl. egy operációkutatási modellt specifikálunk, csak meg kell fogalmaznunk azt, és nem kell leírnunk, hogy hogyan kell megoldani. A 'hogyan' a LinGo feladata. Ebben az értelemben a LinGo-ról mint specifikációs nyelvről beszélünk. Csak leírjuk, hogy mit akarunk, a többit megteszi a LinGo. A LinGo modellezési nyelv lehetőséget nyújt arra, hogy a problémáinkat természetes módon fejezzük ki, amely nagyon hasonlít a szabványos matematikai jelölésrendszerre. A csomag legfrissebb verziója ingyen letölthető a http://www.lindo.com/ címről.

Példaként tekintsük az előző alfejezetben megfogalmazott LP feladatot. A 14.8. ábra mutatja a LinGo-ban begépelt feladatot. LinGo szabályai szerint minden modell a 'Model:' kulcsszóval kezdődik és az 'End'-del záródik. Egy- vagy többsoros megjegyzések felkiáltó jellel kezdődnek és az első pontos vesszőig tartanak. Továbbá, minden feltétel, beleértve célfüggvényt is, rendelkezhet saját egyedi azonosítóval, pl. '[Profit]', '[F1]', stb.

14.8. ábra. A feladat adatai begépelve.

A 14.8. ábrán kiemelt Solve gomb megnyomásával indul a megoldási 'motor'. Ha a LinGo megoldást talál a képernyőn megjelenik a 14.9. ábrán látható párbeszéd ablak, amely értesít a kapott eredményről. Az ablak bezárása után a LinGo összeállít egy részletes eredmény jelentést (14.10. ábra), amelyben láthatjuk a célfüggvény optimális értékét, az optimális megoldást és a feltételekről szóló információkat.

14.9. ábra. A LinGo megoldást talált.

14.10. ábra. Eredmény jelentés.

A LinGo lehetőséget nyújt arra, hogy a modellünket hagyományos matematikai kifejezésekkel írjuk le, amely sok más csomagban nem megengedett, pl. indexelt változók, halmazok illetve ezek felett értelmezett műveletek (szumma, for-ciklus, stb.). Kifejezhetünk formulákat oly módon, hogy azok a legkönnyebb olvashatóságot és megérthetőséget szolgálják - zárójelek, változók, kifejezések használatával, vagy különböző típusú egyenletek alkalmazásával. A LinGo beépített statisztikai, pénzügyi és matematikai könyvtárai, valamint halmazműveletekkel kapcsolatos funkciói a legbonyolultabb formula világos és egyszerű leírását teszik lehetővé. Ezen kívül mielőtt a problémát az optimalizálónak elküldené, gyorsan átkonvertálja annak kifejezéseit a leghatékonyabb alakra, ahol lehetséges ott még a változók értékei is behelyettesítésre kerülnek. Lehetőség van adataink természetes, kényelmes alakban történő reprezentálására, listával vagy táblával. A LinGo emellett felajánl egy lehetőséget az elszórtan elhelyezkedő adathalmazok könnyű és hatékony reprezentálására. Az adatokat ugyanis nem szükséges a kifejezésekkel együtt tárolni, képes külön állományból beolvasni azokat. A modell adatfüggetlenségével sokkal könnyebb megváltoztatni azt, és kevesebb változtatással járó hiba lép fel amikor ezt tesszük.

A LinGo négy solvert tartalmaz:

  1. Egy direkt solvert - az optimalizálást nem igénylő feltételrendszerek megoldására.

  2. Egy szimultán lineáris solvert / optimalizálót - a lineáris programozási feladatok megoldására.

  3. Egy szimultán nemlineáris solvert / optimalizálót - a nemlineáris programozási feladatok megoldására.

  4. Egy korlátozás - szétválasztás és vágási menedzsert - az egészértékű változókat tartalmazó modellek számára.

Gyakorlat

Minta

Tekintsük a következő numerikus példát:

14.1. egyenlet -


14.2. egyenlet -


Az Excelben begépelt adatokat mutatja a következő két ábra.

14.11. ábra. A feladat adatai begépelve Excelben.

14.12. ábra. A feladat adatai begépelve Excelben, képletek.

A megfelelő LinGo modellt láthatjuk az alábbi ábrán.

14.12. ábra. A feladat adatai begépelve LinGo-ban.

Gyakorló feladatok

Gépeljük be a (14.1)-(14.2) feladat adatait Excelben és oldjuk meg a feladatot Solver-rel, majd oldjuk meg a feladatot LinGo-val is. Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket.

Ellenőrző kérdések

A (14.1)-(14.2) feladathoz kapott eredmény jelentések alapján adjon választ a következő kérdésekre.

  1. Mi az optimális megoldása az adott feladatnak?

  2. Milyen értékű a P(x) függvény az optimális megoldásnál?

  3. Milyen értékű a D(x) függvény az optimális megoldásnál?

  4. Milyen értékű az x1 változóhoz tartozó redukált költség?

  5. Milyen értékű az x2 változóhoz tartozó redukált költség?

  6. Melyik változó van az optimális bázisban és melyik nincs?

  7. Milyen értékű az első feltételhez tartozó duális változó?

  8. Milyen értékű a második feltételhez tartozó duális változó?

  9. Hogyan teljesül az első feltétel az optimális megoldásnál - szigorú egyenlőségként vagy egyenlőtlenségként?

  10. Hogyan teljesül a második feltétel az optimális megoldásnál - szigorú egyenlőségként vagy egyenlőtlenségként?

Irodalomjegyzék

[Chvatal '83] Chvátal, V.. Linear Programming. Freeman. New York. 1983.

[Dantzig '51] Dantzig, G.B.. Maximization of a Linear Function of Variables Subject to Linear Inequalities. John Wiley and Sons. New-York. 1951.

[Dantzig '63] Dantzig, G.B.. Linear Programs and Extensions. Princeton University Press. Princeton, New Jersey. 1963.

[Gass '58] Gass, S.I.. Linear programming. McGraw-Hill. New-York. 1958.

[Murty '83] Murty, K.G.. Linear programming. John Wiley and Sons. New-York. 1983.

[Roos, Terlaky, Vial '97] Roos, C., Terlaky, T., és Vial, J.-Ph.. Theory and Algorithms for Linear Optimization. John Wiley and Sons. New-York. 1997.

[Rothenberg '79] Rothenberg, R.I.. Linear programming. North-Holland. New York. 1979.

[Vanderbei '96] Vanderbei, R.J.. Linear Programming. Foundations and Extensions. North-Holland. New York. 1979.

[Winston '91] Winston, W.L.. Indtroduction to Mathematical Programming. Applications & Algorithms. PWS-Kent Publishing Company. Boston. 1991.

[Karmarkar '84] Karmarkar, N.. „A new Polynomial-Time Algorithm For Linear Programming”. Combinatorica. 4. 4. 373-395. 1984.

[Nesterov, Nemirovski '94] Nesterov, Y. és Nemirovski, A.S.. Interior Point Polynomial Algorithms in Convex Programming: Theory and Applications. SIAM. Philadelphia. 1994.

[Terlaky '93] Terlaky, T.. Applied Optimization 5. Interior -Point Methods of Mathematical Programming. Kluwer Academic Publishers. 1993.

[Bajalinov, Imreh '01] Bajalinov, E. B. és Imreh, B.. Operációkutatás. Polygon. Szeged. 2001.

[Bland '77] Bland, R.. „New Finite Pivoting Rules for the Simplex Method”. Mathematics of Operations Research. 2. 103-107. 1977.

[Kotiah, Slater '73] Kotiah, T. és Slater, N.. „On Two-Server Poisson Queues with Two Types of Customers”. Operations Research. 21. 597-603. 1973.

[Kotiah, Steinberg '77] Kotiah, T. és Steinberg, D. I.. „Occurrence of Cycling and Other Phenomena Arising in a Class of Linear Programming Models”. Commun. ACM. 2. 20. 102-112. 1977.

[Hoffman, Mannos '53] Hoffman, A.J., Mannos, M., Sokolowsky, D., és Weigmann, N.. „Computational Experience in Solving Linear Programms”. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 41. 1. 17-33. 1953.

[Kuhn, Quandt '63] Kuhn, H. W. és Quandt, R. E.. „An Experimantal Study of the Simplex Method”. Proceedings of the Symposia in Applied Mathemetics. 15. 1963.

[Liebling '77] Liebling, T. M.. „On the Number of Iterations of the Simplex Method”. Methods of Operations Research. 17. 5. 1977. 248-264.

[Orden '76] Orden, A.. „Computaional Investigation and Analysis of Probabilistic Parameters of Convergence of a Simplex Method”. In Progress in Operations Research. 2. 1976. 705-715.

[Terlaky, Zhang '93] Terlaky, T. és Zhang, S.. „Pivot Rules for Linear Programming: a Survey on Recent Theoretical Developments”. Annals of Operations Research. 46. 1993. 203-233.

[Wolfe, Cutler '63] Wolfe, P. és Cutler, L.. „Experiments in Linear Programming”. In Recent Advances in Mathematical Programming. 1963. 177-200.

[Kuhn '55] Kuhn, H.W.. „The Hungarian Method for the Assignment Problem”. Naval Research Logistics Quaterly. 2. 2-3. 1955. 83-97.

[Avriel '03] Avriel, M.. Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. 2003.

[Bazara, Sherali, Shetty '93] Bazara, M. S., Sherali, H. D., és Shetty, C. M.. Nonlinear Programming. John Wliey & Sons, Inc.. New York. 1993. 2nd.

[Bertsekas '99] Shetty, C. M.. Nonlinear Programming. Athena Scientific. 1999. 2nd.

[Dorn '62] Dorn, W. S.. „Linear Fractional Programming”. IBM Research Report RC-830. November 1962. Yorktown Heights. New York.

[Krekó '79] Krekó, B.. Optimumszámítás. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. 1972.

[Luenberger, Ye '08] Luenberger, D. G. és Ye, Y.. „Linear and nonlinear programming”. International Series in Operations Research & Management Science. Springer. New York. 2008. 116. 3rd.

[Mangasarian '69] Mangasarian, O. L.. Nonlinear Programming. McGraw-Hill. New York. 1969.

[Martos '75] Krekó, B.. Nonlinear Programming: Theory and Methods. American Elsevier. New York. 1975.

[Minoux '86] Krekó, B.. Mathematical Programming: Theory and Algorithms. John Wiley & Sons. New York. 1986.

[Nocedal, Wright '99] Krekó, B.. Numerical Optimization. Springer. 1999.

[Martos '60] Martos, B.. „Hyperbolic Programming”. Publ. Math. Inst.. 1960. 5. B. 386-406. Hungarian Academy of Sciences.

[Charnes, Cooper '62] Charnes, A. és Cooper, W. W.. „Programming with Linear Fractional Functionals”. Naval Res. Logistics Quart.. 1962. 9. 3, 4. 181-186.

[Dinkelbach '62] Dinkelbach, W.. „Die Maximierung Eines Quotienten Zweier Linearer Funktionen Unter Linearen Nebenbedingungen”. Wahrscheinlichkeitstheorie. 1962. 1. 141-145.

[Bajalinov '03] Bajalinov, E. B.. Linear-Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software. Kluwer Academic Publishers. 2003.

[Chernov, Lange '78] Chernov, Y. P. és Lange, E. G.. Problems of Nonlinear Programming with Fractional Economic Criteria. Methods and Applications. Kirghiz Academy of Science. Frunze. 1978.

[Stancu-Minasian '97] Stancu-Minasian, I. M.. Fractional Programming: Theory, Methods and Applications. Kluwer Academic Publishers. 1997.

[Bajalinov '88] Bajalinov, E. B.. „On the Economic Sense of Dual Variables in Linear-Fractional Programming”. Ekonomika i matematicheskie metody. 1988. 24. 3. 558-561.

[Bitran, Magnanti '74] Bitran, G. R. és Magnanti, T. L.. „Fractional Programming: Duality, Algorithms, Sensitivity Analysis and Applications”. Technical Report. 1974. 92. Operations Research Center, Massachusets Institute of Technology.

[Bitran, Magnanti '76] Bitran, G. R. és Magnanti, T. L.. „Duality and Sensitivity Analysis for Fractional Programs”. Operations Research. 1976. 4. 24. 675-699.